Страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16.4. a) $f(x) = 5(3x + x^3 - 4x^4)^3$;

б) $f(x) = (4x^2 - x^4)^2$;

В) $f(x) = (3\sqrt{x} - 2x^2 + x^5)^5$;

Г) $f(x) = (4\sqrt{x} + 6x^2 - 5x)^5$.

а) Чтобы найти производную функции $f(x) = 5(3x + x^3 - 4x^4)^3$, мы применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) и правило для степенной функции.

Правило дифференцирования сложной функции имеет вид $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$. В нашем случае, функция $f(x)$ является произведением константы $5$ и сложной функции. По правилу, константа выносится за знак производной.

Пусть внешняя функция $g(u) = u^3$, а внутренняя функция $h(x) = 3x + x^3 - 4x^4$.

Сначала найдем производную внешней функции по $u$: $g'(u) = (u^3)' = 3u^2$.

Затем найдем производную внутренней функции по $x$: $h'(x) = (3x + x^3 - 4x^4)' = (3x)' + (x^3)' - (4x^4)' = 3 + 3x^2 - 4 \cdot 4x^3 = 3 + 3x^2 - 16x^3$.

Теперь, согласно цепному правилу, производная $f(x)$ равна:

$f'(x) = 5 \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) = 5 \cdot 3(h(x))^2 \cdot h'(x)$.

Подставляем выражения для $h(x)$ и $h'(x)$:

$f'(x) = 15(3x + x^3 - 4x^4)^2 \cdot (3 + 3x^2 - 16x^3)$.

Ответ: $f'(x) = 15(3 + 3x^2 - 16x^3)(3x + x^3 - 4x^4)^2$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = (4x^2 - x^4)^2$ используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$.

В данном случае $u(x) = 4x^2 - x^4$ и показатель степени $n=2$.

Сначала найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (4x^2 - x^4)' = (4x^2)' - (x^4)' = 4 \cdot 2x - 4x^3 = 8x - 4x^3$.

Теперь применяем формулу для производной сложной функции:

$f'(x) = 2 \cdot (4x^2 - x^4)^{2-1} \cdot (8x - 4x^3) = 2(4x^2 - x^4)(8x - 4x^3)$.

Ответ: $f'(x) = 2(4x^2 - x^4)(8x - 4x^3)$.

в) Чтобы найти производную функции $f(x) = (3\sqrt{x} - 2x^2 + x^5)^5$, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Для этого представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$.

Функция примет вид: $f(x) = (3x^{1/2} - 2x^2 + x^5)^5$.

Применяем формулу $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$, где $u(x) = 3x^{1/2} - 2x^2 + x^5$ и $n=5$.

Находим производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (3x^{1/2} - 2x^2 + x^5)' = (3x^{1/2})' - (2x^2)' + (x^5)' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 2 \cdot 2x + 5x^4 = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 4x + 5x^4$.

Подставляем найденные значения в формулу производной сложной функции:

$f'(x) = 5(3x^{1/2} - 2x^2 + x^5)^{5-1} \cdot (\frac{3}{2\sqrt{x}} - 4x + 5x^4)$.

$f'(x) = 5(3\sqrt{x} - 2x^2 + x^5)^4(\frac{3}{2\sqrt{x}} - 4x + 5x^4)$.

Ответ: $f'(x) = 5(3\sqrt{x} - 2x^2 + x^5)^4(\frac{3}{2\sqrt{x}} - 4x + 5x^4)$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = (4\sqrt{x} + 6x^2 - 5x)^6$ снова применим правило дифференцирования сложной функции. Запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{1/2}$.

Функция: $f(x) = (4x^{1/2} + 6x^2 - 5x)^6$.

Используем формулу $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$, где $u(x) = 4x^{1/2} + 6x^2 - 5x$ и $n=6$.

Находим производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (4x^{1/2} + 6x^2 - 5x)' = (4x^{1/2})' + (6x^2)' - (5x)' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} + 6 \cdot 2x - 5 = 2x^{-1/2} + 12x - 5 = \frac{2}{\sqrt{x}} + 12x - 5$.

Теперь находим производную исходной функции:

$f'(x) = 6(4x^{1/2} + 6x^2 - 5x)^{6-1} \cdot (\frac{2}{\sqrt{x}} + 12x - 5)$.

$f'(x) = 6(4\sqrt{x} + 6x^2 - 5x)^5(\frac{2}{\sqrt{x}} + 12x - 5)$.

Ответ: $f'(x) = 6(4\sqrt{x} + 6x^2 - 5x)^5(\frac{2}{\sqrt{x}} + 12x - 5)$.

16.5. Составьте сложные функции $y = f(g(x))$ и $y = g(f(x))):$

a) $f(x) = \sin x, g(x) = \frac{2}{x^3-1};$

б) $f(x) = 3x^3 + 2x^2, g(x) = \operatorname{tg}x.$

а) Даны функции $f(x) = \sin x$ и $g(x) = \frac{2}{x^3 - 1}$.

Для нахождения сложной функции $y = f(g(x))$, мы подставляем функцию $g(x)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:

$y = f(g(x)) = \sin(g(x)) = \sin\left(\frac{2}{x^3 - 1}\right)$.

Для нахождения сложной функции $y = g(f(x))$, мы подставляем функцию $f(x)$ в качестве аргумента в функцию $g(x)$:

$y = g(f(x)) = \frac{2}{(f(x))^3 - 1} = \frac{2}{(\sin x)^3 - 1} = \frac{2}{\sin^3 x - 1}$.

Ответ: $y = f(g(x)) = \sin\left(\frac{2}{x^3 - 1}\right)$; $y = g(f(x)) = \frac{2}{\sin^3 x - 1}$.

б) Даны функции $f(x) = 3x^3 + 2x^2$ и $g(x) = \mathrm{tg}\,x$.

Для нахождения сложной функции $y = f(g(x))$, мы подставляем функцию $g(x)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:

$y = f(g(x)) = 3(g(x))^3 + 2(g(x))^2 = 3(\mathrm{tg}\,x)^3 + 2(\mathrm{tg}\,x)^2 = 3\mathrm{tg}^3x + 2\mathrm{tg}^2x$.

Для нахождения сложной функции $y = g(f(x))$, мы подставляем функцию $f(x)$ в качестве аргумента в функцию $g(x)$:

$y = g(f(x)) = \mathrm{tg}\,(f(x)) = \mathrm{tg}\,(3x^3 + 2x^2)$.

Ответ: $y = f(g(x)) = 3\mathrm{tg}^3x + 2\mathrm{tg}^2x$; $y = g(f(x)) = \mathrm{tg}\,(3x^3 + 2x^2)$.

16.6. Найдите производную функции:

а) $f(x) = (7x^5 - 3x^7)^{17} + (6x - 3x^3)^{13}$;

б) $f(x) = \left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)^{27} - \left(\frac{1}{5}x + 9\right)^{30}$;

в) $f(x) = (4 - 5x)^{10} - (5 - 4x)^{20}$;

г) $f(x) = (x^5 - 4x)^{13} + \left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)^{14}$.

а)Для нахождения производной функции $f(x) = (7x^5 - 3x^7)^{17} + (6x - 3x^3)^{13}$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы (производная суммы равна сумме производных) и формулой производной сложной функции $(u(x)^n)' = n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)$.$f'(x) = ((7x^5 - 3x^7)^{17})' + ((6x - 3x^3)^{13})'$.Найдем производную первого слагаемого:$((7x^5 - 3x^7)^{17})' = 17 \cdot (7x^5 - 3x^7)^{16} \cdot (7x^5 - 3x^7)' = 17 \cdot (7x^5 - 3x^7)^{16} \cdot (7 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 7x^6) = 17(35x^4 - 21x^6)(7x^5 - 3x^7)^{16}$.Найдем производную второго слагаемого:$((6x - 3x^3)^{13})' = 13 \cdot (6x - 3x^3)^{12} \cdot (6x - 3x^3)' = 13 \cdot (6x - 3x^3)^{12} \cdot (6 - 3 \cdot 3x^2) = 13(6 - 9x^2)(6x - 3x^3)^{12}$.Сложим полученные производные:$f'(x) = 17(35x^4 - 21x^6)(7x^5 - 3x^7)^{16} + 13(6 - 9x^2)(6x - 3x^3)^{12}$.Ответ: $f'(x) = 17(35x^4 - 21x^6)(7x^5 - 3x^7)^{16} + 13(6 - 9x^2)(6x - 3x^3)^{12}$.

б)Для функции $f(x) = \left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)^{27} - \left(\frac{1}{5}x + 9\right)^{30}$ используем правило дифференцирования разности и формулу производной сложной функции.$f'(x) = \left(\left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)^{27}\right)' - \left(\left(\frac{1}{5}x + 9\right)^{30}\right)'$.Находим производную уменьшаемого:$\left(\left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)^{27}\right)' = 27 \cdot \left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)^{26} \cdot \left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)' = 27 \cdot \left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)^{26} \cdot (-27x^2) = -729x^2\left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)^{26}$.Находим производную вычитаемого:$\left(\left(\frac{1}{5}x + 9\right)^{30}\right)' = 30 \cdot \left(\frac{1}{5}x + 9\right)^{29} \cdot \left(\frac{1}{5}x + 9\right)' = 30 \cdot \left(\frac{1}{5}x + 9\right)^{29} \cdot \frac{1}{5} = 6\left(\frac{1}{5}x + 9\right)^{29}$.Объединяем результаты:$f'(x) = -729x^2\left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)^{26} - 6\left(\frac{1}{5}x + 9\right)^{29}$.Ответ: $f'(x) = -729x^2\left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)^{26} - 6\left(\frac{1}{5}x + 9\right)^{29}$.

в)Для функции $f(x) = (4 - 5x)^{10} - (5 - 4x)^{20}$ используем правило дифференцирования разности и формулу производной сложной функции.$f'(x) = ((4 - 5x)^{10})' - ((5 - 4x)^{20})'$.Находим производную уменьшаемого:$((4 - 5x)^{10})' = 10 \cdot (4 - 5x)^9 \cdot (4 - 5x)' = 10 \cdot (4 - 5x)^9 \cdot (-5) = -50(4 - 5x)^9$.Находим производную вычитаемого:$((5 - 4x)^{20})' = 20 \cdot (5 - 4x)^{19} \cdot (5 - 4x)' = 20 \cdot (5 - 4x)^{19} \cdot (-4) = -80(5 - 4x)^{19}$.Вычитаем второе из первого:$f'(x) = -50(4 - 5x)^9 - (-80(5 - 4x)^{19}) = -50(4 - 5x)^9 + 80(5 - 4x)^{19}$.Ответ: $f'(x) = 80(5 - 4x)^{19} - 50(4 - 5x)^9$.

г)Для функции $f(x) = (x^5 - 4x)^{13} + \left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)^{14}$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и формулой производной сложной функции.$f'(x) = ((x^5 - 4x)^{13})' + \left(\left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)^{14}\right)'$.Находим производную первого слагаемого:$((x^5 - 4x)^{13})' = 13 \cdot (x^5 - 4x)^{12} \cdot (x^5 - 4x)' = 13 \cdot (x^5 - 4x)^{12} \cdot (5x^4 - 4) = 13(5x^4 - 4)(x^5 - 4x)^{12}$.Находим производную второго слагаемого:$\left(\left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)^{14}\right)' = 14 \cdot \left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)^{13} \cdot \left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)' = 14 \cdot \left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)^{13} \cdot (-30x^5) = -420x^5\left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)^{13}$.Складываем результаты:$f'(x) = 13(5x^4 - 4)(x^5 - 4x)^{12} - 420x^5\left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)^{13}$.Ответ: $f'(x) = 13(5x^4 - 4)(x^5 - 4x)^{12} - 420x^5\left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)^{13}$.

Найдите производные функций (16.7–16.9):

16.7. a) $f(x) = \left(4 + \frac{1}{x^2}\right)^3;$

б) $f(x) = \left(5 - \frac{4}{x}\right)^2.$

а) Для нахождения производной функции $f(x) = \left(4 + \frac{1}{x^2}\right)^3$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)$. В данном случае, внешняя функция — это степенная функция $u(v) = v^3$, а внутренняя функция — $v(x) = 4 + \frac{1}{x^2}$.

1. Найдём производную внешней функции: $u'(v) = (v^3)' = 3v^2$.

2. Найдём производную внутренней функции. Для удобства представим $\frac{1}{x^2}$ как $x^{-2}$:

$v'(x) = \left(4 + \frac{1}{x^2}\right)' = (4 + x^{-2})' = (4)' + (x^{-2})'$.

Производная константы равна нулю: $(4)'=0$.

Производная степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$: $(x^{-2})' = -2x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

Таким образом, $v'(x) = 0 - \frac{2}{x^3} = -\frac{2}{x^3}$.

3. Теперь подставим всё в формулу производной сложной функции:

$f'(x) = 3\left(4 + \frac{1}{x^2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{2}{x^3}\right)$.

4. Упростим полученное выражение:

$f'(x) = -\frac{6}{x^3}\left(4 + \frac{1}{x^2}\right)^2$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{6}{x^3}\left(4 + \frac{1}{x^2}\right)^2$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = \left(5 - \frac{4}{x}\right)^2$ также используем правило дифференцирования сложной функции. Здесь внешняя функция — $u(v) = v^2$, а внутренняя — $v(x) = 5 - \frac{4}{x}$.

1. Найдём производную внешней функции: $u'(v) = (v^2)' = 2v$.

2. Найдём производную внутренней функции. Представим $\frac{4}{x}$ как $4x^{-1}$:

$v'(x) = \left(5 - \frac{4}{x}\right)' = (5 - 4x^{-1})' = (5)' - (4x^{-1})'$.

Производная константы $(5)'=0$.

Производная $4x^{-1}$: $(4x^{-1})' = 4 \cdot (-1)x^{-1-1} = -4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}$.

Таким образом, $v'(x) = 0 - \left(-\frac{4}{x^2}\right) = \frac{4}{x^2}$.

3. Подставим найденные производные в формулу:

$f'(x) = 2\left(5 - \frac{4}{x}\right) \cdot \frac{4}{x^2}$.

4. Упростим выражение:

$f'(x) = \frac{8}{x^2}\left(5 - \frac{4}{x}\right)$.

Можно также привести выражение в скобках к общему знаменателю и перемножить дроби:

$f'(x) = \frac{8}{x^2}\left(\frac{5x-4}{x}\right) = \frac{8(5x-4)}{x^3}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{8(5x-4)}{x^3}$.

16.8. a) $f(x) = \frac{12}{x-\sqrt{x}} - (x-6)^2$;

б) $f(x) = \frac{10}{x+\sqrt{x}} + (\sqrt{x}-1)^3$.

а)

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{12}{x - \sqrt{x}} - (x - 6)^2$.

Область определения функции находится из условий: $x \ge 0$ (из-за $\sqrt{x}$) и $x - \sqrt{x} \neq 0$. Решая второе условие, получаем $\sqrt{x}(\sqrt{x}-1) \neq 0$, что дает $x \neq 0$ и $x \neq 1$. Таким образом, область определения: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Для нахождения точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю. Для упрощения дифференцирования преобразуем первое слагаемое, разложив его на простейшие дроби. Введем замену $t = \sqrt{x}$.

$\frac{12}{x - \sqrt{x}} = \frac{12}{t^2 - t} = \frac{12}{t(t-1)}$.

Представим дробь в виде суммы: $\frac{12}{t(t-1)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t}$.

Для нахождения коэффициентов $A$ и $B$ приведем к общему знаменателю: $12 = At + B(t-1)$.

Подставив $t=1$, получим $12 = A \cdot 1 \Rightarrow A = 12$.

Подставив $t=0$, получим $12 = B \cdot (-1) \Rightarrow B = -12$.

Таким образом, исходная функция имеет вид: $f(x) = \frac{12}{\sqrt{x}-1} - \frac{12}{\sqrt{x}} - (x-6)^2$.

Теперь найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{12}{\sqrt{x}-1}\right)' - \left(\frac{12}{\sqrt{x}}\right)' - \left((x-6)^2\right)'$

$f'(x) = 12 \cdot (-1)(\sqrt{x}-1)^{-2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2} - 2(x-6)$

$f'(x) = -\frac{6}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2} + \frac{6}{x\sqrt{x}} - 2(x-6)$

Приведем первые два слагаемых к общему знаменателю $x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2$:

$f'(x) = \frac{-6x + 6(\sqrt{x}-1)^2}{x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2} - 2(x-6) = \frac{-6x + 6(x-2\sqrt{x}+1)}{x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2} - 2(x-6)$

$f'(x) = \frac{-6x + 6x - 12\sqrt{x} + 6}{x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2} - 2(x-6) = \frac{6(1-2\sqrt{x})}{x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2} - 2(x-6)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $f'(x) = 0$.

$\frac{6(1-2\sqrt{x})}{x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2} - 2(x-6) = 0$

$\frac{3(1-2\sqrt{x})}{x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2} = x-6$

Данное трансцендентное уравнение не имеет простых аналитических решений. Его корни, которые и являются точками экстремума, могут быть найдены лишь численными методами.

Ответ: Точки экстремума функции являются решениями уравнения $\frac{3(1 - 2\sqrt{x})}{x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2} = x-6$.

б)

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{10}{x + \sqrt{x}} + (\sqrt{x} - 1)^3$.

Область определения функции: $x + \sqrt{x} \neq 0$ и $x \ge 0$. Условие $x+\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+1) \neq 0$ при $x \ge 0$ эквивалентно $x \neq 0$. Таким образом, область определения: $x \in (0, +\infty)$.

Для упрощения найдем производную, используя замену $t = \sqrt{x}$, где $t > 0$. Тогда $x=t^2$ и $f(x) = F(t) = \frac{10}{t^2 + t} + (t-1)^3$.

Разложим первое слагаемое на простейшие дроби: $\frac{10}{t(t+1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t+1}$.

Приводя к общему знаменателю, получаем $10 = A(t+1) + Bt$.

При $t=0$, $A=10$. При $t=-1$, $B=-10$.

Итак, $F(t) = \frac{10}{t} - \frac{10}{t+1} + (t-1)^3$.

Найдем производную $f'(x)$ по правилу производной сложной функции: $f'(x) = \frac{dF}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}$.

$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2t}$.

$\frac{dF}{dt} = \left(\frac{10}{t}\right)' - \left(\frac{10}{t+1}\right)' + \left((t-1)^3\right)' = -\frac{10}{t^2} + \frac{10}{(t+1)^2} + 3(t-1)^2$.

Точки экстремума функции $f(x)$ соответствуют $f'(x) = 0$. Поскольку $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2t} > 0$ на области определения, то $f'(x)=0$ тогда и только тогда, когда $\frac{dF}{dt}=0$.

$-\frac{10}{t^2} + \frac{10}{(t+1)^2} + 3(t-1)^2 = 0$

$10\left(\frac{1}{(t+1)^2} - \frac{1}{t^2}\right) + 3(t-1)^2 = 0$

$10\frac{t^2 - (t+1)^2}{t^2(t+1)^2} + 3(t-1)^2 = 0$

$10\frac{t^2 - (t^2+2t+1)}{t^2(t+1)^2} + 3(t-1)^2 = 0$

$\frac{-10(2t+1)}{t^2(t+1)^2} + 3(t-1)^2 = 0$

$3(t-1)^2 = \frac{10(2t+1)}{t^2(t+1)^2}$

$3t^2(t-1)^2(t+1)^2 = 10(2t+1)$

$3(t(t-1)(t+1))^2 = 20t+10$

$3(t(t^2-1))^2 = 20t+10 \Rightarrow 3(t^3-t)^2 = 20t+10$

$3(t^6-2t^4+t^2) = 20t+10$

$3t^6-6t^4+3t^2-20t-10=0$

Получено полиномиальное уравнение шестой степени относительно $t$. Это уравнение не решается аналитически в общем виде. Его положительные корни могут быть найдены численными методами.

Ответ: Точки экстремума функции $x=t^2$ определяются положительными корнями $t$ уравнения $3t^6-6t^4+3t^2-20t-10=0$.

16.9. а) $f(x) = \sqrt{1 - 3x^2} + \frac{1}{x^2 + 4}$

б) $f(x) = (8 - 3x^6)^3 - \frac{x^2}{5 - x^2}$

а) Чтобы найти производную функции $f(x) = \sqrt{1 - 3x^2} + \frac{1}{x^2 + 4}$, воспользуемся правилом дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных.

$f'(x) = (\sqrt{1 - 3x^2})' + \left(\frac{1}{x^2 + 4}\right)'$

1. Найдем производную первого слагаемого, используя правило производной сложной функции (цепное правило) для $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$:

$(\sqrt{1 - 3x^2})' = \frac{(1 - 3x^2)'}{2\sqrt{1 - 3x^2}} = \frac{-6x}{2\sqrt{1 - 3x^2}} = -\frac{3x}{\sqrt{1 - 3x^2}}$

2. Найдем производную второго слагаемого. Представим его как $(x^2 + 4)^{-1}$ и применим правило производной степенной функции и цепное правило $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:

$\left(\frac{1}{x^2 + 4}\right)' = ((x^2 + 4)^{-1})' = -1 \cdot (x^2 + 4)^{-2} \cdot (x^2 + 4)' = -\frac{1}{(x^2 + 4)^2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2 + 4)^2}$

3. Сложим полученные производные:

$f'(x) = -\frac{3x}{\sqrt{1 - 3x^2}} - \frac{2x}{(x^2 + 4)^2}$

Ответ: $f'(x) = -\frac{3x}{\sqrt{1 - 3x^2}} - \frac{2x}{(x^2 + 4)^2}$.

б) Чтобы найти производную функции $f(x) = (8 - 3x^6)^3 - \frac{x^2}{5 - x^2}$, воспользуемся правилом дифференцирования разности, согласно которому производная разности функций равна разности их производных.

$f'(x) = ((8 - 3x^6)^3)' - \left(\frac{x^2}{5 - x^2}\right)'$

1. Найдем производную первого члена, используя правило производной сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:

$((8 - 3x^6)^3)' = 3(8 - 3x^6)^2 \cdot (8 - 3x^6)' = 3(8 - 3x^6)^2 \cdot (-18x^5) = -54x^5(8 - 3x^6)^2$

2. Найдем производную второго члена, используя правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$\left(\frac{x^2}{5 - x^2}\right)' = \frac{(x^2)'(5 - x^2) - x^2(5 - x^2)'}{(5 - x^2)^2} = \frac{2x(5 - x^2) - x^2(-2x)}{(5 - x^2)^2}$

Упростим числитель дроби:

$2x(5 - x^2) - x^2(-2x) = 10x - 2x^3 + 2x^3 = 10x$

Таким образом, производная второго члена равна:

$\left(\frac{x^2}{5 - x^2}\right)' = \frac{10x}{(5 - x^2)^2}$

3. Вычтем вторую производную из первой:

$f'(x) = -54x^5(8 - 3x^6)^2 - \frac{10x}{(5 - x^2)^2}$

Ответ: $f'(x) = -54x^5(8 - 3x^6)^2 - \frac{10x}{(5 - x^2)^2}$.