Номер 21, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

21. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt{2}x + \cos 2x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{4}]$:

A) $1; \frac{\sqrt{2}}{2}; [\frac{\pi}{4} + 1];$

B) $0; \pi\sqrt{2};$

C) $\frac{\pi}{4}; \pi;$

D) $\pi\sqrt{2}; \pi.$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sqrt{2}x + \cos(2x)$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{4}]$, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Найти производную функции.

Производная функции $f(x)$ вычисляется по правилу дифференцирования суммы и сложной функции:

$f'(x) = (\sqrt{2}x + \cos(2x))' = (\sqrt{2}x)' + (\cos(2x))' = \sqrt{2} - 2\sin(2x)$.

2. Найти критические точки функции.

Критические точки — это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $f'(x)$ определена для всех $x$. Найдем точки, в которых производная равна нулю:

$f'(x) = 0$

$\sqrt{2} - 2\sin(2x) = 0$

$2\sin(2x) = \sqrt{2}$

$\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решениями этого тригонометрического уравнения являются:

$2x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $2x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{\pi}{8} + \pi k$ и $x = \frac{3\pi}{8} + \pi k$.

Теперь необходимо выбрать те из найденных точек, которые принадлежат заданному отрезку $[0; \frac{\pi}{4}]$.

Для первой серии корней $x = \frac{\pi}{8} + \pi k$: при $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{8}$. Эта точка принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{4}]$, так как $0 \le \frac{\pi}{8} \le \frac{\pi}{4}$. При других целых $k$ точки выходят за пределы отрезка.

Для второй серии корней $x = \frac{3\pi}{8} + \pi k$: при $k=0$ получаем $x = \frac{3\pi}{8}$. Эта точка не принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{4}]$, так как $\frac{3\pi}{8} > \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, на заданном отрезке имеется только одна критическая точка: $x = \frac{\pi}{8}$.

3. Вычислить значения функции в критической точке и на концах отрезка.

Значения функции на концах отрезка и в критической точке равны:

$f(0) = \sqrt{2} \cdot 0 + \cos(2 \cdot 0) = 0 + \cos(0) = 1$.

$f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{4} + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi\sqrt{2}}{4} + \cos(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi\sqrt{2}}{4} + 0 = \frac{\pi\sqrt{2}}{4}$.

$f(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{8} + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \frac{\pi\sqrt{2}}{8} + \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Сравнить полученные значения.

Сравним три полученных значения: $1$, $\frac{\pi\sqrt{2}}{4}$ и $\frac{\pi\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как $\pi \approx 3.14$, а $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\pi\sqrt{2} \approx 4.44 > 4$, следовательно $\frac{\pi\sqrt{2}}{4} > 1$.

Теперь сравним $f(\frac{\pi}{4})$ и $f(\frac{\pi}{8})$:

$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi\sqrt{2}}{4} = \frac{2\pi\sqrt{2}}{8}$.

$f(\frac{\pi}{8}) = \frac{\pi\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{8} + \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}(\pi+4)}{8}$.

Сравнение $\frac{2\pi\sqrt{2}}{8}$ и $\frac{\sqrt{2}(\pi+4)}{8}$ сводится к сравнению $2\pi$ и $\pi+4$.

Вычтем $\pi$ из обеих частей: сравним $\pi$ и $4$.

Так как $\pi < 4$, то $2\pi < \pi+4$, и, следовательно, $f(\frac{\pi}{4}) < f(\frac{\pi}{8})$.

Таким образом, мы получили, что $f(0) < f(\frac{\pi}{4}) < f(\frac{\pi}{8})$.

Наименьшее значение функции на отрезке — $y_{min} = f(0) = 1$.

Наибольшее значение функции на отрезке — $y_{max} = f(\frac{\pi}{8}) = \frac{\pi\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это значение можно представить в виде $\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{\pi}{4}+1)$.

Найденные значения соответствуют варианту ответа А.

Ответ: Наименьшее значение функции равно $1$, наибольшее значение равно $\frac{\pi\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.