Номер 23.4, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

23.4. Стрелок производит три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле составляет 0,9. Составьте закон распределения числа попаданий.

Пусть $X$ — это случайная величина, обозначающая число попаданий в мишень. Стрелок производит $n=3$ независимых выстрела, поэтому случайная величина $X$ может принимать значения $0, 1, 2, 3$.

Вероятность попадания при одном выстреле (событие "успех") составляет $p = 0,9$.

Соответственно, вероятность промаха (событие "неудача") составляет $q = 1 - p = 1 - 0,9 = 0,1$.

Поскольку выстрелы являются независимыми испытаниями, для нахождения вероятности $k$ успехов в $n$ испытаниях используется формула Бернулли:$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k$ — биномиальный коэффициент, равный числу сочетаний из $n$ по $k$.

Рассчитаем вероятности для каждого возможного значения $X$.

Вероятность того, что попаданий не будет ($k=0$):

$P(X=0) = C_3^0 \cdot (0,9)^0 \cdot (0,1)^3 = \frac{3!}{0!3!} \cdot 1 \cdot 0,001 = 1 \cdot 1 \cdot 0,001 = 0,001$.

Вероятность того, что будет ровно одно попадание ($k=1$):

$P(X=1) = C_3^1 \cdot (0,9)^1 \cdot (0,1)^2 = \frac{3!}{1!2!} \cdot 0,9 \cdot 0,01 = 3 \cdot 0,9 \cdot 0,01 = 0,027$.

Вероятность того, что будет ровно два попадания ($k=2$):

$P(X=2) = C_3^2 \cdot (0,9)^2 \cdot (0,1)^1 = \frac{3!}{2!1!} \cdot 0,81 \cdot 0,1 = 3 \cdot 0,81 \cdot 0,1 = 0,243$.

Вероятность того, что все три выстрела будут удачными ($k=3$):

$P(X=3) = C_3^3 \cdot (0,9)^3 \cdot (0,1)^0 = \frac{3!}{3!0!} \cdot 0,729 \cdot 1 = 1 \cdot 0,729 \cdot 1 = 0,729$.

Для проверки убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:

$0,001 + 0,027 + 0,243 + 0,729 = 1$.

Закон распределения представляет собой соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Ответ: Закон распределения числа попаданий $X$ задается следующим рядом распределения:

при $X=0$ вероятность $P=0,001$;

при $X=1$ вероятность $P=0,027$;

при $X=2$ вероятность $P=0,243$;

при $X=3$ вероятность $P=0,729$.