Страница 109 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.1. На рисунке 56, а изображен график функции $y = f(x)$. По графику найдите промежутки, на которых производная функции:

а) положительная;

б) отрицательная.

Рис. 56

Для решения задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Знак производной функции $y = f(x)$ на некотором промежутке связан с поведением самой функции на этом промежутке:

• Если производная положительна ($f'(x) > 0$), то функция возрастает (график идет вверх при движении слева направо).
• Если производная отрицательна ($f'(x) < 0$), то функция убывает (график идет вниз при движении слева направо).

Точки, в которых производная равна нулю ($f'(x) = 0$), являются точками экстремума (локальными максимумами или минимумами), где касательная к графику горизонтальна. На графике, представленном на рисунке 56, а, такими точками являются точки с абсциссами $x=a_2$ (точка локального максимума) и $x=a_4$ (точка локального минимума).

а) положительная;

Производная функции положительна на тех промежутках, где функция $f(x)$ возрастает. Анализируя график 'а', мы видим, что функция возрастает на двух интервалах: до точки локального максимума $x=a_2$ и после точки локального минимума $x=a_4$.

Ответ: $x \in (-\infty, a_2) \cup (a_4, +\infty)$.

б) отрицательная.

Производная функции отрицательна на тех промежутках, где функция $f(x)$ убывает. На графике 'а' функция убывает на интервале между точкой локального максимума $x=a_2$ и точкой локального минимума $x=a_4$.

Ответ: $x \in (a_2, a_4)$.

19.2. На рисунке 56, б дан график производной функции $y = f(x)$.

С помощью графика определите промежутки:

а) возрастания;

б) убывания;

в) знакопостоянства.

Рис. 56

В данной задаче представлены графики производной функции $y = f'(x)$. Для определения промежутков возрастания и убывания исходной функции $y = f(x)$ используется следующий признак:

• Если на некотором промежутке производная $f'(x) > 0$, то функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает.
• Если на некотором промежутке производная $f'(x) < 0$, то функция $f(x)$ на этом промежутке убывает.

Промежутки знакопостоянства функции $y = f(x)$ — это промежутки, где $f(x) > 0$ или $f(x) < 0$.

Для графика на рисунке 56, а:

а) промежутки возрастания

Функция $y = f(x)$ возрастает там, где ее производная $f'(x)$ положительна. По графику видно, что $f'(x) > 0$ (график находится выше оси Ox) при $x$ из интервалов $(a_1, a_3)$ и $(a_5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (a_1, a_3) \cup (a_5, +\infty)$.

б) промежутки убывания

Функция $y = f(x)$ убывает там, где ее производная $f'(x)$ отрицательна. По графику видно, что $f'(x) < 0$ (график находится ниже оси Ox) при $x$ из интервалов $(-\infty, a_1)$ и $(a_3, a_5)$.

Ответ: $x \in (-\infty, a_1) \cup (a_3, a_5)$.

в) промежутки знакопостоянства

График производной $f'(x)$ позволяет определить промежутки монотонности и точки экстремумов функции $f(x)$, но не дает информации о значениях самой функции $f(x)$. Мы не знаем, где график функции $y=f(x)$ пересекает ось абсцисс, и пересекает ли вообще. Без дополнительной информации (например, значения функции в какой-либо точке) определить промежутки, на которых $f(x)>0$ или $f(x)<0$, невозможно.

Ответ: Определить по графику производной невозможно.

Для графика на рисунке 56, б:

а) промежутки возрастания

Функция $y = f(x)$ возрастает, когда $f'(x) > 0$. По графику видно, что $f'(x)$ положительна на интервалах $(b_1, 0)$ и $(0, b_5)$. В точке $x=0$ производная равна нулю, но ее знак не меняется. Это означает, что в точке $x=0$ у функции $f(x)$ точка перегиба, и функция продолжает возрастать. Таким образом, функция возрастает на всем промежутке от $b_1$ до $b_5$.

Ответ: $x \in (b_1, b_5)$.

б) промежутки убывания

Функция $y = f(x)$ убывает, когда $f'(x) < 0$. По графику видно, что $f'(x)$ отрицательна на интервалах $(-\infty, b_1)$ и $(b_5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, b_1) \cup (b_5, +\infty)$.

в) промежутки знакопостоянства

Как и в предыдущем случае, по графику производной $f'(x)$ невозможно определить промежутки знакопостоянства исходной функции $y = f(x)$, поскольку нет данных о значениях самой функции и ее положении относительно оси абсцисс.

Ответ: Определить по графику производной невозможно.

19.3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $f(x)$:

a) $f(x) = x + 4$;

б) $f(x) = 3x + x^2$;

в) $f(x) = 2x^2 - x$;

г) $f(x) = \frac{1}{x+1}$.

а) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x + 4$ найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $f'(x) = (x+4)' = 1$.

Так как производная $f'(x) = 1$ является положительной константой для любых значений $x$, функция возрастает на всей своей области определения.

Промежутков убывания нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

б) Для функции $f(x) = 3x + x^2$ найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $f'(x) = (3x + x^2)' = 3 + 2x$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$3 + 2x = 0$

$2x = -3$

$x = -1.5$

Эта точка делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; -1.5)$ и $(-1.5; +\infty)$.

Определим знак производной на каждом промежутке:

При $x < -1.5$ (например, при $x = -2$), $f'(-2) = 3 + 2(-2) = 3 - 4 = -1 < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; -1.5]$.

При $x > -1.5$ (например, при $x = 0$), $f'(0) = 3 + 2(0) = 3 > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[-1.5; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1.5; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; -1.5]$.

в) Для функции $f(x) = 2x^2 - x$ найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $f'(x) = (2x^2 - x)' = 4x - 1$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$4x - 1 = 0$

$4x = 1$

$x = 0.25$

Эта точка делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 0.25)$ и $(0.25; +\infty)$.

Определим знак производной на каждом промежутке:

При $x < 0.25$ (например, при $x = 0$), $f'(0) = 4(0) - 1 = -1 < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0.25]$.

При $x > 0.25$ (например, при $x = 1$), $f'(1) = 4(1) - 1 = 3 > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[0.25; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0.25; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 0.25]$.

г) Для функции $f(x) = \frac{1}{x+1}$ найдем ее производную. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x+1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Производная функции: $f'(x) = \left(\frac{1}{x+1}\right)' = \left((x+1)^{-1}\right)' = -1 \cdot (x+1)^{-2} \cdot (x+1)' = -\frac{1}{(x+1)^2}$.

Найдем критические точки. Производная $f'(x)$ никогда не равна нулю, так как числитель равен $-1$. Производная не определена в точке $x = -1$, которая не входит в область определения функции.

Определим знак производной на интервалах, на которые точка $x = -1$ делит область определения: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

Для любого $x$ из области определения, выражение $(x+1)^2$ всегда положительно. Следовательно, производная $f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}$ всегда отрицательна.

Это означает, что функция убывает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

19.4. Докажите, что данная функция в области определения является возрастающей:

a) $y = \frac{1}{5} + 3.1x;$

б) $y = -\frac{4}{x};$

в) $y = 2x^3 + 1.4;$

г) $y = 3 - \frac{2}{x}.$

Для доказательства того, что функция является возрастающей в своей области определения, мы найдем ее производную. Функция является возрастающей на промежутке, если ее производная на этом промежутке неотрицательна (и равна нулю лишь в отдельных точках). Если производная строго положительна, то функция строго возрастает.

а) $y = \frac{1}{5} + 3,1x$

1. Областью определения данной линейной функции является множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции по $x$:

$y' = (\frac{1}{5} + 3,1x)' = (\frac{1}{5})' + (3,1x)' = 0 + 3,1 = 3,1$.

3. Производная $y' = 3,1$ является постоянной положительной величиной для любого значения $x$.

4. Так как производная функции положительна на всей области определения, то функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: Производная функции $y' = 3,1 > 0$ для всех $x \in D(y)$, следовательно, функция является возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$, что и требовалось доказать.

б) $y = -\frac{4}{x}$

1. Область определения данной функции — все действительные числа, кроме тех, где знаменатель равен нулю, то есть $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Для нахождения производной представим функцию в виде $y = -4x^{-1}$:

$y' = (-4x^{-1})' = -4 \cdot (-1)x^{-1-1} = 4x^{-2} = \frac{4}{x^2}$.

3. Для любого $x$ из области определения ($x \neq 0$), выражение $x^2$ всегда положительно. Следовательно, производная $y' = \frac{4}{x^2}$ также всегда положительна.

4. Поскольку производная положительна на каждом из промежутков, составляющих область определения, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и на промежутке $(0; +\infty)$.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{4}{x^2} > 0$ для всех $x \neq 0$. Это означает, что функция является возрастающей на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, что и требовалось доказать.

в) $y = 2x^3 + 1,4$

1. Областью определения данной кубической функции является множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (2x^3 + 1,4)' = (2x^3)' + (1,4)' = 2 \cdot 3x^2 + 0 = 6x^2$.

3. Производная $y' = 6x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то и $6x^2 \ge 0$. Производная равна нулю только в одной точке: при $x=0$.

4. Так как производная функции неотрицательна на всей области определения и обращается в ноль лишь в одной точке, функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: Производная функции $y' = 6x^2 \ge 0$ для всех $x \in D(y)$, причем равенство нулю достигается только в точке $x=0$. Следовательно, функция является возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$, что и требовалось доказать.

г) $y = 3 - \frac{2}{x}$

1. Область определения данной функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Для нахождения производной представим функцию в виде $y = 3 - 2x^{-1}$:

$y' = (3 - 2x^{-1})' = (3)' - (2x^{-1})' = 0 - 2 \cdot (-1)x^{-1-1} = 2x^{-2} = \frac{2}{x^2}$.

3. Для любого $x$ из области определения ($x \neq 0$), выражение $x^2$ всегда положительно. Следовательно, производная $y' = \frac{2}{x^2}$ также всегда положительна.

4. Поскольку производная положительна на каждом из промежутков, составляющих область определения, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и на промежутке $(0; +\infty)$.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{2}{x^2} > 0$ для всех $x \neq 0$. Это означает, что функция является возрастающей на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, что и требовалось доказать.

19.5. Докажите, что данная функция в области определения является убывающей:

а) $y = 7 - 5x$;

б) $y = 2 - 3x^3$;

в) $y = \frac{2}{x}$;

г) $y = 6 + \frac{3}{x}$.

а) Область определения функции $y = 7 - 5x$ — множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Для доказательства того, что функция является убывающей на своей области определения, найдем ее производную.

$y' = (7 - 5x)' = -5$.

Поскольку производная $y' = -5$ является отрицательной константой ($y' < 0$) для любого значения $x$ из области определения, функция является убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: доказано, что функция $y = 7 - 5x$ является убывающей в области определения.

б) Область определения функции $y = 2 - 3x^3$ — множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = (2 - 3x^3)' = -9x^2$.

Для любого действительного числа $x$, выражение $x^2$ является неотрицательным ($x^2 \ge 0$). Следовательно, производная $y' = -9x^2$ всегда будет неположительной ($y' \le 0$). Производная обращается в ноль только в одной точке $x=0$. Так как $y' \le 0$ на всей области определения, функция является убывающей.

Ответ: доказано, что функция $y = 2 - 3x^3$ является убывающей в области определения.

в) Область определения функции $y = \frac{2}{x}$ — все действительные числа, кроме $x=0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = \left(\frac{2}{x}\right)' = (2x^{-1})' = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.

Для любого значения $x$ из области определения ($x \neq 0$), знаменатель $x^2$ всегда положителен. Следовательно, производная $y' = -\frac{2}{x^2}$ всегда отрицательна ($y' < 0$).

Это означает, что функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

Ответ: доказано, что функция $y = \frac{2}{x}$ является убывающей в области определения.

г) Область определения функции $y = 6 + \frac{3}{x}$ — все действительные числа, кроме $x=0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = \left(6 + \frac{3}{x}\right)' = (6 + 3x^{-1})' = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$.

Для любого значения $x$ из области определения ($x \neq 0$), знаменатель $x^2$ всегда положителен. Следовательно, производная $y' = -\frac{3}{x^2}$ всегда отрицательна ($y' < 0$).

Это означает, что функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

Ответ: доказано, что функция $y = 6 + \frac{3}{x}$ является убывающей в области определения.

19.6. Найдите промежутки возрастания (убывания) функции:

а) $f(x) = x^3 + 4x - 7;$

б) $f(x) = 5x^2 - 3x - 8;$

в) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x;$

г) $y = 3x^3 - x - 2.$

а) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x^3 + 4x - 7$, найдем ее производную. Область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (x^3 + 4x - 7)' = 3x^2 + 4$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$3x^2 + 4 = 0$

$3x^2 = -4$

$x^2 = -4/3$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, у функции нет критических точек.

Определим знак производной на всей числовой оси. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $3x^2 \ge 0$, и, соответственно, $f'(x) = 3x^2 + 4 \ge 4$. Таким образом, $f'(x) > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная функции положительна на всей области определения, функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

б) Для функции $f(x) = 5x^2 - 3x - 8$ найдем производную. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (5x^2 - 3x - 8)' = 10x - 3$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$10x - 3 = 0$

$10x = 3$

$x = 0,3$

Критическая точка $x = 0,3$ делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty; 0,3)$ и $(0,3; +\infty)$.

Определим знаки производной на этих интервалах:

- При $x < 0,3$ (например, при $x = 0$), $f'(0) = 10 \cdot 0 - 3 = -3 < 0$. Значит, на промежутке $(-\infty; 0,3]$ функция убывает.

- При $x > 0,3$ (например, при $x = 1$), $f'(1) = 10 \cdot 1 - 3 = 7 > 0$. Значит, на промежутке $[0,3; +\infty)$ функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0,3; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 0,3]$.

в) Для функции $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x$ найдем производную. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 12x)' = 6x^2 + 6x - 12$.

Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$6x^2 + 6x - 12 = 0$

Разделим все уравнение на 6, чтобы упростить его:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Критические точки $x = -2$ и $x = 1$ делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Определим знаки производной $f'(x) = 6(x+2)(x-1)$ на этих интервалах:

- При $x \in (-\infty; -2)$ (например, $x = -3$), $f'(-3) = 6(-3+2)(-3-1) = 6(-1)(-4) = 24 > 0$. Функция возрастает на $(-\infty; -2]$.

- При $x \in (-2; 1)$ (например, $x = 0$), $f'(0) = 6(0+2)(0-1) = 6(2)(-1) = -12 < 0$. Функция убывает на $[-2; 1]$.

- При $x \in (1; +\infty)$ (например, $x = 2$), $f'(2) = 6(2+2)(2-1) = 6(4)(1) = 24 > 0$. Функция возрастает на $[1; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $[-2; 1]$.

г) Для функции $y = 3x^3 - x - 2$ найдем производную. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

$y' = (3x^3 - x - 2)' = 9x^2 - 1$.

Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:

$9x^2 - 1 = 0$

$9x^2 = 1$

$x^2 = 1/9$

$x_1 = -1/3$, $x_2 = 1/3$.

Критические точки $x = -1/3$ и $x = 1/3$ делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1/3)$, $(-1/3; 1/3)$ и $(1/3; +\infty)$.

График производной $y' = 9x^2 - 1$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения производной положительны вне корней и отрицательны между корнями.

- При $x \in (-\infty; -1/3)$ и $x \in (1/3; +\infty)$, $y' > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1/3]$ и $[1/3; +\infty)$.

- При $x \in (-1/3; 1/3)$, $y' < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $[-1/3; 1/3]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1/3]$ и $[1/3; +\infty)$, убывает на промежутке $[-1/3; 1/3]$.

19.7. Докажите, что функция $y = f(x)$ является возрастающей:

a) $y = x^3 + x;$

б) $y = -\frac{4}{x}$.

а) Чтобы доказать, что функция $y = f(x) = x^3 + x$ является возрастающей, найдем ее производную. Функция является возрастающей на промежутке, если ее производная на этом промежутке положительна.

Область определения данной функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^3 + x)' = (x^3)' + (x)' = 3x^2 + 1$.

Теперь исследуем знак производной. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $3x^2 \ge 0$. Следовательно, $y' = 3x^2 + 1 \ge 1$.

Так как производная $y' > 0$ для всех $x$ из области определения, функция является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: поскольку производная $y' = 3x^2 + 1 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, функция $y = x^3 + x$ является возрастающей.

б) Чтобы доказать, что функция $y = f(x) = -\frac{4}{x}$ является возрастающей, найдем ее производную и исследуем ее знак на области определения.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция называется возрастающей, если она возрастает на каждом из промежутков своей области определения.

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде $y = -4x^{-1}$ и найдем производную:

$y' = (-4x^{-1})' = -4(-1)x^{-2} = 4x^{-2} = \frac{4}{x^2}$.

Исследуем знак производной. Для любого $x$ из области определения ($x \neq 0$), знаменатель $x^2$ всегда строго положителен ($x^2>0$). Числитель 4 также положителен.

Следовательно, производная $y' = \frac{4}{x^2}$ строго положительна для всех $x$ из области определения.

Так как производная положительна на всей области определения, функция $y = -\frac{4}{x}$ является возрастающей на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: поскольку производная $y' = \frac{4}{x^2} > 0$ на всей области определения $D(f)$, функция $y = -\frac{4}{x}$ является возрастающей на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

19.8. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

a) $f(x) = x^3 - 3x + 5$;

б) $f(x) = x^3 - 4x + 7$;

в) $f(x) = x^5 + 5$;

г) $y = x^4 - 4x$.

а) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x^3 - 3x + 5$, сначала найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Производная функции: $f'(x) = (x^3 - 3x + 5)' = 3x^2 - 3$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки, в которых может меняться характер монотонности функции:

$3x^2 - 3 = 0$

$3(x^2 - 1) = 0$

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, \infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов, чтобы понять, возрастает или убывает функция.

- На интервале $(-\infty, -1)$, выберем пробную точку $x = -2$: $f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9$. Так как $f'(x) > 0$, функция на этом интервале возрастает.

- На интервале $(-1, 1)$, выберем пробную точку $x = 0$: $f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3$. Так как $f'(x) < 0$, функция на этом интервале убывает.

- На интервале $(1, \infty)$, выберем пробную точку $x = 2$: $f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9$. Так как $f'(x) > 0$, функция на этом интервале возрастает.

Включая концы интервалов (критические точки), получаем, что функция возрастает на $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$, а убывает на $[-1, 1]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$, убывает на промежутке $[-1, 1]$.

б) Для функции $f(x) = x^3 - 4x + 7$ найдем ее производную. Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Производная функции: $f'(x) = (x^3 - 4x + 7)' = 3x^2 - 4$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 4 = 0$

$x^2 = \frac{4}{3}$

Критические точки: $x_1 = -\sqrt{\frac{4}{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$ и $x_2 = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, -\frac{2\sqrt{3}}{3})$, $(-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3})$ и $(\frac{2\sqrt{3}}{3}, \infty)$. График производной $f'(x) = 3x^2 - 4$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне корней и отрицательна между ними.

- На интервалах $(-\infty, -\frac{2\sqrt{3}}{3})$ и $(\frac{2\sqrt{3}}{3}, \infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

- На интервале $(-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3})$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на $(-\infty, -\frac{2\sqrt{3}}{3}]$ и $[\frac{2\sqrt{3}}{3}, \infty)$, а убывает на $[-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3}]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -\frac{2\sqrt{3}}{3}]$ и $[\frac{2\sqrt{3}}{3}, \infty)$, убывает на промежутке $[-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3}]$.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 5$. Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^5 + 5)' = 5x^4$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$5x^4 = 0 \implies x = 0$.

Определим знак производной. Так как $x^4$ — это четная степень, $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, производная $f'(x) = 5x^4$ также всегда неотрицательна ($f'(x) \ge 0$).

Производная равна нулю только в одной точке $x=0$, а на всех остальных интервалах ($(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$) она строго положительна. Это означает, что функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty, \infty)$, промежутков убывания нет.

г) Дана функция $y = x^4 - 4x$. Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Найдем производную функции:

$y' = (x^4 - 4x)' = 4x^3 - 4$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$4x^3 - 4 = 0$

$4(x^3 - 1) = 0$

$x^3 = 1 \implies x = 1$.

Критическая точка $x=1$ делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty, 1)$ и $(1, \infty)$. Определим знак производной на этих интервалах.

- На интервале $(-\infty, 1)$, выберем пробную точку $x=0$: $y'(0) = 4(0)^3 - 4 = -4$. Так как $y' < 0$, функция на этом интервале убывает.

- На интервале $(1, \infty)$, выберем пробную точку $x=2$: $y'(2) = 4(2)^3 - 4 = 4(8) - 4 = 32 - 4 = 28$. Так как $y' > 0$, функция на этом интервале возрастает.

Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, \infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, \infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.

19.9. Докажите, что на множестве действительных чисел функция $f(x)$ является убывающей, а $g(x)$ — возрастающей:

а) $f(x) = 5 - x^7;$

б) $g(x) = 4 + \frac{2}{3} x^3;$

в) $f(x) = -8x - \sin2x;$

г) $g(x) = -\cos6x + 7x.$

а) Чтобы доказать, что функция является убывающей на множестве действительных чисел, необходимо найти ее производную и показать, что она неположительна ($f'(x) \le 0$) для всех действительных $x$, при этом обращаясь в ноль лишь в отдельных точках. Дана функция $f(x) = 5 - x^7$. Найдем ее производную: $f'(x) = (5 - x^7)' = 0 - 7x^{7-1} = -7x^6$. Выражение $x^6$ является четной степенью $x$, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $x^6 \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Следовательно, производная $f'(x) = -7x^6$ всегда неположительна: $f'(x) \le 0$. Равенство $f'(x) = 0$ выполняется только в одной точке, при $x=0$. Так как производная функции неположительна на всей числовой оси и обращается в ноль лишь в изолированной точке, функция $f(x)$ является строго убывающей на множестве действительных чисел.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = 5 - x^7$ является убывающей на множестве действительных чисел.

б) Чтобы доказать, что функция является возрастающей на множестве действительных чисел, необходимо найти ее производную и показать, что она неотрицательна ($g'(x) \ge 0$) для всех действительных $x$, при этом обращаясь в ноль лишь в отдельных точках. Дана функция $g(x) = 4 + \frac{2}{3}x^3$. Найдем ее производную: $g'(x) = (4 + \frac{2}{3}x^3)' = 0 + \frac{2}{3} \cdot 3x^{3-1} = 2x^2$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно: $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Следовательно, производная $g'(x) = 2x^2$ всегда неотрицательна: $g'(x) \ge 0$. Равенство $g'(x) = 0$ выполняется только в одной точке, при $x=0$. Так как производная функции неотрицательна на всей числовой оси и обращается в ноль лишь в изолированной точке, функция $g(x)$ является строго возрастающей на множестве действительных чисел.

Ответ: Доказано, что функция $g(x) = 4 + \frac{2}{3}x^3$ является возрастающей на множестве действительных чисел.

в) Чтобы доказать, что функция $f(x) = -8x - \sin(2x)$ является убывающей, найдем ее производную и исследуем ее знак. $f'(x) = (-8x - \sin(2x))' = -8 - (\sin(2x))' = -8 - \cos(2x) \cdot (2x)' = -8 - 2\cos(2x)$. Область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos(2x) \le 1$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Умножим все части неравенства на 2: $-2 \le 2\cos(2x) \le 2$. Теперь оценим выражение для производной $f'(x) = -8 - 2\cos(2x)$. Максимальное значение производной достигается, когда $2\cos(2x)$ минимально, то есть равно -2: $f'_{\text{max}} = -8 - (-2) = -6$. Минимальное значение производной достигается, когда $2\cos(2x)$ максимально, то есть равно 2: $f'_{\text{min}} = -8 - 2 = -10$. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $-10 \le f'(x) \le -6$. Это означает, что производная $f'(x)$ всегда отрицательна ($f'(x) < 0$). Поскольку производная функции строго отрицательна на всей числовой оси, функция $f(x)$ является убывающей на множестве действительных чисел.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = -8x - \sin(2x)$ является убывающей на множестве действительных чисел.

г) Чтобы доказать, что функция $g(x) = -\cos(6x) + 7x$ является возрастающей, найдем ее производную и исследуем ее знак. $g'(x) = (-\cos(6x) + 7x)' = -(-\sin(6x)) \cdot (6x)' + 7 = 6\sin(6x) + 7$. Область значений функции синус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(6x) \le 1$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Умножим все части неравенства на 6: $-6 \le 6\sin(6x) \le 6$. Прибавим 7 ко всем частям неравенства, чтобы оценить $g'(x) = 6\sin(6x) + 7$: $-6 + 7 \le 6\sin(6x) + 7 \le 6 + 7$. $1 \le g'(x) \le 13$. Это означает, что производная $g'(x)$ всегда положительна ($g'(x) > 0$) для любого действительного числа $x$. Поскольку производная функции строго положительна на всей числовой оси, функция $g(x)$ является возрастающей на множестве действительных чисел.

Ответ: Доказано, что функция $g(x) = -\cos(6x) + 7x$ является возрастающей на множестве действительных чисел.