Страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18.2. Используя формулы (2) и (3), вычислите приближенные значения выражений:

а) $1,003^{100}$;

б) $0,996^{16}$;

в) $0,997^{40}$;

г) $1,002^{200}$;

д) $\sqrt{1,003}$;

е) $\sqrt{1,004}$;

ж) $\sqrt{4,008}$.

Для вычисления приближенных значений используются следующие формулы, являющиеся следствиями из разложения в ряд Тейлора (биномиальное приближение) при малых значениях $|x|$:

Формула (2): $(1+x)^n \approx 1+nx$

Формула (3): $\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2} \approx 1+\frac{1}{2}x$ (которая является частным случаем формулы (2) при $n=1/2$)

а) $1.003^{100}$

Представим данное выражение в виде $(1+x)^n$:

$1.003^{100} = (1 + 0.003)^{100}$.

В данном случае $x = 0.003$ и $n = 100$. Применим формулу (2):

$(1 + 0.003)^{100} \approx 1 + 100 \cdot 0.003 = 1 + 0.3 = 1.3$.

Ответ: $1.3$.

б) $0.996^{16}$

Представим данное выражение в виде $(1+x)^n$:

$0.996^{16} = (1 - 0.004)^{16}$.

В данном случае $x = -0.004$ и $n = 16$. Применим формулу (2):

$(1 - 0.004)^{16} \approx 1 + 16 \cdot (-0.004) = 1 - 0.064 = 0.936$.

Ответ: $0.936$.

в) $0.997^{40}$

Представим данное выражение в виде $(1+x)^n$:

$0.997^{40} = (1 - 0.003)^{40}$.

В данном случае $x = -0.003$ и $n = 40$. Применим формулу (2):

$(1 - 0.003)^{40} \approx 1 + 40 \cdot (-0.003) = 1 - 0.12 = 0.88$.

Ответ: $0.88$.

г) $1.002^{200}$

Представим данное выражение в виде $(1+x)^n$:

$1.002^{200} = (1 + 0.002)^{200}$.

В данном случае $x = 0.002$ и $n = 200$. Применим формулу (2):

$(1 + 0.002)^{200} \approx 1 + 200 \cdot 0.002 = 1 + 0.4 = 1.4$.

Ответ: $1.4$.

д) $\sqrt{1.003}$

Представим выражение в виде $\sqrt{1+x}$:

$\sqrt{1.003} = \sqrt{1 + 0.003}$.

В данном случае $x = 0.003$. Применим формулу (3):

$\sqrt{1 + 0.003} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot 0.003 = 1 + 0.0015 = 1.0015$.

Ответ: $1.0015$.

е) $\sqrt{1.004}$

Представим выражение в виде $\sqrt{1+x}$:

$\sqrt{1.004} = \sqrt{1 + 0.004}$.

В данном случае $x = 0.004$. Применим формулу (3):

$\sqrt{1 + 0.004} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot 0.004 = 1 + 0.002 = 1.002$.

Ответ: $1.002$.

ж) $\sqrt{4.008}$

Преобразуем выражение, чтобы можно было применить формулу (3):

$\sqrt{4.008} = \sqrt{4 + 0.008} = \sqrt{4 \cdot (1 + \frac{0.008}{4})} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{1 + 0.002} = 2\sqrt{1 + 0.002}$.

Теперь к выражению $\sqrt{1 + 0.002}$ применим формулу (3), где $x=0.002$:

$2\sqrt{1 + 0.002} \approx 2 \cdot (1 + \frac{1}{2} \cdot 0.002) = 2 \cdot (1 + 0.001) = 2 \cdot 1.001 = 2.002$.

Ответ: $2.002$.

Используя формулы (1)—(3), вычислите приближенные значения выражений (18.3—18.6):

18.3.а) $\sin\left(\frac{\pi}{6} + 0,004\right)$;
б) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + 0,02\right)$;
в) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - 0,05\right).$

Для вычисления приближенных значений выражений используется формула линейного приближения функции в окрестности точки, основанная на её производной: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$, где $\Delta x$ — малое приращение аргумента.

а) Вычислим приближенное значение для $\sin(\frac{\pi}{6} + 0,004)$.

В этом случае, $f(x) = \sin(x)$, $x_0 = \frac{\pi}{6}$, и $\Delta x = 0,004$.

1. Найдём значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} = 0,5$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

3. Найдём значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Подставим найденные значения в формулу приближения:

$\sin(\frac{\pi}{6} + 0,004) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x = \sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{6}) \cdot 0,004 = 0,5 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0,004 = 0,5 + 0,002\sqrt{3}$.

5. Используя приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1,732$, получаем:

$0,5 + 0,002 \cdot 1,732 = 0,5 + 0,003464 = 0,503464$.

Ответ: $0,503464$.

б) Вычислим приближенное значение для $\text{tg}(\frac{\pi}{4} + 0,02)$.

Здесь $f(x) = \text{tg}(x)$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$, и $\Delta x = 0,02$.

1. Найдём значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (\text{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

3. Найдём значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{2/4} = \frac{1}{1/2} = 2$.

4. Подставим значения в формулу:

$\text{tg}(\frac{\pi}{4} + 0,02) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) + 2 \cdot 0,02 = 1 + 0,04 = 1,04$.

Ответ: $1,04$.

в) Вычислим приближенное значение для $\text{ctg}(\frac{\pi}{4} - 0,05)$.

Здесь $f(x) = \text{ctg}(x)$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$, и $\Delta x = -0,05$.

1. Найдём значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (\text{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

3. Найдём значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = -\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{4})} = -\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = -\frac{1}{2/4} = -\frac{1}{1/2} = -2$.

4. Подставим значения в формулу:

$\text{ctg}(\frac{\pi}{4} - 0,05) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) + (-2) \cdot (-0,05) = 1 + 0,1 = 1,1$.

Ответ: $1,1$.

18.4. a) $\frac{1}{1.002^{40}}$;

б) $\frac{1}{1.002^{50}}$;

В) $\frac{1}{0.996^6}$.

а) Для вычисления приближенного значения выражения $\frac{1}{1.002^{40}}$ воспользуемся формулой приближенного вычисления $(1+x)^n \approx 1+nx$, которая является следствием разложения в биномиальный ряд, при условии, что $|x| \ll 1$.

Сначала преобразуем исходное выражение, используя свойство степени с отрицательным показателем:

$\frac{1}{1.002^{40}} = (1.002)^{-40}$

Представим основание степени в виде $(1+x)$:

$(1 + 0.002)^{-40}$

В данном случае $x = 0.002$ и $n = -40$. Так как $x$ — малое число, мы можем применить формулу приближения.

$(1 + 0.002)^{-40} \approx 1 + (-40) \cdot 0.002 = 1 - 0.08 = 0.92$.

Ответ: $0.92$.

б) Аналогично предыдущему пункту, вычислим приближенное значение выражения $\frac{1}{1.002^{50}}$ с помощью формулы $(1+x)^n \approx 1+nx$.

Преобразуем выражение:

$\frac{1}{1.002^{50}} = (1.002)^{-50} = (1 + 0.002)^{-50}$.

Здесь $x = 0.002$ и $n = -50$.

Подставляем значения в формулу приближенного вычисления:

$(1 + 0.002)^{-50} \approx 1 + (-50) \cdot 0.002 = 1 - 0.1 = 0.9$.

Ответ: $0.9$.

в) Вычислим приближенное значение выражения $\frac{1}{0.996^6}$, используя ту же формулу $(1+x)^n \approx 1+nx$.

Преобразуем выражение:

$\frac{1}{0.996^6} = (0.996)^{-6}$.

Представим основание $0.996$ в виде $(1+x)$:

$0.996 = 1 - 0.004$.

Таким образом, выражение принимает вид $(1 - 0.004)^{-6}$.

В этом случае $x = -0.004$ и $n = -6$.

Применим формулу приближения:

$(1 - 0.004)^{-6} \approx 1 + (-6) \cdot (-0.004) = 1 + 6 \cdot 0.004 = 1 + 0.024 = 1.024$.

Ответ: $1.024$.

18.5.
а) $\sqrt{9,27}$;
б) $\sqrt{4,16}$;
в) $\sqrt{16,32}$.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{9 \cdot 27}$ воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$).

Разложим выражение на два корня: $\sqrt{9 \cdot 27} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{27}$.

Корень из первого множителя равен $\sqrt{9} = 3$.

Для второго множителя $\sqrt{27}$ вынесем множитель из-под знака корня. Для этого представим 27 в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом: $27 = 9 \cdot 3$.

Тогда $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

Перемножим полученные результаты: $3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$.

Ответ: $9\sqrt{3}$.

б) Для вычисления значения выражения $\sqrt{4 \cdot 16}$ применим свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

Разделим корень на произведение двух корней: $\sqrt{4 \cdot 16} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{16}$.

Оба числа под корнями являются полными квадратами, поэтому можно извлечь корень из каждого:

$\sqrt{4} = 2$

$\sqrt{16} = 4$

Теперь перемножим полученные значения: $2 \cdot 4 = 8$.

Ответ: $8$.

в) Для вычисления значения выражения $\sqrt{16 \cdot 32}$ используем то же свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

Получаем: $\sqrt{16 \cdot 32} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{32}$.

Корень из первого множителя равен $\sqrt{16} = 4$.

Для второго множителя $\sqrt{32}$ вынесем множитель из-под знака корня. Представим 32 как произведение полного квадрата на другое число: $32 = 16 \cdot 2$.

Следовательно, $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Перемножим результаты: $4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$.

Ответ: $16\sqrt{2}$.

18.6. a) $\cos 35^\circ$;

б) $\text{tg } 46^\circ$;

в) $\text{ctg } 87^\circ$.

а) Для того чтобы выразить косинус угла через синус, используется формула приведения: $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$. Эта формула показывает, что косинус угла равен синусу его дополнительного угла (до $90^\circ$).

В нашем случае, угол $\alpha = 35^\circ$.

Подставим это значение в формулу:

$\cos 35^\circ = \sin(90^\circ - 35^\circ) = \sin 55^\circ$.

Ответ: $\sin 55^\circ$.

б) Для того чтобы выразить тангенс угла через котангенс, используется формула приведения: $\text{tg} \alpha = \text{ctg}(90^\circ - \alpha)$. Эта формула показывает, что тангенс угла равен котангенсу его дополнительного угла.

В нашем случае, угол $\alpha = 46^\circ$.

Подставим это значение в формулу:

$\text{tg} 46^\circ = \text{ctg}(90^\circ - 46^\circ) = \text{ctg} 44^\circ$.

Ответ: $\text{ctg} 44^\circ$.

в) Для того чтобы выразить котангенс угла через тангенс, используется формула приведения: $\text{ctg} \alpha = \text{tg}(90^\circ - \alpha)$. Эта формула показывает, что котангенс угла равен тангенсу его дополнительного угла.

В нашем случае, угол $\alpha = 87^\circ$.

Подставим это значение в формулу:

$\text{ctg} 87^\circ = \text{tg}(90^\circ - 87^\circ) = \text{tg} 3^\circ$.

Ответ: $\text{tg} 3^\circ$.

18.7. Сравните значения функций $f(x)$ и $g(x)$ при $x_0$:

a) $f(x) = x^2 - 4x^5$, $g(x) = x^3 - 3x^4$, $x_0 = 3,998$;

б) $f(x) = x^5 + 1$, $g(x) = 1 - x^4$; $x_0 = 1,999$.

а) Чтобы сравнить значения функций $f(x) = x^2 - 4x^5$ и $g(x) = x^3 - 3x^4$ при $x_0 = 3,998$, рассмотрим их разность $h(x) = f(x) - g(x)$.

$h(x) = (x^2 - 4x^5) - (x^3 - 3x^4) = -4x^5 + 3x^4 - x^3 + x^2$.

Для анализа знака этой функции вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$h(x) = x^2(-4x^3 + 3x^2 - x + 1)$.

При $x_0 = 3,998$ множитель $x_0^2$ является положительным. Следовательно, знак разности $h(x_0)$ определяется знаком выражения в скобках, которое мы обозначим как $P(x) = -4x^3 + 3x^2 - x + 1$.

Чтобы определить знак $P(x_0)$, исследуем монотонность функции $P(x)$. Для этого найдем ее производную:

$P'(x) = (-4x^3 + 3x^2 - x + 1)' = -12x^2 + 6x - 1$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $-12x^2 + 6x - 1$:

$D = 6^2 - 4 \cdot (-12) \cdot (-1) = 36 - 48 = -12$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-12 < 0$), производная $P'(x)$ отрицательна при любых значениях $x$. Это означает, что функция $P(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси.

Так как $P(x)$ убывает, сравним значение $P(x_0)$ со значением функции в какой-либо удобной точке, например, $x=1$.

$P(1) = -4(1)^3 + 3(1)^2 - 1 + 1 = -4 + 3 = -1$.

Поскольку $x_0 = 3,998 > 1$ и функция $P(x)$ строго убывает, то $P(x_0) < P(1)$.

$P(3,998) < -1$, следовательно, $P(3,998)$ является отрицательным числом.

Таким образом, $h(x_0) = x_0^2 \cdot P(x_0)$ является произведением положительного числа ($x_0^2$) на отрицательное ($P(x_0)$), что дает отрицательный результат: $h(x_0) < 0$.

Из $f(x_0) - g(x_0) < 0$ следует, что $f(x_0) < g(x_0)$.

Ответ: $f(x_0) < g(x_0)$.

б) Чтобы сравнить значения функций $f(x) = x^5 + 1$ и $g(x) = 1 - x^4$ при $x_0 = 1,999$, так же рассмотрим их разность $h(x) = f(x) - g(x)$.

$h(x) = (x^5 + 1) - (1 - x^4) = x^5 + 1 - 1 + x^4 = x^5 + x^4$.

Вынесем общий множитель $x^4$ за скобки:

$h(x) = x^4(x + 1)$.

Теперь определим знак этой разности в точке $x_0 = 1,999$.

$h(1,999) = (1,999)^4 \cdot (1,999 + 1) = (1,999)^4 \cdot 2,999$.

Поскольку $x_0 = 1,999$ является положительным числом, то оба множителя в выражении для $h(x_0)$ положительны:

$(1,999)^4 > 0$ и $(1,999 + 1) = 2,999 > 0$.

Произведение двух положительных чисел есть число положительное, поэтому $h(x_0) > 0$.

Из $f(x_0) - g(x_0) > 0$ следует, что $f(x_0) > g(x_0)$.

Ответ: $f(x_0) > g(x_0)$.

1. Вычислите производную функции $y = 3x^3 - 4x^2$:

A) $\frac{3}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^3$;

B) $9x - 9$;

C) $9x^2 - 9x$;

D) $9x^2 - 8x$.

Чтобы найти производную функции $y = 3x^3 - 4x^2$, необходимо применить правила дифференцирования.

1. Используем правило дифференцирования разности функций, согласно которому производная разности равна разности производных: $(u-v)' = u' - v'$.

$y' = (3x^3 - 4x^2)' = (3x^3)' - (4x^2)'$

2. Теперь для каждого слагаемого применяем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ и правило вынесения постоянного множителя за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.

Найдем производную первого слагаемого $3x^3$:

$(3x^3)' = 3 \cdot (x^3)' = 3 \cdot (3x^{3-1}) = 3 \cdot 3x^2 = 9x^2$

Найдем производную второго слагаемого $4x^2$:

$(4x^2)' = 4 \cdot (x^2)' = 4 \cdot (2x^{2-1}) = 4 \cdot 2x^1 = 8x$

3. Подставим полученные производные обратно в выражение:

$y' = 9x^2 - 8x$

Результат совпадает с вариантом D).

Ответ: D) $9x^2 - 8x$.

2. Прямая $y = x - 2$ касается графика функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$. Найдите $f(-1)$:

A) -3; B) 2; C) 3; D) -2.

По условию задачи, прямая $y = x - 2$ является касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$.

По определению касательной, в точке касания совпадают значения функции и касательной, а также значения их производных. Нас интересует значение самой функции.

Поскольку прямая $y = x - 2$ касается графика функции $y = f(x)$ в точке $x_0 = -1$, это означает, что в этой точке их графики имеют общую точку. Координаты этой общей точки должны удовлетворять как уравнению функции, так и уравнению касательной.

Мы знаем абсциссу (координату $x$) точки касания: $x_0 = -1$. Чтобы найти ординату (координату $y$) этой точки, нужно подставить значение $x_0$ в уравнение касательной:

$y_0 = x_0 - 2$

$y_0 = -1 - 2 = -3$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(-1, -3)$.

Так как эта точка лежит на графике функции $y = f(x)$, то ее координаты удовлетворяют уравнению функции. Это означает, что $f(x_0) = y_0$, или $f(-1) = -3$.

Ответ: -3.

3. Найдите производную функции $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$ и вычислите значение выражения $f'(0) + f'(-1)$:

A) -40;

B) 20;

C) 25;

D) -10.

Найдите производную функции $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$

Для нахождения производной функции воспользуемся основными правилами дифференцирования. Производная суммы функций равна сумме их производных, а производная степенной функции $(x^n)'$ равна $n \cdot x^{n-1}$.

$f'(x) = (-2x^2 + 8x - 3)' = (-2x^2)' + (8x)' - (3)'$

Производная от константы равна нулю, поэтому $(3)' = 0$.

$f'(x) = -2 \cdot (x^2)' + 8 \cdot (x)' - 0$

$f'(x) = -2 \cdot (2x) + 8 \cdot (1)$

$f'(x) = -4x + 8$.

Таким образом, производная функции: $f'(x) = -4x + 8$.

и вычислите значение выражения $f'(0) + f'(-1)$

Теперь, используя найденное выражение для производной $f'(x) = -4x + 8$, вычислим ее значения в точках $x=0$ и $x=-1$.

Сначала подставим $x=0$ в выражение для производной:

$f'(0) = -4(0) + 8 = 0 + 8 = 8$.

Затем подставим $x=-1$ в выражение для производной:

$f'(-1) = -4(-1) + 8 = 4 + 8 = 12$.

Наконец, найдем сумму полученных значений:

$f'(0) + f'(-1) = 8 + 12 = 20$.

Результат 20 соответствует варианту ответа B).

Ответ: 20

4. Найдите производную функции $y(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$:

A) $\frac{1}{\sqrt{(x^2+1)^3}}$; B) $\frac{1}{2\sqrt{(x^2+1)^3}}$; C) $-\frac{1}{\sqrt{(x^2+1)^3}}$; D) $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$.

4. Для нахождения производной функции $y(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (производной дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Обозначим числитель как $u(x) = x$ и знаменатель как $v(x) = \sqrt{x^2 + 1}$.

Найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$.

Производная числителя: $u'(x) = (x)' = 1$.

Производная знаменателя находится по правилу дифференцирования сложной функции:

$v'(x) = (\sqrt{x^2 + 1})' = ((x^2 + 1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:

$y'(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(\sqrt{x^2 + 1})^2}$.

Упростим полученное выражение. Знаменатель равен $(x^2 + 1)$. Преобразуем числитель, приведя его к общему знаменателю $\sqrt{x^2 + 1}$:

$\sqrt{x^2 + 1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{(\sqrt{x^2 + 1})^2 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

Подставим упрощенный числитель обратно в выражение для производной:

$y'(x) = \frac{\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{1}{(x^2 + 1) \cdot \sqrt{x^2 + 1}}$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, преобразуем знаменатель:

$(x^2 + 1) \cdot \sqrt{x^2 + 1} = (x^2 + 1)^1 \cdot (x^2 + 1)^{1/2} = (x^2 + 1)^{1 + \frac{1}{2}} = (x^2 + 1)^{3/2}$.

Выражение $(x^2 + 1)^{3/2}$ можно также записать в виде $\sqrt{(x^2 + 1)^3}$.

Таким образом, окончательная производная равна: $y'(x) = \frac{1}{\sqrt{(x^2 + 1)^3}}$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту A).

Ответ: A)