Вопросы, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Может ли быть точкой экстремума $x = a$ для функции $f(x)$, определенной на промежутке $[a; b]$?

2. Могут ли быть точки экстремума у убывающей функции?

3. Может ли иметь четная (нечетная) функция одну, две, три точки экстремума? Ответ обоснуйте.

1. Да, точка $x=a$ может быть точкой экстремума для функции $f(x)$, определенной на промежутке $[a; b]$.

Согласно определению, точка $x_0$ из области определения функции $f(x)$ называется точкой локального максимума (минимума), если существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$ (соответственно, $f(x) \ge f(x_0)$).

Для точки $x=a$, которая является концом отрезка $[a; b]$, рассматривается ее правосторонняя окрестность, то есть промежуток вида $[a, a+\delta)$, где $\delta > 0$.

Пример 1: Рассмотрим функцию $f(x) = -x$ на отрезке $[0; 5]$. Точка $x=0$ является точкой максимума, так как для любого $x$ из правосторонней окрестности точки $0$ (например, $[0; \delta)$ при $\delta > 0$) выполняется неравенство $f(x) = -x \le 0 = f(0)$.

Пример 2: Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$ на отрезке $[0; 2]$. Точка $x=0$ является точкой минимума, так как для любого $x$ из правосторонней окрестности точки $0$ выполняется неравенство $f(x) = x^2 \ge 0 = f(0)$.

Таким образом, концы отрезка, на котором определена функция, могут быть ее точками экстремума.

Ответ: Да, может.

2. Да, у убывающей функции могут быть точки экстремума.

Если функция является строго убывающей на открытом интервале (например, $(-\infty; +\infty)$), то у нее нет точек экстремума. Это связано с тем, что для любой точки $x_0$ в любой ее окрестности найдутся точки $x_1 < x_0$ и $x_2 > x_0$, для которых $f(x_1) > f(x_0)$ и $f(x_2) < f(x_0)$, что противоречит определению экстремума.

Однако, если строго убывающая функция определена на замкнутом отрезке $[a; b]$, то ее концы будут являться точками экстремума. На левом конце отрезка (в точке $a$) будет достигаться локальный максимум, а на правом конце (в точке $b$) — локальный минимум.

Пример: Функция $f(x) = -x$ на отрезке $[-1; 1]$ является строго убывающей. При этом точка $x=-1$ является точкой максимума ($f(-1)=1$), а точка $x=1$ — точкой минимума ($f(1)=-1$).

Ответ: Да, могут.

3. Разберем этот вопрос отдельно для четных и нечетных функций.

Четная функция

Четная функция симметрична относительно оси ординат, то есть $f(-x) = f(x)$. Из этого свойства следует, что если точка $x_0 \ne 0$ является точкой экстремума (например, максимума), то и симметричная ей точка $-x_0$ также будет точкой экстремума того же типа (максимума). Точка $x=0$ является особенной, так как она симметрична самой себе, и в ней может находиться "одиночный" экстремум.

Следовательно, количество не равных нулю точек экстремума у четной функции всегда четно. Общее число экстремумов может быть как четным (если $x=0$ не является точкой экстремума), так и нечетным (если $x=0$ является точкой экстремума).

• Может ли иметь одну точку экстремума? Да. Например, функция $f(x) = x^2$ имеет ровно одну точку экстремума (минимум) в точке $x=0$.
• Может ли иметь две точки экстремума? Да. Например, функция $f(x) = x^2 + \frac{16}{x^2}$. Эта функция четная, определена для всех $x \ne 0$. Она имеет две точки минимума в точках $x=2$ и $x=-2$.
• Может ли иметь три точки экстремума? Да. Например, функция $f(x) = x^4 - 2x^2$. Эта функция имеет три точки экстремума: локальный максимум в точке $x=0$ и два локальных минимума в точках $x=1$ и $x=-1$.

Нечетная функция

Нечетная функция симметрична относительно начала координат, то есть $f(-x) = -f(x)$. Из этого следует, что $f(0)=0$ (если функция определена в нуле). Если точка $x_0 \ne 0$ является точкой максимума, то симметричная ей точка $-x_0$ будет точкой минимума, так как $f(-x) = -f(x)$, и знак неравенства в определении экстремума изменится на противоположный. Точка $x=0$ у нечетной функции, как правило, не является точкой экстремума (за исключением тривиального случая, когда $f(x) \equiv 0$ в окрестности нуля).

Таким образом, точки экстремума у нечетной функции всегда идут парами (максимум-минимум), а значит, их общее количество должно быть четным.

• Может ли иметь одну точку экстремума? Нет, так как их число должно быть четным.
• Может ли иметь две точки экстремума? Да. Например, функция $f(x) = x^3 - 3x$. Она имеет две точки экстремума: локальный максимум в точке $x=-1$ и локальный минимум в точке $x=1$.
• Может ли иметь три точки экстремума? Нет, так как их число должно быть четным.

Ответ: Четная функция может иметь одну, две и три точки экстремума. Нечетная функция может иметь две точки экстремума, но не может иметь одну или три точки экстремума.