Страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Может ли быть точкой экстремума $x = a$ для функции $f(x)$, определенной на промежутке $[a; b]$?

2. Могут ли быть точки экстремума у убывающей функции?

3. Может ли иметь четная (нечетная) функция одну, две, три точки экстремума? Ответ обоснуйте.

1. Да, точка $x=a$ может быть точкой экстремума для функции $f(x)$, определенной на промежутке $[a; b]$.

Согласно определению, точка $x_0$ из области определения функции $f(x)$ называется точкой локального максимума (минимума), если существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$ (соответственно, $f(x) \ge f(x_0)$).

Для точки $x=a$, которая является концом отрезка $[a; b]$, рассматривается ее правосторонняя окрестность, то есть промежуток вида $[a, a+\delta)$, где $\delta > 0$.

Пример 1: Рассмотрим функцию $f(x) = -x$ на отрезке $[0; 5]$. Точка $x=0$ является точкой максимума, так как для любого $x$ из правосторонней окрестности точки $0$ (например, $[0; \delta)$ при $\delta > 0$) выполняется неравенство $f(x) = -x \le 0 = f(0)$.

Пример 2: Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$ на отрезке $[0; 2]$. Точка $x=0$ является точкой минимума, так как для любого $x$ из правосторонней окрестности точки $0$ выполняется неравенство $f(x) = x^2 \ge 0 = f(0)$.

Таким образом, концы отрезка, на котором определена функция, могут быть ее точками экстремума.

Ответ: Да, может.

2. Да, у убывающей функции могут быть точки экстремума.

Если функция является строго убывающей на открытом интервале (например, $(-\infty; +\infty)$), то у нее нет точек экстремума. Это связано с тем, что для любой точки $x_0$ в любой ее окрестности найдутся точки $x_1 < x_0$ и $x_2 > x_0$, для которых $f(x_1) > f(x_0)$ и $f(x_2) < f(x_0)$, что противоречит определению экстремума.

Однако, если строго убывающая функция определена на замкнутом отрезке $[a; b]$, то ее концы будут являться точками экстремума. На левом конце отрезка (в точке $a$) будет достигаться локальный максимум, а на правом конце (в точке $b$) — локальный минимум.

Пример: Функция $f(x) = -x$ на отрезке $[-1; 1]$ является строго убывающей. При этом точка $x=-1$ является точкой максимума ($f(-1)=1$), а точка $x=1$ — точкой минимума ($f(1)=-1$).

Ответ: Да, могут.

3. Разберем этот вопрос отдельно для четных и нечетных функций.

Четная функция

Четная функция симметрична относительно оси ординат, то есть $f(-x) = f(x)$. Из этого свойства следует, что если точка $x_0 \ne 0$ является точкой экстремума (например, максимума), то и симметричная ей точка $-x_0$ также будет точкой экстремума того же типа (максимума). Точка $x=0$ является особенной, так как она симметрична самой себе, и в ней может находиться "одиночный" экстремум.

Следовательно, количество не равных нулю точек экстремума у четной функции всегда четно. Общее число экстремумов может быть как четным (если $x=0$ не является точкой экстремума), так и нечетным (если $x=0$ является точкой экстремума).

• Может ли иметь одну точку экстремума? Да. Например, функция $f(x) = x^2$ имеет ровно одну точку экстремума (минимум) в точке $x=0$.
• Может ли иметь две точки экстремума? Да. Например, функция $f(x) = x^2 + \frac{16}{x^2}$. Эта функция четная, определена для всех $x \ne 0$. Она имеет две точки минимума в точках $x=2$ и $x=-2$.
• Может ли иметь три точки экстремума? Да. Например, функция $f(x) = x^4 - 2x^2$. Эта функция имеет три точки экстремума: локальный максимум в точке $x=0$ и два локальных минимума в точках $x=1$ и $x=-1$.

Нечетная функция

Нечетная функция симметрична относительно начала координат, то есть $f(-x) = -f(x)$. Из этого следует, что $f(0)=0$ (если функция определена в нуле). Если точка $x_0 \ne 0$ является точкой максимума, то симметричная ей точка $-x_0$ будет точкой минимума, так как $f(-x) = -f(x)$, и знак неравенства в определении экстремума изменится на противоположный. Точка $x=0$ у нечетной функции, как правило, не является точкой экстремума (за исключением тривиального случая, когда $f(x) \equiv 0$ в окрестности нуля).

Таким образом, точки экстремума у нечетной функции всегда идут парами (максимум-минимум), а значит, их общее количество должно быть четным.

• Может ли иметь одну точку экстремума? Нет, так как их число должно быть четным.
• Может ли иметь две точки экстремума? Да. Например, функция $f(x) = x^3 - 3x$. Она имеет две точки экстремума: локальный максимум в точке $x=-1$ и локальный минимум в точке $x=1$.
• Может ли иметь три точки экстремума? Нет, так как их число должно быть четным.

Ответ: Четная функция может иметь одну, две и три точки экстремума. Нечетная функция может иметь две точки экстремума, но не может иметь одну или три точки экстремума.

20.1. С помощью графика функции $f(x)$ найдите промежутки ее возрастания, убывания и точки экстремума (рис. 60):

Рис. 60

Промежутки возрастания

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента $x$ из этого промежутка соответствует большее значение функции $f(x)$. На графике это соответствует участкам, где кривая идет вверх при движении слева направо.

Анализируя представленный график, мы видим, что функция возрастает на следующих промежутках:

1. От точки с абсциссой $a_1$ до точки с абсциссой $a_2$.

2. От точки с абсциссой $a_5$ и далее вправо, то есть до $+\infty$.

Включая концы промежутков, где функция определена, получаем искомые промежутки.

Ответ: Промежутки возрастания: $[a_1, a_2]$ и $[a_5, +\infty)$.

Промежутки убывания

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента $x$ из этого промежутка соответствует меньшее значение функции $f(x)$. На графике это соответствует участкам, где кривая идет вниз при движении слева направо.

Из графика следует, что функция убывает на следующих промежутках:

1. От точки с абсциссой $a_2$ до точки с абсциссой $a_3$.

2. От точки с абсциссой $a_4$ до точки с абсциссой $a_5$.

На промежутке $[a_3, a_4]$ функция является постоянной, так как ее график — горизонтальный отрезок. Этот промежуток не является ни промежутком возрастания, ни промежутком убывания.

Ответ: Промежутки убывания: $[a_2, a_3]$ и $[a_4, a_5]$.

Точки экстремума

Точки экстремума — это точки локального максимума и локального минимума функции.

Точка максимума — это точка, в которой возрастание функции сменяется убыванием. На графике это соответствует "вершине". Для данной функции такая точка одна — $x = a_2$.

Точка минимума — это точка, в которой убывание функции сменяется возрастанием. На графике это соответствует "впадине". Для данной функции такая точка одна — $x = a_5$.

Точки $a_3$ и $a_4$ являются граничными точками для интервала, где функция постоянна. В точке $a_3$ убывание сменяется постоянством, а в точке $a_4$ постоянство сменяется убыванием. В классическом определении, где требуется строгая смена знака производной, эти точки не являются точками экстремума.

Ответ: Точка максимума: $x_{max} = a_2$; точка минимума: $x_{min} = a_5$.

Найдите критические точки функции. Укажите, какие из них являются точками минимума, какие — точками максимума (20.2—20.3):

20.2. a) $f(x) = 3x^2 - 2$;

б) $f(x) = 7x^2 + 3$;

в) $f(x) = 3x - x^2 + 1$;

г) $f(x) = 5x^2 - 8x - 3$.

а) $f(x) = 3x^2 - 2$

Для нахождения критических точек функции необходимо найти ее производную. Критические точки — это внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. Для данных функций (многочленов) производная существует на всей числовой оси, поэтому ищем точки, где она равна нулю.

1. Находим производную функции: $f'(x) = (3x^2 - 2)' = 6x$.

2. Приравниваем производную к нулю: $f'(x) = 0$, что дает уравнение $6x = 0$. Решением является $x = 0$. Это единственная критическая точка.

3. Чтобы определить тип точки экстремума (минимум или максимум), исследуем знак производной слева и справа от критической точки.

- При $x < 0$, $f'(x) = 6x < 0$, следовательно, функция убывает.

- При $x > 0$, $f'(x) = 6x > 0$, следовательно, функция возрастает.

Поскольку при переходе через точку $x=0$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Также можно заметить, что график функции — парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), поэтому её вершина является точкой минимума.

Ответ: $x=0$ — точка минимума.

б) $f(x) = 7x^2 + 3$

1. Находим производную функции: $f'(x) = (7x^2 + 3)' = 14x$.

2. Приравниваем производную к нулю: $f'(x) = 0$, что дает уравнение $14x = 0$. Решением является $x = 0$. Это единственная критическая точка.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 14x$ в окрестности точки $x=0$.

- При $x < 0$, $f'(x) = 14x < 0$, функция убывает.

- При $x > 0$, $f'(x) = 14x > 0$, функция возрастает.

При переходе через точку $x=0$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, $x=0$ — точка минимума.

Ответ: $x=0$ — точка минимума.

в) $f(x) = 3x - x^2 + 1$

1. Находим производную функции: $f'(x) = (3x - x^2 + 1)' = 3 - 2x$.

2. Приравниваем производную к нулю: $f'(x) = 0$, что дает уравнение $3 - 2x = 0$. Отсюда $2x = 3$ и $x = 1.5$. Это единственная критическая точка.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 3 - 2x$ в окрестности точки $x=1.5$.

- При $x < 1.5$ (например, $x=1$), $f'(1) = 3 - 2(1) = 1 > 0$, функция возрастает.

- При $x > 1.5$ (например, $x=2$), $f'(2) = 3 - 2(2) = -1 < 0$, функция убывает.

При переходе через точку $x=1.5$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, $x=1.5$ — точка максимума.

Ответ: $x=1.5$ — точка максимума.

г) $f(x) = 5x^2 - 8x - 3$

1. Находим производную функции: $f'(x) = (5x^2 - 8x - 3)' = 10x - 8$.

2. Приравниваем производную к нулю: $f'(x) = 0$, что дает уравнение $10x - 8 = 0$. Отсюда $10x = 8$ и $x = 0.8$. Это единственная критическая точка.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 10x - 8$ в окрестности точки $x=0.8$.

- При $x < 0.8$ (например, $x=0$), $f'(0) = 10(0) - 8 = -8 < 0$, функция убывает.

- При $x > 0.8$ (например, $x=1$), $f'(1) = 10(1) - 8 = 2 > 0$, функция возрастает.

При переходе через точку $x=0.8$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, $x=0.8$ — точка минимума.

Ответ: $x=0.8$ — точка минимума.

20.3. a) $f(x) = 0.5x^2 - 2x - 2.5;$

б) $f(x) = -4x^2 + 1;$

в) $f(x) = x^2 - \frac{x}{3};$

г) $f(x) = -x^2 + 3x.$

а) $f(x) = 0.5x^2 - 2x - 2.5$

Это квадратичная функция вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты $a = 0.5$, $b = -2$, $c = -2.5$.

Так как коэффициент $a = 0.5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 0.5} = \frac{2}{1} = 2$.

Ордината вершины $y_0$ является значением функции в точке $x_0$:

$y_0 = f(2) = 0.5 \cdot (2)^2 - 2 \cdot 2 - 2.5 = 0.5 \cdot 4 - 4 - 2.5 = 2 - 4 - 2.5 = -4.5$.

Координаты вершины: $(2, -4.5)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и возрастает на промежутке $[x_0, \infty)$.

Промежуток убывания: $(-\infty, 2]$.

Промежуток возрастания: $[2, \infty)$.

Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы и равно $y_0$.

$y_{min} = -4.5$.

Ответ: Вершина параболы находится в точке $(2, -4.5)$. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, \infty)$. Наименьшее значение функции равно $-4.5$.

б) $f(x) = -4x^2 + 1$

Это квадратичная функция вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты $a = -4$, $b = 0$, $c = 1$.

Так как коэффициент $a = -4 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-4)} = 0$.

Ордината вершины $y_0$ является значением функции в точке $x_0$:

$y_0 = f(0) = -4 \cdot (0)^2 + 1 = 1$.

Координаты вершины: $(0, 1)$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и убывает на промежутке $[x_0, \infty)$.

Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$.

Промежуток убывания: $[0, \infty)$.

Наибольшее значение функции достигается в вершине параболы и равно $y_0$.

$y_{max} = 1$.

Ответ: Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, \infty)$. Наибольшее значение функции равно $1$.

в) $f(x) = x^2 - \frac{x}{3}$

Это квадратичная функция вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты $a = 1$, $b = -\frac{1}{3}$, $c = 0$.

Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-1/3}{2 \cdot 1} = \frac{1/3}{2} = \frac{1}{6}$.

Ордината вершины $y_0$ является значением функции в точке $x_0$:

$y_0 = f(\frac{1}{6}) = (\frac{1}{6})^2 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} - \frac{1}{18} = \frac{1}{36} - \frac{2}{36} = -\frac{1}{36}$.

Координаты вершины: $(\frac{1}{6}, -\frac{1}{36})$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и возрастает на промежутке $[x_0, \infty)$.

Промежуток убывания: $(-\infty, \frac{1}{6}]$.

Промежуток возрастания: $[\frac{1}{6}, \infty)$.

Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы и равно $y_0$.

$y_{min} = -\frac{1}{36}$.

Ответ: Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{6}, -\frac{1}{36})$. Функция убывает на промежутке $(-\infty, \frac{1}{6}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{1}{6}, \infty)$. Наименьшее значение функции равно $-\frac{1}{36}$.

г) $f(x) = -x^2 + 3x$

Это квадратичная функция вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты $a = -1$, $b = 3$, $c = 0$.

Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ордината вершины $y_0$ является значением функции в точке $x_0$:

$y_0 = f(1.5) = -(1.5)^2 + 3 \cdot 1.5 = -2.25 + 4.5 = 2.25$.

Координаты вершины: $(1.5, 2.25)$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и убывает на промежутке $[x_0, \infty)$.

Промежуток возрастания: $(-\infty, 1.5]$.

Промежуток убывания: $[1.5, \infty)$.

Наибольшее значение функции достигается в вершине параболы и равно $y_0$.

$y_{max} = 2.25$.

Ответ: Вершина параболы находится в точке $(1.5, 2.25)$. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1.5]$ и убывает на промежутке $[1.5, \infty)$. Наибольшее значение функции равно $2.25$.