Номер 19.8, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.8. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

a) $f(x) = x^3 - 3x + 5$;

б) $f(x) = x^3 - 4x + 7$;

в) $f(x) = x^5 + 5$;

г) $y = x^4 - 4x$.

а) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x^3 - 3x + 5$, сначала найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Производная функции: $f'(x) = (x^3 - 3x + 5)' = 3x^2 - 3$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки, в которых может меняться характер монотонности функции:

$3x^2 - 3 = 0$

$3(x^2 - 1) = 0$

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, \infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов, чтобы понять, возрастает или убывает функция.

- На интервале $(-\infty, -1)$, выберем пробную точку $x = -2$: $f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9$. Так как $f'(x) > 0$, функция на этом интервале возрастает.

- На интервале $(-1, 1)$, выберем пробную точку $x = 0$: $f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3$. Так как $f'(x) < 0$, функция на этом интервале убывает.

- На интервале $(1, \infty)$, выберем пробную точку $x = 2$: $f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9$. Так как $f'(x) > 0$, функция на этом интервале возрастает.

Включая концы интервалов (критические точки), получаем, что функция возрастает на $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$, а убывает на $[-1, 1]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$, убывает на промежутке $[-1, 1]$.

б) Для функции $f(x) = x^3 - 4x + 7$ найдем ее производную. Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Производная функции: $f'(x) = (x^3 - 4x + 7)' = 3x^2 - 4$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 4 = 0$

$x^2 = \frac{4}{3}$

Критические точки: $x_1 = -\sqrt{\frac{4}{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$ и $x_2 = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, -\frac{2\sqrt{3}}{3})$, $(-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3})$ и $(\frac{2\sqrt{3}}{3}, \infty)$. График производной $f'(x) = 3x^2 - 4$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне корней и отрицательна между ними.

- На интервалах $(-\infty, -\frac{2\sqrt{3}}{3})$ и $(\frac{2\sqrt{3}}{3}, \infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

- На интервале $(-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3})$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на $(-\infty, -\frac{2\sqrt{3}}{3}]$ и $[\frac{2\sqrt{3}}{3}, \infty)$, а убывает на $[-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3}]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -\frac{2\sqrt{3}}{3}]$ и $[\frac{2\sqrt{3}}{3}, \infty)$, убывает на промежутке $[-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3}]$.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 5$. Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^5 + 5)' = 5x^4$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$5x^4 = 0 \implies x = 0$.

Определим знак производной. Так как $x^4$ — это четная степень, $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, производная $f'(x) = 5x^4$ также всегда неотрицательна ($f'(x) \ge 0$).

Производная равна нулю только в одной точке $x=0$, а на всех остальных интервалах ($(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$) она строго положительна. Это означает, что функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty, \infty)$, промежутков убывания нет.

г) Дана функция $y = x^4 - 4x$. Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Найдем производную функции:

$y' = (x^4 - 4x)' = 4x^3 - 4$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$4x^3 - 4 = 0$

$4(x^3 - 1) = 0$

$x^3 = 1 \implies x = 1$.

Критическая точка $x=1$ делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty, 1)$ и $(1, \infty)$. Определим знак производной на этих интервалах.

- На интервале $(-\infty, 1)$, выберем пробную точку $x=0$: $y'(0) = 4(0)^3 - 4 = -4$. Так как $y' < 0$, функция на этом интервале убывает.

- На интервале $(1, \infty)$, выберем пробную точку $x=2$: $y'(2) = 4(2)^3 - 4 = 4(8) - 4 = 32 - 4 = 28$. Так как $y' > 0$, функция на этом интервале возрастает.

Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, \infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, \infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.