Номер 20, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

20. Найдите наибольшее значение функции $f(x) = 4\sin^2x + 5\cos^2x$:

A) -2;

B) 0;

C) 5;

D) 2.

Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = 4\sin^2x + 5\cos^2x$ можно использовать основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$. Рассмотрим несколько способов решения.

Способ 1: Преобразование выражения

Представим функцию, разложив $5\cos^2x$ на два слагаемых: $4\cos^2x + \cos^2x$.

$f(x) = 4\sin^2x + 4\cos^2x + \cos^2x$

Теперь сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель 4 за скобки:

$f(x) = 4(\sin^2x + \cos^2x) + \cos^2x$

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, мы упрощаем выражение:

$f(x) = 4(1) + \cos^2x = 4 + \cos^2x$

Теперь необходимо найти наибольшее значение функции $f(x) = 4 + \cos^2x$. Значения функции косинуса, $\cos x$, находятся в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos x \le 1$. Следовательно, значения его квадрата, $\cos^2x$, находятся в пределах от 0 до 1, то есть $0 \le \cos^2x \le 1$.

Наибольшее значение функции $f(x)$ будет достигнуто, когда слагаемое $\cos^2x$ принимает свое максимальное значение, равное 1.

$f_{max} = 4 + 1 = 5$.

Способ 2: Замена одной из тригонометрических функций

Используя тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, мы можем выразить одну из функций в квадрате через другую и подставить в исходное уравнение.

Вариант А: Замена $\sin^2x$

Выразим $\sin^2x = 1 - \cos^2x$ и подставим в функцию:

$f(x) = 4(1 - \cos^2x) + 5\cos^2x$

$f(x) = 4 - 4\cos^2x + 5\cos^2x$

$f(x) = 4 + \cos^2x$

Как и в первом способе, мы видим, что функция зависит от $\cos^2x$. Наибольшее значение $\cos^2x$ равно 1, поэтому наибольшее значение функции: $f_{max} = 4 + 1 = 5$.

Вариант Б: Замена $\cos^2x$

Выразим $\cos^2x = 1 - \sin^2x$ и подставим в функцию:

$f(x) = 4\sin^2x + 5(1 - \sin^2x)$

$f(x) = 4\sin^2x + 5 - 5\sin^2x$

$f(x) = 5 - \sin^2x$

В этом случае наибольшее значение функции достигается, когда вычитаемое $\sin^2x$ имеет наименьшее значение. Область значений $\sin^2x$ это $[0, 1]$, поэтому его наименьшее значение равно 0.

$f_{max} = 5 - 0 = 5$.

Все рассмотренные способы приводят к одному и тому же результату. Наибольшее значение функции $f(x)$ равно 5. Среди предложенных вариантов ответа это вариант C).

Ответ: 5