Номер 19.6, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.6. Найдите промежутки возрастания (убывания) функции:

а) $f(x) = x^3 + 4x - 7;$

б) $f(x) = 5x^2 - 3x - 8;$

в) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x;$

г) $y = 3x^3 - x - 2.$

а) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x^3 + 4x - 7$, найдем ее производную. Область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (x^3 + 4x - 7)' = 3x^2 + 4$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$3x^2 + 4 = 0$

$3x^2 = -4$

$x^2 = -4/3$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, у функции нет критических точек.

Определим знак производной на всей числовой оси. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $3x^2 \ge 0$, и, соответственно, $f'(x) = 3x^2 + 4 \ge 4$. Таким образом, $f'(x) > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная функции положительна на всей области определения, функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

б) Для функции $f(x) = 5x^2 - 3x - 8$ найдем производную. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (5x^2 - 3x - 8)' = 10x - 3$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$10x - 3 = 0$

$10x = 3$

$x = 0,3$

Критическая точка $x = 0,3$ делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty; 0,3)$ и $(0,3; +\infty)$.

Определим знаки производной на этих интервалах:

- При $x < 0,3$ (например, при $x = 0$), $f'(0) = 10 \cdot 0 - 3 = -3 < 0$. Значит, на промежутке $(-\infty; 0,3]$ функция убывает.

- При $x > 0,3$ (например, при $x = 1$), $f'(1) = 10 \cdot 1 - 3 = 7 > 0$. Значит, на промежутке $[0,3; +\infty)$ функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0,3; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 0,3]$.

в) Для функции $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x$ найдем производную. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 12x)' = 6x^2 + 6x - 12$.

Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$6x^2 + 6x - 12 = 0$

Разделим все уравнение на 6, чтобы упростить его:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Критические точки $x = -2$ и $x = 1$ делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Определим знаки производной $f'(x) = 6(x+2)(x-1)$ на этих интервалах:

- При $x \in (-\infty; -2)$ (например, $x = -3$), $f'(-3) = 6(-3+2)(-3-1) = 6(-1)(-4) = 24 > 0$. Функция возрастает на $(-\infty; -2]$.

- При $x \in (-2; 1)$ (например, $x = 0$), $f'(0) = 6(0+2)(0-1) = 6(2)(-1) = -12 < 0$. Функция убывает на $[-2; 1]$.

- При $x \in (1; +\infty)$ (например, $x = 2$), $f'(2) = 6(2+2)(2-1) = 6(4)(1) = 24 > 0$. Функция возрастает на $[1; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $[-2; 1]$.

г) Для функции $y = 3x^3 - x - 2$ найдем производную. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

$y' = (3x^3 - x - 2)' = 9x^2 - 1$.

Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:

$9x^2 - 1 = 0$

$9x^2 = 1$

$x^2 = 1/9$

$x_1 = -1/3$, $x_2 = 1/3$.

Критические точки $x = -1/3$ и $x = 1/3$ делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1/3)$, $(-1/3; 1/3)$ и $(1/3; +\infty)$.

График производной $y' = 9x^2 - 1$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения производной положительны вне корней и отрицательны между корнями.

- При $x \in (-\infty; -1/3)$ и $x \in (1/3; +\infty)$, $y' > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1/3]$ и $[1/3; +\infty)$.

- При $x \in (-1/3; 1/3)$, $y' < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $[-1/3; 1/3]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1/3]$ и $[1/3; +\infty)$, убывает на промежутке $[-1/3; 1/3]$.