gdz.top
Номер 19.10, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова
Авторы: Абылкасымова А. Е., Жумагулова З. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-07-1142-6
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Применение производной. Параграф 19. Признаки возрастания и убывания функции - номер 19.10, страница 110.
№19.9
№19.10 (с. 110)
Условие. №19.10 (с. 110)
19.10. При каком значении $a$ на множестве действительных чисел функция $f(x)=\frac{x^3}{3}+ax^2+x$ является возрастающей?
Решение. №19.10 (с. 110)
Решение 2. №19.10 (с. 110)
Для того чтобы дифференцируемая функция была возрастающей на множестве действительных чисел, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неотрицательной на этом множестве.
Заданная функция $f(x) = \frac{x^3}{3} + ax^2 + x$ является дифференцируемой на всей числовой прямой.
Найдем ее производную:$f'(x) = \left(\frac{x^3}{3} + ax^2 + x\right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + a \cdot 2x + 1 = x^2 + 2ax + 1$.
Условие возрастания функции $f(x)$ на множестве действительных чисел — это выполнение неравенства $f'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.$x^2 + 2ax + 1 \ge 0$.
Левая часть этого неравенства представляет собой квадратный трехчлен относительно $x$. Графиком функции $y = x^2 + 2ax + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$.
Чтобы данная парабола полностью находилась в верхней полуплоскости (не ниже оси абсцисс), необходимо, чтобы соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 2ax + 1 = 0$ имело не более одного действительного корня. Это условие выполняется, если дискриминант $D$ квадратного трехчлена меньше или равен нулю.
Вычислим дискриминант:$D = (2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4a^2 - 4$.
Теперь решим неравенство $D \le 0$:$4a^2 - 4 \le 0$$4(a^2 - 1) \le 0$$a^2 - 1 \le 0$$(a - 1)(a + 1) \le 0$
Решением этого неравенства является промежуток между корнями $a = -1$ и $a = 1$, включая сами корни.Таким образом, $a \in [-1, 1]$.
Ответ: $a \in [-1; 1]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 19.10 расположенного на странице 110 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №19.10 (с. 110), авторов: Абылкасымова (Алма Есимбековна), Жумагулова (Зауре Абдыкеновна), учебного пособия издательства Мектеп.