Номер 19.2, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.2. На рисунке 56, б дан график производной функции $y = f(x)$.

С помощью графика определите промежутки:

а) возрастания;

б) убывания;

в) знакопостоянства.

Рис. 56

В данной задаче представлены графики производной функции $y = f'(x)$. Для определения промежутков возрастания и убывания исходной функции $y = f(x)$ используется следующий признак:

• Если на некотором промежутке производная $f'(x) > 0$, то функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает.
• Если на некотором промежутке производная $f'(x) < 0$, то функция $f(x)$ на этом промежутке убывает.

Промежутки знакопостоянства функции $y = f(x)$ — это промежутки, где $f(x) > 0$ или $f(x) < 0$.

Для графика на рисунке 56, а:

а) промежутки возрастания

Функция $y = f(x)$ возрастает там, где ее производная $f'(x)$ положительна. По графику видно, что $f'(x) > 0$ (график находится выше оси Ox) при $x$ из интервалов $(a_1, a_3)$ и $(a_5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (a_1, a_3) \cup (a_5, +\infty)$.

б) промежутки убывания

Функция $y = f(x)$ убывает там, где ее производная $f'(x)$ отрицательна. По графику видно, что $f'(x) < 0$ (график находится ниже оси Ox) при $x$ из интервалов $(-\infty, a_1)$ и $(a_3, a_5)$.

Ответ: $x \in (-\infty, a_1) \cup (a_3, a_5)$.

в) промежутки знакопостоянства

График производной $f'(x)$ позволяет определить промежутки монотонности и точки экстремумов функции $f(x)$, но не дает информации о значениях самой функции $f(x)$. Мы не знаем, где график функции $y=f(x)$ пересекает ось абсцисс, и пересекает ли вообще. Без дополнительной информации (например, значения функции в какой-либо точке) определить промежутки, на которых $f(x)>0$ или $f(x)<0$, невозможно.

Ответ: Определить по графику производной невозможно.

Для графика на рисунке 56, б:

а) промежутки возрастания

Функция $y = f(x)$ возрастает, когда $f'(x) > 0$. По графику видно, что $f'(x)$ положительна на интервалах $(b_1, 0)$ и $(0, b_5)$. В точке $x=0$ производная равна нулю, но ее знак не меняется. Это означает, что в точке $x=0$ у функции $f(x)$ точка перегиба, и функция продолжает возрастать. Таким образом, функция возрастает на всем промежутке от $b_1$ до $b_5$.

Ответ: $x \in (b_1, b_5)$.

б) промежутки убывания

Функция $y = f(x)$ убывает, когда $f'(x) < 0$. По графику видно, что $f'(x)$ отрицательна на интервалах $(-\infty, b_1)$ и $(b_5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, b_1) \cup (b_5, +\infty)$.

в) промежутки знакопостоянства

Как и в предыдущем случае, по графику производной $f'(x)$ невозможно определить промежутки знакопостоянства исходной функции $y = f(x)$, поскольку нет данных о значениях самой функции и ее положении относительно оси абсцисс.

Ответ: Определить по графику производной невозможно.