Номер 19.12, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.12. Производная функции $f(x)$ равна $f'(x) = (x - 3)(x - 1)(x - 2)^2$.

Найдите сумму длин промежутков убывания функции.

Для того чтобы найти промежутки убывания функции $f(x)$, необходимо найти промежутки, на которых её производная $f'(x)$ неположительна, то есть $f'(x) \le 0$.

Согласно условию, производная функции равна $f'(x) = (x - 3)(x - 1)(x - 2)^2$.

Нам необходимо решить неравенство:

$(x - 3)(x - 1)(x - 2)^2 \le 0$.

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Сначала найдём нули производной, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$(x - 3)(x - 1)(x - 2)^2 = 0$.

Корнями этого уравнения являются $x=1$, $x=3$ и $x=2$.

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знак производной в каждом из полученных интервалов.

Выражение $(x - 2)^2$ всегда больше или равно нулю ($ \ge 0 $) при любом значении $x$. Это означает, что при переходе через точку $x=2$ знак производной $f'(x)$ не изменяется, так как этот корень имеет чётную кратность (2). Таким образом, знак производной определяется знаком произведения $(x - 3)(x - 1)$.

Графиком функции $y = (x - 3)(x - 1)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Она принимает отрицательные значения между своими корнями $x=1$ и $x=3$.

Проанализируем знаки $f'(x)$ на интервалах:

- На интервале $(-\infty, 1)$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(1, 3)$ произведение $(x - 3)(x - 1) < 0$, и так как $(x-2)^2 > 0$ (кроме точки $x=2$), то $f'(x) < 0$. В точках $x=1, x=2, x=3$ производная равна нулю. Следовательно, на всём отрезке $[1, 3]$ выполняется условие $f'(x) \le 0$. Значит, функция убывает на отрезке $[1, 3]$.

- На интервале $(3, \infty)$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Таким образом, функция убывает на одном промежутке $[1, 3]$.

Длина этого промежутка равна разности его конечных и начальных точек: $3 - 1 = 2$.

Поскольку промежуток убывания всего один, сумма длин промежутков убывания равна его длине.

Ответ: 2