Номер 16, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $g(x)=\frac{1}{3}\sin3x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$:

A) 9; 1.

B) -1; 0.

C) $\frac{1}{3}$; 0.

D) 0; $-\frac{1}{3}$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $g(x)=\frac{1}{3}\sin3x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, необходимо найти ее производную, определить критические точки, принадлежащие данному отрезку, и вычислить значения функции в этих точках, а также на концах отрезка. Наибольшее из полученных значений будет искомым наибольшим значением, а наименьшее — наименьшим.

Производная функции $g(x)$ находится с использованием правила дифференцирования сложной функции:$g'(x) = (\frac{1}{3}\sin3x)' = \frac{1}{3} \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = \frac{1}{3} \cdot \cos(3x) \cdot 3 = \cos(3x)$.

Критические точки находятся из условия $g'(x) = 0$:$\cos(3x) = 0$.Общее решение этого уравнения: $3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число.Соответственно, $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$.

Выберем те критические точки, которые принадлежат отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$:При $k=0$, $x = \frac{\pi}{6}$. Эта точка принадлежит отрезку.При $k=1$, $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$. Эта точка является концом отрезка.При других целых значениях $k$ точки лежат вне заданного отрезка.Следовательно, для нахождения наибольшего и наименьшего значений нужно сравнить значения функции в точках $x=0$, $x=\frac{\pi}{6}$ и $x=\frac{\pi}{2}$.

Вычислим значения функции в этих точках:$g(0) = \frac{1}{3}\sin(3 \cdot 0) = \frac{1}{3}\sin(0) = 0$.$g(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{3}\sin(3 \cdot \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.$g(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{3}\sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{3}\sin(\frac{3\pi}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (-1) = -\frac{1}{3}$.

Сравнивая полученные значения $0$, $\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{3}$, делаем вывод:Наибольшее значение функции на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ равно $\frac{1}{3}$.Наименьшее значение функции на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ равно $-\frac{1}{3}$.

Ответ: Наибольшее значение: $\frac{1}{3}$; наименьшее значение: $-\frac{1}{3}$.