Номер 19.3, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $f(x)$:

a) $f(x) = x + 4$;

б) $f(x) = 3x + x^2$;

в) $f(x) = 2x^2 - x$;

г) $f(x) = \frac{1}{x+1}$.

а) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x + 4$ найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $f'(x) = (x+4)' = 1$.

Так как производная $f'(x) = 1$ является положительной константой для любых значений $x$, функция возрастает на всей своей области определения.

Промежутков убывания нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

б) Для функции $f(x) = 3x + x^2$ найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $f'(x) = (3x + x^2)' = 3 + 2x$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$3 + 2x = 0$

$2x = -3$

$x = -1.5$

Эта точка делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; -1.5)$ и $(-1.5; +\infty)$.

Определим знак производной на каждом промежутке:

При $x < -1.5$ (например, при $x = -2$), $f'(-2) = 3 + 2(-2) = 3 - 4 = -1 < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; -1.5]$.

При $x > -1.5$ (например, при $x = 0$), $f'(0) = 3 + 2(0) = 3 > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[-1.5; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1.5; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; -1.5]$.

в) Для функции $f(x) = 2x^2 - x$ найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $f'(x) = (2x^2 - x)' = 4x - 1$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$4x - 1 = 0$

$4x = 1$

$x = 0.25$

Эта точка делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 0.25)$ и $(0.25; +\infty)$.

Определим знак производной на каждом промежутке:

При $x < 0.25$ (например, при $x = 0$), $f'(0) = 4(0) - 1 = -1 < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0.25]$.

При $x > 0.25$ (например, при $x = 1$), $f'(1) = 4(1) - 1 = 3 > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[0.25; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0.25; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 0.25]$.

г) Для функции $f(x) = \frac{1}{x+1}$ найдем ее производную. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x+1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Производная функции: $f'(x) = \left(\frac{1}{x+1}\right)' = \left((x+1)^{-1}\right)' = -1 \cdot (x+1)^{-2} \cdot (x+1)' = -\frac{1}{(x+1)^2}$.

Найдем критические точки. Производная $f'(x)$ никогда не равна нулю, так как числитель равен $-1$. Производная не определена в точке $x = -1$, которая не входит в область определения функции.

Определим знак производной на интервалах, на которые точка $x = -1$ делит область определения: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

Для любого $x$ из области определения, выражение $(x+1)^2$ всегда положительно. Следовательно, производная $f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}$ всегда отрицательна.

Это означает, что функция убывает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$, промежутков возрастания нет.