Страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции по данному графику:

A) $(-1; 2)$ — возрастает; $(-\infty; -1)$ и $(2; +\infty)$ — убывает;

B) $(-2; 1)$ — убывает; $(1; +\infty)$ — возрастает;

C) $(-\infty; -1]$ и $[2; +\infty)$ — возрастает; $[-1; 2]$ — убывает;

D) $(-\infty; -1)$ и $(2; +\infty)$ — убывает; $(-1; 2)$ — возрастает.

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции по ее графику, необходимо определить, на каких интервалах по оси $x$ график движется вверх (функция возрастает), а на каких — вниз (функция убывает). Точки, в которых происходит смена направления, называются точками экстремума.

Проанализируем заданный график:

1. На интервале от $-\infty$ до $x = -1$ график функции поднимается, что означает, что функция возрастает. В точке $x = -1$ находится локальный максимум. Таким образом, один из промежутков возрастания — это $(-\infty, -1]$.

2. На интервале от $x = -1$ до $x = 2$ график функции опускается, что означает, что функция убывает. В точке $x = 2$ находится локальный минимум. Промежуток убывания — это $[-1, 2]$.

3. На интервале от $x = 2$ до $+\infty$ график функции снова поднимается, то есть функция возрастает. Второй промежуток возрастания — это $[2, +\infty)$.

Итак, мы получили следующие результаты:

Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[2, +\infty)$.

Функция убывает на промежутке $[-1, 2]$.

Сравнив наш вывод с предложенными вариантами, мы видим, что он полностью совпадает с вариантом C.

Ответ: C) $(-\infty; -1]$ и $[2; +\infty)$ — возрастает; $[-1; 2]$ — убывает;

2. Найдите точки экстремума функции по графику, данному в задании 1:

A) $x_{\min} = -2, x_{\max} = 1;$

B) $x_{\min} = -1, x_{\max} = 2;$

C) $x_{\min} = 2, x_{\max} = -1;$

D) $x_{\min} = 1, x_{\max} = 1.$

Для того чтобы найти точки экстремума функции по её графику, необходимо идентифицировать на графике все локальные максимумы (вершины) и минимумы (впадины) и определить их координаты по оси $x$.

Точка максимума ($x_{max}$) — это абсцисса точки, в которой возрастание функции сменяется её убыванием. На графике это выглядит как пик или вершина холма.

Точка минимума ($x_{min}$) — это абсцисса точки, в которой убывание функции сменяется её возрастанием. На графике это выглядит как дно впадины.

В данном задании график функции не предоставлен, так как он был дан в задании 1. Поэтому для выбора правильного ответа необходимо сделать предположение о виде этого графика, основываясь на предложенных вариантах. Обычно в таких задачах рассматриваются гладкие функции (например, полиномы), имеющие один максимум и один минимум.

Проанализируем предложенные варианты:

A) $x_{min} = -2, x_{max} = 1$. Этот вариант предполагает, что минимум функции находится в точке $x=-2$, а максимум — в точке $x=1$. На графике это бы выглядело как впадина при $x=-2$ и вершина при $x=1$.

B) $x_{min} = -1, x_{max} = 2$. Этот вариант предполагает, что минимум находится в точке $x=-1$, а максимум — в точке $x=2$. На графике это бы выглядело как впадина при $x=-1$ и вершина при $x=2$.

C) $x_{min} = 2, x_{max} = -1$. Этот вариант предполагает, что максимум находится в точке $x=-1$, а минимум — в точке $x=2$. На графике это бы выглядело как вершина при $x=-1$ и впадина при $x=2$.

D) $x_{min} = 1, x_{max} = 1$. Этот вариант является невозможным, поскольку в одной и той же точке функция не может иметь одновременно и локальный минимум, и локальный максимум.

Варианты A, B и C описывают возможные графики. Однако, если мы рассмотрим характерное поведение кубических функций, которые часто используются в таких примерах, то увидим два основных типа:

1. Функция сначала возрастает, достигает локального максимума, затем убывает до локального минимума, и снова возрастает. В этом случае абсцисса максимума меньше абсциссы минимума: $x_{max} < x_{min}$.

2. Функция сначала убывает, достигает локального минимума, затем возрастает до локального максимума, и снова убывает. В этом случае абсцисса минимума меньше абсциссы максимума: $x_{min} < x_{max}$.

Проверим, какому типу соответствует каждый из правдоподобных вариантов:

- В варианте A: $x_{min} = -2$, $x_{max} = 1$. Здесь $x_{min} < x_{max}$.

- В варианте B: $x_{min} = -1$, $x_{max} = 2$. Здесь $x_{min} < x_{max}$.

- В варианте C: $x_{min} = 2$, $x_{max} = -1$. Здесь $x_{max} < x_{min}$ (поскольку $-1 < 2$).

Исходя из того, что в учебных материалах часто используется график функции, подобный кубической параболе с положительным старшим коэффициентом (тип 1), наиболее вероятным является вариант, где сначала идет максимум, а затем минимум. Это соответствует варианту С.

Таким образом, предполагая, что на графике из задания 1 была изображена функция с локальным максимумом в точке $x=-1$ и локальным минимумом в точке $x=2$, мы получаем:

Точка максимума: $x_{max} = -1$.

Точка минимума: $x_{min} = 2$.

Этот результат полностью соответствует варианту C.

Ответ: C) $x_{min} = 2, x_{max} = -1$

3. Найдите промежуток убывания функции $y=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2$:

A) $[-1; 0);$

B) $[1; +\infty);$

C) $[-1; 0];$

D) $(-\infty -1].$

Для того чтобы найти промежуток убывания функции, необходимо найти ее производную и определить интервал, на котором производная является неположительной (то есть $y' \le 0$).

1. Исходная функция: $y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2$.

2. Найдем первую производную функции $y$ по переменной $x$:

$y' = (\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2)'$

Применяя правило дифференцирования для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило суммы, получаем:

$y' = \frac{1}{3} \cdot (3x^2) + \frac{1}{2} \cdot (2x) = x^2 + x$

3. Теперь определим, при каких значениях $x$ производная $y' \le 0$. Для этого решим неравенство:

$x^2 + x \le 0$

4. Для решения этого квадратного неравенства найдем сначала корни соответствующего уравнения $x^2 + x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 1) = 0$

Отсюда получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

5. Графиком функции $y' = x^2 + x$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен). Такая парабола принимает отрицательные или равные нулю значения между своими корнями.

Следовательно, неравенство $x^2 + x \le 0$ справедливо для всех $x$, находящихся на отрезке между $-1$ и $0$, включая концы.

Таким образом, промежуток убывания функции - это $[-1; 0]$.

Среди предложенных вариантов ответа этот промежуток соответствует варианту C.

Ответ: C) [-1; 0].

4. Вычислите точки экстремума функции $f(x) = 0,5x^4 - 2x$:

A) $x_{\text{max}} = 1, x_{\text{min}} = -1;$

B) $x_{\text{max}} = -1, x_{\text{min}} = 1;$

C) $x_{\text{min}} = 1;$

D) $x_{\text{max}} = -1.$

Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = 0.5x^4 - 2x$ необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследовать знак производной в окрестности этих точек.

1. Нахождение производной.

Область определения функции - все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$, так как функция является многочленом.

Найдем первую производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (0.5x^4 - 2x)' = 0.5 \cdot (x^4)' - (2x)' = 0.5 \cdot 4x^3 - 2 = 2x^3 - 2$.

2. Нахождение критических точек.

Критические точки - это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Поскольку производная $f'(x) = 2x^3 - 2$ определена для всех $x$, найдем точки, в которых она обращается в ноль:

$f'(x) = 0$

$2x^3 - 2 = 0$

$2x^3 = 2$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Таким образом, мы получили единственную критическую точку $x = 1$.

3. Определение вида экстремума.

Чтобы определить, является ли точка $x=1$ точкой максимума или минимума, исследуем знак производной на интервалах, на которые эта точка разбивает числовую ось: $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Для интервала $(-\infty; 1)$ выберем пробную точку, например, $x = 0$:

$f'(0) = 2(0)^3 - 2 = -2$.

Так как $f'(x) < 0$ на этом интервале, функция $f(x)$ убывает.

Для интервала $(1; +\infty)$ выберем пробную точку, например, $x = 2$:

$f'(2) = 2(2)^3 - 2 = 2 \cdot 8 - 2 = 14$.

Так как $f'(x) > 0$ на этом интервале, функция $f(x)$ возрастает.

Поскольку при переходе через точку $x=1$ знак производной меняется с минуса на плюс, то $x=1$ является точкой минимума. Точек максимума у функции нет.

Следовательно, единственная точка экстремума функции это $x_{min} = 1$.

Сравнивая наш результат с предложенными вариантами, заключаем, что верный ответ находится под буквой C.

Ответ: C) $x_{min} = 1$.

5. Найдите промежуток возрастания функции $f(x) = x + 5$:

A) $(-\infty; +\infty)$;

B) $(-\infty; 5)$;

C) $(5; +\infty)$;

D) нет.

Для определения промежутка возрастания функции $f(x) = x + 5$ можно использовать один из двух подходов.

Первый способ основан на анализе типа функции. Функция $f(x) = x + 5$ является линейной и имеет вид $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k=1$, а свободный член $b=5$. Поведение линейной функции полностью определяется знаком ее углового коэффициента $k$:

- если $k > 0$, функция возрастает на всей своей области определения;

- если $k < 0$, функция убывает;

- если $k = 0$, функция постоянна.

В нашем случае $k = 1$, что больше нуля. Следовательно, функция $f(x) = x + 5$ возрастает на всей своей области определения. Областью определения для любой линейной функции является множество всех действительных чисел, то есть промежуток $(-\infty; +\infty)$.

Второй способ — с использованием производной. Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна, то есть $f'(x) > 0$. Найдем производную данной функции:

$f'(x) = (x + 5)' = (x)' + (5)' = 1 + 0 = 1$.

Так как производная $f'(x) = 1$ является постоянной положительной величиной для любого значения $x$, функция $f(x)$ возрастает на всей числовой прямой, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Оба способа приводят к выводу, что функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$. Этот результат соответствует варианту А).

Ответ: A) $(-\infty; +\infty)$

6. Определите количество критических точек функции $y = \frac{x^2 - 1}{x}$.

A) нет;
B) 5;
C) 2;
D) –5.

Критические точки — это внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует. Чтобы определить количество критических точек функции $y = \frac{x^2 - 1}{x}$, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Найти область определения функции.

Данная функция является дробно-рациональной. Ее область определения — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x \neq 0$.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найти производную функции.

Для нахождения производной $y'$ воспользуемся правилом дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$y' = \left(\frac{x^2 - 1}{x}\right)' = \frac{(x^2 - 1)' \cdot x - (x^2 - 1) \cdot (x)'}{x^2} = \frac{2x \cdot x - (x^2 - 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 + 1}{x^2} = \frac{x^2 + 1}{x^2}$.

3. Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.

а) Приравняем производную к нулю ($y' = 0$):

$\frac{x^2 + 1}{x^2} = 0$

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.$x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$.

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

б) Найдем точки, в которых производная не существует:

Производная $y' = \frac{x^2 + 1}{x^2}$ не существует, если ее знаменатель равен нулю.

$x^2 = 0 \implies x = 0$.

4. Сделать вывод о количестве критических точек.

Мы выяснили, что производная функции нигде не обращается в ноль. Производная не существует в точке $x=0$.

Однако, согласно определению, критическая точка должна принадлежать области определения исходной функции. Точка $x=0$ не входит в область определения $D(y)$.

Следовательно, у функции $y = \frac{x^2 - 1}{x}$ нет критических точек.

Ответ: нет

7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^3 - 3x$ на отрезке $[0; 1]:$

A) 2; 0;

B) 0; -2;

C) 3; 0;

D) -3; 0.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом отрезке необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из полученных значений самое большое и самое маленькое.

Заданная функция: $y = x^3 - 3x$.

Заданный отрезок: $[0; 1]$.

1. Найдем производную функции.

Производная функции $y$ по переменной $x$ находится следующим образом:

$y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$

2. Найдем критические точки функции.

Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$3x^2 - 3 = 0$

$3(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

3. Определим, какие из критических точек принадлежат отрезку $[0; 1]$.

Точка $x_1 = 1$ принадлежит отрезку $[0; 1]$ (является его правым концом).

Точка $x_2 = -1$ не принадлежит отрезку $[0; 1]$.

4. Вычислим значения функции в точках, подлежащих проверке.

Проверять нужно значения функции на концах отрезка, то есть в точках $x=0$ и $x=1$.

При $x = 0$:

$y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 = 0$

При $x = 1$:

$y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2$

5. Сравним полученные значения.

Мы получили два значения функции: $0$ и $-2$.

Наибольшее из этих значений равно $0$.

Наименьшее из этих значений равно $-2$.

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $[0; 1]$ равно $0$, а наименьшее — $-2$. В предложенных вариантах ответа это соответствует паре $0; -2$.

Ответ: $0; -2$.

8. Найдите промежутки возрастания функции $y = 3x^2 - x^3:$

A) $(-\infty; -2]$ и $[0; +\infty);$

B) $(-\infty; -2]$ и $[0; +\infty);$

C) $(-\infty; 0]$ и $[2; +\infty);$

D) $[0; 2].$

Для того чтобы найти промежутки возрастания функции, необходимо найти её производную и определить интервалы, на которых производная неотрицательна (т.е. $y' \ge 0$).

1. Нахождение производной функции.

Исходная функция: $y = 3x^2 - x^3$.

Находим производную $y'$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (3x^2 - x^3)' = 3 \cdot 2x^{2-1} - 3x^{3-1} = 6x - 3x^2$.

2. Определение промежутков возрастания.

Функция возрастает, когда её производная $y' \ge 0$. Решим неравенство:

$6x - 3x^2 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни уравнения $6x - 3x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(2 - x) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 2$

Корни $0$ и $2$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$.

Определим знак производной $y' = 6x - 3x^2$ в каждом из этих интервалов. Графиком производной является парабола с ветвями, направленными вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ равен $-3$, что меньше нуля). Следовательно, производная положительна между своими корнями и отрицательна вне этого промежутка.

Таким образом, неравенство $y' = 6x - 3x^2 \ge 0$ выполняется на отрезке, заключенном между корнями, то есть при $x \in [0, 2]$.

Это и есть промежуток возрастания функции.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту D.

Ответ: D) $[0; 2]$.

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=\sqrt{3}x + \sin2x$ на отрезке $[0; \pi]$:

A) $\frac{\pi}{6}$; $\pi$;

B) $\pi\sqrt{3}$; $\pi$;

C) 0; $\pi\sqrt{3}$;

D) 0; $\pi$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \sqrt{3}x + \sin(2x)$ на отрезке $[0; \pi]$, необходимо исследовать функцию на этом отрезке.

Сначала найдем производную функции $y(x)$:$y' = (\sqrt{3}x + \sin(2x))' = \sqrt{3} + \cos(2x) \cdot (2x)' = \sqrt{3} + 2\cos(2x)$.

Затем найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$y' = 0 \implies \sqrt{3} + 2\cos(2x) = 0$$2\cos(2x) = -\sqrt{3}$$\cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решим тригонометрическое уравнение. Общее решение для $2x$:$2x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Поскольку $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, получаем:$2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$$x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k$

Теперь выберем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку $[0; \pi]$.1. Для серии $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$: - при $k=0$, $x = \frac{5\pi}{12}$. Эта точка принадлежит отрезку $[0; \pi]$.2. Для серии $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k$: - при $k=1$, $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{7\pi}{12}$. Эта точка также принадлежит отрезку $[0; \pi]$.Другие целые значения $k$ дают точки вне этого отрезка.

Теперь вычислим значения функции в найденных критических точках ($\frac{5\pi}{12}$, $\frac{7\pi}{12}$) и на концах отрезка ($0$, $\pi$).

- При $x=0$:$y(0) = \sqrt{3} \cdot 0 + \sin(2 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$.

- При $x=\frac{5\pi}{12}$:$y(\frac{5\pi}{12}) = \sqrt{3} \cdot \frac{5\pi}{12} + \sin(2 \cdot \frac{5\pi}{12}) = \frac{5\pi\sqrt{3}}{12} + \sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{5\pi\sqrt{3}}{12} + \frac{1}{2}$.

- При $x=\frac{7\pi}{12}$:$y(\frac{7\pi}{12}) = \sqrt{3} \cdot \frac{7\pi}{12} + \sin(2 \cdot \frac{7\pi}{12}) = \frac{7\pi\sqrt{3}}{12} + \sin(\frac{7\pi}{6}) = \frac{7\pi\sqrt{3}}{12} - \frac{1}{2}$.

- При $x=\pi$:$y(\pi) = \sqrt{3} \cdot \pi + \sin(2\pi) = \pi\sqrt{3} + 0 = \pi\sqrt{3}$.

Сравним полученные значения: $0$, $\pi\sqrt{3}$, $\frac{5\pi\sqrt{3}}{12} + \frac{1}{2}$ и $\frac{7\pi\sqrt{3}}{12} - \frac{1}{2}$.- Наименьшее значение: $y(0) = 0$. Остальные значения положительны, так как $\pi \approx 3.14$, $\sqrt{3} \approx 1.73$, и $\frac{7\pi\sqrt{3}}{12} \approx \frac{7 \cdot 3.14 \cdot 1.73}{12} \approx 3.17 > 0.5$.- Наибольшее значение: Сравним $\pi\sqrt{3}$, $\frac{5\pi\sqrt{3}}{12} + \frac{1}{2}$ и $\frac{7\pi\sqrt{3}}{12} - \frac{1}{2}$. Так как $\frac{7\pi\sqrt{3}}{12} - \frac{1}{2} > 0$, то $\pi\sqrt{3} - (\frac{5\pi\sqrt{3}}{12} + \frac{1}{2}) = \frac{7\pi\sqrt{3}}{12} - \frac{1}{2} > 0$, следовательно $y(\pi) > y(\frac{5\pi}{12})$. Также очевидно, что $\pi\sqrt{3} > \frac{7\pi\sqrt{3}}{12} - \frac{1}{2}$. Таким образом, наибольшее значение — это $y(\pi)=\pi\sqrt{3}$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке равно $0$, наибольшее значение равно $\pi\sqrt{3}$.