Вопросы, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Какое влияние оказывают виды случайных событий на случайные величины?

2. Как можно объяснить различие между случайными событиями и случайными величинами?

3. Какие элементы необходимы для составления закона распределения случайной величины?

4. Почему нельзя определить случайную величину без проведения испытаний?

1. Какое влияние оказывают виды случайных событий на случайные величины?

Случайные события и случайные величины неразрывно связаны, поскольку случайная величина является числовым выражением исхода случайного события. Влияние можно описать следующим образом:

1. Элементарные события (исходы) определяют возможные значения случайной величины. Каждому элементарному исходу случайного эксперимента ставится в соответствие определенное числовое значение случайной величины. Например, в эксперименте с броском игральной кости элементарные события — это выпадение граней {1, 2, 3, 4, 5, 6}, которые и являются возможными значениями для случайной величины «число выпавших очков».

2. Вероятности случайных событий определяют закон распределения случайной величины. Вероятность того, что случайная величина примет конкретное значение, равна вероятности соответствующего элементарного события. Например, $P(X=3) = P(\text{выпала грань с 3 очками}) = 1/6$.

3. Составные события соответствуют ситуациям, когда случайная величина принимает значение из некоторого диапазона. Например, событие «выпало четное число очков» соответствует тому, что случайная величина $X$ принимает одно из значений {2, 4, 6}. Вероятность этого события $P(X \in \{2, 4, 6\})$ вычисляется как сумма вероятностей соответствующих элементарных событий.

Таким образом, структура и вероятности пространства элементарных событий полностью определяют все свойства случайной величины, включая ее возможные значения и их вероятности.

Ответ: Виды случайных событий и их вероятности формируют основу для определения случайной величины: элементарные события задают её возможные значения, а их вероятности определяют закон распределения этой величины.

2. Как можно объяснить различие между случайными событиями и случайными величинами?

Основное различие между случайным событием и случайной величиной заключается в их природе: событие — это качественный исход эксперимента, а величина — его количественная характеристика.

Случайное событие — это один из возможных результатов опыта. Оно отвечает на вопрос «произошло или нет?». Например, при броске монеты событие — это «выпал орёл». Событие может быть сложным, например, «при броске кости выпало число очков меньше 4». Это качественное описание исхода.

Случайная величина — это переменная, которая в результате опыта принимает одно из множества своих возможных числовых значений. Она отвечает на вопрос «какое значение принято?». Случайная величина ставит в соответствие каждому элементарному исходу (событию) число. Например, для опыта с монетой мы можем ввести случайную величину $X$, которая равна 1, если выпал орёл, и 0, если выпала решка. Для опыта с костью случайная величина $Y$ — это число выпавших очков (может принимать значения от 1 до 6).

Проще говоря, событие — это сам факт («что случилось?»), а случайная величина — это число, которое мы приписываем этому факту («сколько?»).

Ответ: Случайное событие — это качественное описание исхода эксперимента (произошло/не произошло), тогда как случайная величина — это числовая (количественная) мера, поставленная в соответствие этому исходу.

3. Какие элементы необходимы для составления закона распределения случайной величины?

Закон распределения случайной величины устанавливает связь между ее возможными значениями и вероятностями, с которыми она эти значения принимает. Для составления закона распределения дискретной случайной величины необходимы два ключевых элемента:

1. Перечень всех возможных значений, которые может принимать случайная величина. Этот перечень должен быть полным. Обозначим эти значения как $x_1, x_2, \dots, x_n$.

2. Соответствующие вероятности для каждого из этих значений. Для каждого значения $x_i$ должна быть указана вероятность $p_i$ того, что случайная величина примет именно это значение: $p_i = P(X=x_i)$.

Важнейшим условием корректности закона распределения является то, что сумма всех вероятностей должна быть равна единице, так как в результате испытания величина обязательно примет одно из своих возможных значений. Математически это выражается так:

$ \sum_{i=1}^{n} p_i = p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1 $

Эти элементы обычно представляют в виде таблицы, формулы или графика (многоугольника распределения).

Ответ: Для составления закона распределения необходимы два элемента: полный список всех возможных значений случайной величины и соответствующие им вероятности, сумма которых должна равняться единице.

4. Почему нельзя определить случайную величину без проведения испытаний?

Понятие «случайная величина» по своему определению неразрывно связано с понятием «случайное испытание» (или эксперимент). Случайная величина — это переменная, значение которой является результатом случайного испытания.

1. Неопределенность до испытания. Главная особенность случайной величины в том, что её конкретное значение неизвестно до проведения эксперимента. Мы можем знать все возможные значения и их вероятности (то есть её закон распределения), но какое именно из них реализуется — предсказать заранее невозможно. Например, мы знаем, что при броске кости случайная величина «число очков» может быть от 1 до 6, но узнать, какое число выпадет в этот раз, можно только бросив кость.

2. Испытание как источник значения. Именно проведение испытания и наблюдение за его исходом «определяет» или, точнее, реализует одно из возможных значений случайной величины. До испытания она существует как потенциальная возможность, а после — как конкретное число.

3. Определение закона распределения. Даже для того, чтобы теоретически описать случайную величину (т.е. задать ее закон распределения), мы должны мысленно представить себе испытание. А чтобы проверить или найти этот закон эмпирически (на практике), необходимо провести серию испытаний и на основе полученных частот оценить вероятности.

Таким образом, испытание является фундаментальным процессом, который порождает значение случайной величины. Без него случайная величина остается лишь абстрактной математической моделью.

Ответ: Нельзя определить конкретное значение случайной величины без проведения испытания, потому что её значение по определению является числовым исходом этого случайного испытания и остается неизвестным до его завершения.