Страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

20. Найдите наибольшее значение функции $f(x) = 4\sin^2x + 5\cos^2x$:

A) -2;

B) 0;

C) 5;

D) 2.

Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = 4\sin^2x + 5\cos^2x$ можно использовать основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$. Рассмотрим несколько способов решения.

Способ 1: Преобразование выражения

Представим функцию, разложив $5\cos^2x$ на два слагаемых: $4\cos^2x + \cos^2x$.

$f(x) = 4\sin^2x + 4\cos^2x + \cos^2x$

Теперь сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель 4 за скобки:

$f(x) = 4(\sin^2x + \cos^2x) + \cos^2x$

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, мы упрощаем выражение:

$f(x) = 4(1) + \cos^2x = 4 + \cos^2x$

Теперь необходимо найти наибольшее значение функции $f(x) = 4 + \cos^2x$. Значения функции косинуса, $\cos x$, находятся в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos x \le 1$. Следовательно, значения его квадрата, $\cos^2x$, находятся в пределах от 0 до 1, то есть $0 \le \cos^2x \le 1$.

Наибольшее значение функции $f(x)$ будет достигнуто, когда слагаемое $\cos^2x$ принимает свое максимальное значение, равное 1.

$f_{max} = 4 + 1 = 5$.

Способ 2: Замена одной из тригонометрических функций

Используя тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, мы можем выразить одну из функций в квадрате через другую и подставить в исходное уравнение.

Вариант А: Замена $\sin^2x$

Выразим $\sin^2x = 1 - \cos^2x$ и подставим в функцию:

$f(x) = 4(1 - \cos^2x) + 5\cos^2x$

$f(x) = 4 - 4\cos^2x + 5\cos^2x$

$f(x) = 4 + \cos^2x$

Как и в первом способе, мы видим, что функция зависит от $\cos^2x$. Наибольшее значение $\cos^2x$ равно 1, поэтому наибольшее значение функции: $f_{max} = 4 + 1 = 5$.

Вариант Б: Замена $\cos^2x$

Выразим $\cos^2x = 1 - \sin^2x$ и подставим в функцию:

$f(x) = 4\sin^2x + 5(1 - \sin^2x)$

$f(x) = 4\sin^2x + 5 - 5\sin^2x$

$f(x) = 5 - \sin^2x$

В этом случае наибольшее значение функции достигается, когда вычитаемое $\sin^2x$ имеет наименьшее значение. Область значений $\sin^2x$ это $[0, 1]$, поэтому его наименьшее значение равно 0.

$f_{max} = 5 - 0 = 5$.

Все рассмотренные способы приводят к одному и тому же результату. Наибольшее значение функции $f(x)$ равно 5. Среди предложенных вариантов ответа это вариант C).

Ответ: 5

21. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt{2}x + \cos 2x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{4}]$:

A) $1; \frac{\sqrt{2}}{2}; [\frac{\pi}{4} + 1];$

B) $0; \pi\sqrt{2};$

C) $\frac{\pi}{4}; \pi;$

D) $\pi\sqrt{2}; \pi.$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sqrt{2}x + \cos(2x)$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{4}]$, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Найти производную функции.

Производная функции $f(x)$ вычисляется по правилу дифференцирования суммы и сложной функции:

$f'(x) = (\sqrt{2}x + \cos(2x))' = (\sqrt{2}x)' + (\cos(2x))' = \sqrt{2} - 2\sin(2x)$.

2. Найти критические точки функции.

Критические точки — это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $f'(x)$ определена для всех $x$. Найдем точки, в которых производная равна нулю:

$f'(x) = 0$

$\sqrt{2} - 2\sin(2x) = 0$

$2\sin(2x) = \sqrt{2}$

$\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решениями этого тригонометрического уравнения являются:

$2x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $2x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{\pi}{8} + \pi k$ и $x = \frac{3\pi}{8} + \pi k$.

Теперь необходимо выбрать те из найденных точек, которые принадлежат заданному отрезку $[0; \frac{\pi}{4}]$.

Для первой серии корней $x = \frac{\pi}{8} + \pi k$: при $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{8}$. Эта точка принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{4}]$, так как $0 \le \frac{\pi}{8} \le \frac{\pi}{4}$. При других целых $k$ точки выходят за пределы отрезка.

Для второй серии корней $x = \frac{3\pi}{8} + \pi k$: при $k=0$ получаем $x = \frac{3\pi}{8}$. Эта точка не принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{4}]$, так как $\frac{3\pi}{8} > \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, на заданном отрезке имеется только одна критическая точка: $x = \frac{\pi}{8}$.

3. Вычислить значения функции в критической точке и на концах отрезка.

Значения функции на концах отрезка и в критической точке равны:

$f(0) = \sqrt{2} \cdot 0 + \cos(2 \cdot 0) = 0 + \cos(0) = 1$.

$f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{4} + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi\sqrt{2}}{4} + \cos(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi\sqrt{2}}{4} + 0 = \frac{\pi\sqrt{2}}{4}$.

$f(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{8} + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \frac{\pi\sqrt{2}}{8} + \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Сравнить полученные значения.

Сравним три полученных значения: $1$, $\frac{\pi\sqrt{2}}{4}$ и $\frac{\pi\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как $\pi \approx 3.14$, а $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\pi\sqrt{2} \approx 4.44 > 4$, следовательно $\frac{\pi\sqrt{2}}{4} > 1$.

Теперь сравним $f(\frac{\pi}{4})$ и $f(\frac{\pi}{8})$:

$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi\sqrt{2}}{4} = \frac{2\pi\sqrt{2}}{8}$.

$f(\frac{\pi}{8}) = \frac{\pi\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{8} + \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}(\pi+4)}{8}$.

Сравнение $\frac{2\pi\sqrt{2}}{8}$ и $\frac{\sqrt{2}(\pi+4)}{8}$ сводится к сравнению $2\pi$ и $\pi+4$.

Вычтем $\pi$ из обеих частей: сравним $\pi$ и $4$.

Так как $\pi < 4$, то $2\pi < \pi+4$, и, следовательно, $f(\frac{\pi}{4}) < f(\frac{\pi}{8})$.

Таким образом, мы получили, что $f(0) < f(\frac{\pi}{4}) < f(\frac{\pi}{8})$.

Наименьшее значение функции на отрезке — $y_{min} = f(0) = 1$.

Наибольшее значение функции на отрезке — $y_{max} = f(\frac{\pi}{8}) = \frac{\pi\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это значение можно представить в виде $\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{\pi}{4}+1)$.

Найденные значения соответствуют варианту ответа А.

Ответ: Наименьшее значение функции равно $1$, наибольшее значение равно $\frac{\pi\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

22. Сколько трехзначных нечетных чисел можно составить из цифр 2; 3; 5 так, чтобы цифры были разные:

А) 3;

В) 4;

С) 6;

D) 5;

Е) 7?

Решение:

Нам необходимо определить количество трехзначных нечетных чисел, которые можно составить из цифр 2, 3 и 5, при условии, что все цифры в числе должны быть различными.

Трехзначное число имеет три разряда: сотни, десятки и единицы. Будем определять количество возможных вариантов для каждого разряда.

1. Разряд единиц.

Поскольку число должно быть нечетным, его последняя цифра (разряд единиц) должна быть нечетной. Из данных нам цифр {2, 3, 5} нечетными являются 3 и 5. Следовательно, на место единиц мы можем поставить одну из этих двух цифр. Количество вариантов: 2.

2. Разряд сотен.

По условию, все цифры в числе должны быть разными. Одну цифру мы уже использовали для разряда единиц. Всего у нас было 3 цифры. Значит, для выбора цифры для разряда сотен у нас осталось $3 - 1 = 2$ варианта.

3. Разряд десятков.

Две цифры уже заняты (в разрядах единиц и сотен). Таким образом, для разряда десятков осталась только одна, последняя, неиспользованная цифра. Количество вариантов: $3 - 2 = 1$.

Чтобы найти общее количество возможных трехзначных чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждого разряда. Это следует из комбинаторного правила произведения.

Общее количество чисел = (количество вариантов для единиц) × (количество вариантов для сотен) × (количество вариантов для десятков) = $2 \times 2 \times 1 = 4$.

Мы также можем перечислить все эти числа для проверки:

• Если последняя цифра 3, то первые две можно составить из 2 и 5: 253, 523.
• Если последняя цифра 5, то первые две можно составить из 2 и 3: 235, 325.

Ответ: 4

23. Две бригады отремонтировали 40 км дороги. Первая бригада в день ремонтировала 9,5 км, вторая бригада — 7 км дороги. Если первая бригада работала на один день меньше, чем вторая, то укажите верное утверждение:

А) первая бригада работала три дня, вторая бригада — четыре дня;

В) первая бригада работала четыре дня, вторая бригада — три дня;

С) первая бригада отремонтировала на 3 км больше, чем вторая бригада;

D) вторая бригада отремонтировала на 2 км больше, чем первая бригада;

Е) вторая бригада отремонтировала на 3 км больше, чем первая бригада.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество дней, которое работала первая бригада.

Согласно условию, первая бригада работала на один день меньше, чем вторая. Значит, вторая бригада работала $x + 1$ дней.

Производительность первой бригады — $9,5$ км/день. За $x$ дней она отремонтировала $9,5x$ км дороги.

Производительность второй бригады — $7$ км/день. За $x + 1$ дней она отремонтировала $7(x + 1)$ км дороги.

Вместе они отремонтировали $40$ км. Составим и решим уравнение, чтобы найти $x$:

$9,5x + 7(x + 1) = 40$

$9,5x + 7x + 7 = 40$

$16,5x = 40 - 7$

$16,5x = 33$

$x = \frac{33}{16,5} = 2$

Таким образом, первая бригада работала $x = 2$ дня, а вторая бригада работала $x + 1 = 2 + 1 = 3$ дня.

Теперь найдем, какой объем работы выполнила каждая бригада:

Первая бригада: $2 \text{ дня} \times 9,5 \text{ км/день} = 19 \text{ км}$.

Вторая бригада: $3 \text{ дня} \times 7 \text{ км/день} = 21 \text{ км}$.

Проверим общую длину: $19 \text{ км} + 21 \text{ км} = 40 \text{ км}$. Расчеты верны.

Теперь проанализируем предложенные утверждения:

A) первая бригада работала три дня, вторая бригада — четыре дня;

Решение: Согласно расчетам, первая бригада работала 2 дня, а вторая — 3 дня. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

B) первая бригада работала четыре дня, вторая бригада — три дня;

Решение: Согласно расчетам, первая бригада работала 2 дня, а вторая — 3 дня. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

C) первая бригада отремонтировала на 3 км больше, чем вторая бригада;

Решение: Первая бригада отремонтировала 19 км, а вторая — 21 км. Первая бригада отремонтировала меньше, а не больше. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

D) вторая бригада отремонтировала на 2 км больше, чем первая бригада;

Решение: Разница в объеме выполненных работ составляет $21 \text{ км} - 19 \text{ км} = 2 \text{ км}$. Вторая бригада действительно отремонтировала на 2 км больше. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верно.

E) вторая бригада отремонтировала на 3 км больше, чем первая бригада.

Решение: Разница в объеме выполненных работ составляет 2 км, а не 3 км. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

24. Сколько натуральных чисел, кратных 7, принадлежат промежутку $ [209; 245) $:

A) 3;

B) 4;

C) 6;

D) 5;

E) 7?

Чтобы найти количество натуральных чисел, кратных 7, которые принадлежат промежутку $[209; 245]$, мы можем составить двойное неравенство. Пусть искомое число равно $n$. Тогда $n = 7k$, где $k$ – натуральное число.

Неравенство будет выглядеть так:

$209 \le 7k \le 245$

Чтобы найти возможные значения $k$, разделим все части неравенства на 7:

$\frac{209}{7} \le k \le \frac{245}{7}$

Вычислим значения дробей:

$29.857... \le k \le 35$

Поскольку $k$ должно быть целым числом, оно может принимать значения от 30 до 35 включительно. Перечислим эти значения: 30, 31, 32, 33, 34, 35.

Чтобы найти количество этих значений, можно вычесть из большего меньшее и прибавить единицу:

$35 - 30 + 1 = 6$

Таким образом, существует 6 натуральных чисел, кратных 7, в заданном промежутке. Эти числа: $7 \times 30 = 210$, $7 \times 31 = 217$, $7 \times 32 = 224$, $7 \times 33 = 231$, $7 \times 34 = 238$, $7 \times 35 = 245$. Все они находятся в промежутке $[209; 245]$.

Ответ: 6

25. На сколько процентов изменится значение произведения двух чисел, если одно из них уменьшить на 25%, а другое уменьшить на 40%:

A) уменьшится на 40%;

B) уменьшится на 45%;

C) уменьшится на 20%;

D) уменьшится на 50%;

E) увеличится на 35%?

Пусть исходные числа равны $a$ и $b$. Их произведение равно $P_{1} = a \cdot b$. Примем это значение за 100%.

Первое число уменьшают на 25%. Новое значение первого числа, $a'$, составит:$a' = a - 0.25a = 0.75a$

Второе число уменьшают на 40%. Новое значение второго числа, $b'$, составит:$b' = b - 0.40b = 0.60b$

Найдем новое произведение $P_{2}$, перемножив новые значения чисел:$P_{2} = a' \cdot b' = (0.75a) \cdot (0.60b) = (0.75 \cdot 0.60) \cdot (a \cdot b)$$P_{2} = 0.45 \cdot (a \cdot b) = 0.45 P_{1}$

Новое произведение $P_{2}$ составляет 0.45 от первоначального произведения $P_{1}$, или 45% от него.Чтобы найти, на сколько процентов изменилось значение, нужно вычесть из 100% новую процентную долю:Изменение = $100\% - 45\% = 55\%$Таким образом, точный расчет показывает, что произведение уменьшится на 55%.

Данного ответа нет среди предложенных вариантов. Это означает, что в условии задачи или в вариантах ответа, скорее всего, есть опечатка. Рассмотрим наиболее вероятный вариант опечатки, который приводит к одному из ответов. Если предположить, что уменьшение второго числа на 40% было опечаткой, и имелось в виду уменьшение на $33\frac{1}{3}\%$ (т.е. на $1/3$), то расчет будет выглядеть так:

Первое число: $a' = 0.75a = \frac{3}{4}a$Второе число: $b' = b - \frac{1}{3}b = \frac{2}{3}b$Новое произведение: $P_{2} = \frac{3}{4}a \cdot \frac{2}{3}b = \frac{6}{12}ab = \frac{1}{2}ab = 0.5 P_{1}$

В этом случае новое произведение составляет 50% от первоначального, что означает уменьшение на $100\% - 50\% = 50\%$. Этот результат соответствует варианту D).

D) уменьшится на 50%

Ответ: При условии, что в задаче допущена опечатка (40% вместо $33\frac{1}{3}\%$), правильным ответом является уменьшение на 50%.