Номер 19.11, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.11. Найдите число целых значений $x$ на промежутке убывания функции.

Поскольку в задаче 19.11 из типовых сборников обычно есть несколько подпунктов (а, б, в, г), а на изображении не указан конкретный, приведем решение для каждого из них.

а)

Рассмотрим функцию $y = (x+2)^2(x-3)$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Проще всего это сделать по правилу производной произведения $(uv)'=u'v+uv'$:

$y' = ((x+2)^2)'(x-3) + (x+2)^2(x-3)' = 2(x+2)(x-3) + (x+2)^2 \cdot 1$

Вынесем общий множитель $(x+2)$ для упрощения:

$y' = (x+2)(2(x-3) + (x+2)) = (x+2)(2x-6+x+2) = (x+2)(3x-4)$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$(x+2)(3x-4)=0$

Отсюда получаем корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = \frac{4}{3}$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось. Производная $y' = 3x^2+2x-8$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Функция убывает, когда ее производная отрицательна ($y' < 0$). Это происходит на промежутке $(-2, \frac{4}{3})$.

5. Найдем количество целых значений $x$ на этом промежутке. Так как $\frac{4}{3} \approx 1.33$, то в интервал $(-2, 1.33...)$ входят следующие целые числа: -1, 0, 1.

Всего таких чисел 3.

Ответ: 3.

б)

Рассмотрим функцию $y = (x-4)^3(x+1)^2$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции по правилу производной произведения:

$y' = ((x-4)^3)'(x+1)^2 + (x-4)^3((x+1)^2)' = 3(x-4)^2(x+1)^2 + (x-4)^3 \cdot 2(x+1)$

Вынесем общий множитель $(x-4)^2(x+1)$:

$y' = (x-4)^2(x+1)[3(x+1) + 2(x-4)] = (x-4)^2(x+1)(3x+3+2x-8) = (x-4)^2(x+1)(5x-5) = 5(x-1)(x+1)(x-4)^2$.

3. Найдем критические точки из условия $y' = 0$:

$5(x-1)(x+1)(x-4)^2=0$

Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = 4$.

4. Определим знаки производной методом интервалов. Точки, делящие ось: -1, 1, 4. Заметим, что при переходе через точку $x=4$ знак производной не меняется, так как множитель $(x-4)^2$ всегда неотрицателен.

На интервале $(1, \infty)$ производная положительна (например, при $x=5$, $y' > 0$).

На интервале $(-1, 1)$ производная отрицательна (например, при $x=0$, $y' = 5(-1)(1)(-4)^2 < 0$).

На интервале $(-\infty, -1)$ производная положительна (например, при $x=-2$, $y' > 0$).

Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть на промежутке $(-1, 1)$.

5. Единственное целое значение $x$, которое находится на этом промежутке, — это 0.

Количество целых значений равно 1.

Ответ: 1.

в)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2}$.

1. Найдем область определения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2+3x+2 \neq 0$.

Разложив на множители, получаем $(x+1)(x+2) \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$ и $x \neq -2$.

$D(y) = (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (-1, +\infty)$.

2. Найдем производную, используя правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(2x-3)(x^2+3x+2) - (x^2-3x+2)(2x+3)}{(x^2+3x+2)^2}$

Раскроем скобки в числителе: $(2x^3+6x^2+4x-3x^2-9x-6) - (2x^3+3x^2-6x^2-9x+4x+6) = (2x^3+3x^2-5x-6) - (2x^3-3x^2-5x+6) = 6x^2-12 = 6(x^2-2)$.

Таким образом, $y' = \frac{6(x^2-2)}{(x^2+3x+2)^2}$.

3. Функция убывает, когда $y' < 0$. Так как знаменатель $(x^2+3x+2)^2$ всегда положителен (в области определения), знак производной определяется знаком числителя $6(x^2-2)$.

$6(x^2-2) < 0 \implies x^2-2 < 0$.

Это неравенство выполняется на интервале $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

4. Учтем область определения. Промежуток убывания $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ разрывается в точке $x=-1$, которая не входит в $D(y)$. Точка $x=-2$ не попадает в этот интервал.

Таким образом, функция убывает на объединении промежутков $(-\sqrt{2}, -1) \cup (-1, \sqrt{2})$.

5. Найдем целые значения $x$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, мы ищем целые числа в $( -1.414, -1) \cup (-1, 1.414)$.

В первом интервале $( -1.414, -1)$ целых чисел нет. Во втором интервале $(-1, 1.414)$ находятся целые числа 0 и 1.

Всего таких чисел 2.

Ответ: 2.

г)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x-5}{x^2-9}$.

1. Область определения: знаменатель $x^2-9 \neq 0$, откуда $x \neq \pm 3$.

$D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = \frac{(x-5)'(x^2-9) - (x-5)(x^2-9)'}{(x^2-9)^2} = \frac{1(x^2-9) - (x-5)(2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{x^2-9-2x^2+10x}{(x^2-9)^2} = \frac{-x^2+10x-9}{(x^2-9)^2}$.

3. Функция убывает, когда $y' < 0$. Знак производной зависит от знака числителя, так как знаменатель всегда положителен в области определения.

$-x^2+10x-9 < 0 \implies x^2-10x+9 > 0$.

Корнями уравнения $x^2-10x+9=0$ являются $x_1=1, x_2=9$.

Неравенство $(x-1)(x-9)>0$ выполняется, когда $x \in (-\infty, 1) \cup (9, +\infty)$.

4. С учетом области определения ($x \neq -3$), промежутки убывания функции: $(-\infty, -3) \cup (-3, 1) \cup (9, +\infty)$.

5. На этих промежутках находится бесконечное число целых значений $x$ (например, $..., -5, -4$ и $10, 11, ...$). Формулировка вопроса "найдите число" предполагает конечный ответ. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка, и имелись в виду промежутки возрастания функции.

Рассмотрим этот случай. Функция возрастает, когда $y' > 0$.

$-x^2+10x-9 > 0 \implies x^2-10x+9 < 0 \implies (x-1)(x-9) < 0$.

Это неравенство выполняется на интервале $(1, 9)$.

С учетом области определения ($x \neq 3$), промежутки возрастания: $(1, 3) \cup (3, 9)$.

Найдем целые значения $x$ на этих промежутках:

На интервале $(1, 3)$ находится одно целое число: 2.

На интервале $(3, 9)$ находятся целые числа: 4, 5, 6, 7, 8 (всего 5 чисел).

Общее количество целых значений: $1 + 5 = 6$.

Ответ: 6 (при предположении, что в задаче имелись в виду промежутки возрастания, так как на промежутках убывания число целых значений бесконечно).