Страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Какие свойства функции, исходя из 2-го пункта алгоритма исследования функции, выполняются одновременно? Ответ обоснуйте.

2. В каких случаях 5-й пункт алгоритма не рассматривается полностью? Ответ обоснуйте.

1. Какие свойства функции, исходя из 2-го пункта алгоритма исследования функции, выполняются одновременно? Ответ обоснуйте.

Второй пункт стандартного алгоритма исследования функции обычно включает проверку на чётность/нечётность и периодичность. Одновременно могут выполняться следующие сочетания этих свойств:

1. Чётность и периодичность. Функция может быть одновременно и чётной, и периодической.

Обоснование: Классическим примером является функция $y = \cos(x)$. Она является чётной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\cos(-x) = \cos(x)$. В то же время она является периодической с наименьшим положительным периодом $T=2\pi$, так как $\cos(x+2\pi) = \cos(x)$.

2. Нечётность и периодичность. Функция может быть одновременно и нечётной, и периодической.

Обоснование: Примером служит функция $y = \sin(x)$. Она является нечётной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\sin(-x) = -\sin(x)$. Она также является периодической с наименьшим положительным периодом $T=2\pi$, так как $\sin(x+2\pi) = \sin(x)$.

3. Чётность и нечётность. Это свойство также может выполняться одновременно.

Обоснование: Если функция $f(x)$ одновременно чётная и нечётная, то для любого $x$ из её области определения (которая должна быть симметрична относительно нуля) должны выполняться два условия: $f(-x) = f(x)$ (свойство чётности) и $f(-x) = -f(x)$ (свойство нечётности). Приравнивая правые части, получаем $f(x) = -f(x)$, что равносильно $2f(x) = 0$, и следовательно, $f(x) = 0$. Таким образом, единственная функция, обладающая обоими свойствами, – это константа, равная нулю, $f(x)=0$. Стоит отметить, что эта функция также является периодической (с любым периодом $T > 0$), поэтому она удовлетворяет всем трём свойствам одновременно.

Ответ: Одновременно могут выполняться свойства чётности и периодичности (например, $y=\cos x$), а также нечётности и периодичности (например, $y=\sin x$). В частном случае функции $f(x)=0$, которая является единственной одновременно чётной и нечётной функцией, выполняются все три свойства: чётность, нечётность и периодичность.

2. В каких случаях 5-й пункт алгоритма не рассматривается полностью? Ответ обоснуйте.

Пятый пункт алгоритма исследования функции посвящён нахождению асимптот графика функции: вертикальных, горизонтальных и наклонных. Этот пункт рассматривается не полностью (то есть, некоторые виды асимптот не ищут) или не рассматривается совсем в следующих случаях:

1. Если область определения функции ограничена. В этом случае не рассматривается поиск горизонтальных и наклонных асимптот.

Обоснование: Горизонтальные и наклонные асимптоты описывают поведение функции при стремлении аргумента к бесконечности ($x \to +\infty$ и $x \to -\infty$). Если область определения функции является ограниченным множеством, например, отрезком $[a, b]$ или интервалом $(a, b)$, то $x$ не может стремиться к бесконечности. Следовательно, исследование поведения функции на бесконечности и поиск таких асимптот не имеют смысла.

2. Если функция является периодической (и не является константой). В этом случае у функции нет горизонтальных или наклонных асимптот.

Обоснование: У периодической функции, не являющейся постоянной, значения циклически повторяются. Из-за этого функция не стремится ни к какому конечному пределу, ни к поведению вида $y=kx+b$ при $x \to \pm\infty$. Пределы $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ и $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$, необходимые для нахождения таких асимптот, не существуют. Для таких функций (например, $y=\tan x$) ищут только вертикальные асимптоты.

3. Если функция непрерывна на всей своей области определения. В этом случае у функции нет вертикальных асимптот.

Обоснование: Вертикальные асимптоты могут существовать только в точках разрыва функции (как правило, второго рода) или на конечных границах области определения, где функция стремится к бесконечности. Если функция непрерывна на всей области определения (например, на $\mathbb{R}$), то таких точек разрыва у неё нет. Примерами могут служить многочлены, показательная функция $y=e^x$, функции $y=\sin x$, $y=\cos x$. Для них ищут только горизонтальные или наклонные асимптоты.

Ответ: Пятый пункт алгоритма (поиск асимптот) не рассматривается полностью, если: 1) область определения функции ограничена (в этом случае не ищут горизонтальные и наклонные асимптоты); 2) функция является периодической и отлична от константы (также не ищут горизонтальные и наклонные асимптоты); 3) функция непрерывна на всей своей области определения (не ищут вертикальные асимптоты). Если функция непрерывна на ограниченном замкнутом множестве (например, на отрезке), то пункт о нахождении асимптот не рассматривается вообще, так как отсутствуют условия для существования любых видов асимптот.