Номер 19.7, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.7. Докажите, что функция $y = f(x)$ является возрастающей:

a) $y = x^3 + x;$

б) $y = -\frac{4}{x}$.

а) Чтобы доказать, что функция $y = f(x) = x^3 + x$ является возрастающей, найдем ее производную. Функция является возрастающей на промежутке, если ее производная на этом промежутке положительна.

Область определения данной функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^3 + x)' = (x^3)' + (x)' = 3x^2 + 1$.

Теперь исследуем знак производной. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $3x^2 \ge 0$. Следовательно, $y' = 3x^2 + 1 \ge 1$.

Так как производная $y' > 0$ для всех $x$ из области определения, функция является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: поскольку производная $y' = 3x^2 + 1 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, функция $y = x^3 + x$ является возрастающей.

б) Чтобы доказать, что функция $y = f(x) = -\frac{4}{x}$ является возрастающей, найдем ее производную и исследуем ее знак на области определения.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция называется возрастающей, если она возрастает на каждом из промежутков своей области определения.

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде $y = -4x^{-1}$ и найдем производную:

$y' = (-4x^{-1})' = -4(-1)x^{-2} = 4x^{-2} = \frac{4}{x^2}$.

Исследуем знак производной. Для любого $x$ из области определения ($x \neq 0$), знаменатель $x^2$ всегда строго положителен ($x^2>0$). Числитель 4 также положителен.

Следовательно, производная $y' = \frac{4}{x^2}$ строго положительна для всех $x$ из области определения.

Так как производная положительна на всей области определения, функция $y = -\frac{4}{x}$ является возрастающей на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: поскольку производная $y' = \frac{4}{x^2} > 0$ на всей области определения $D(f)$, функция $y = -\frac{4}{x}$ является возрастающей на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.