Номер 16.9, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16.9. а) $f(x) = \sqrt{1 - 3x^2} + \frac{1}{x^2 + 4}$

б) $f(x) = (8 - 3x^6)^3 - \frac{x^2}{5 - x^2}$

а) Чтобы найти производную функции $f(x) = \sqrt{1 - 3x^2} + \frac{1}{x^2 + 4}$, воспользуемся правилом дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных.

$f'(x) = (\sqrt{1 - 3x^2})' + \left(\frac{1}{x^2 + 4}\right)'$

1. Найдем производную первого слагаемого, используя правило производной сложной функции (цепное правило) для $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$:

$(\sqrt{1 - 3x^2})' = \frac{(1 - 3x^2)'}{2\sqrt{1 - 3x^2}} = \frac{-6x}{2\sqrt{1 - 3x^2}} = -\frac{3x}{\sqrt{1 - 3x^2}}$

2. Найдем производную второго слагаемого. Представим его как $(x^2 + 4)^{-1}$ и применим правило производной степенной функции и цепное правило $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:

$\left(\frac{1}{x^2 + 4}\right)' = ((x^2 + 4)^{-1})' = -1 \cdot (x^2 + 4)^{-2} \cdot (x^2 + 4)' = -\frac{1}{(x^2 + 4)^2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2 + 4)^2}$

3. Сложим полученные производные:

$f'(x) = -\frac{3x}{\sqrt{1 - 3x^2}} - \frac{2x}{(x^2 + 4)^2}$

Ответ: $f'(x) = -\frac{3x}{\sqrt{1 - 3x^2}} - \frac{2x}{(x^2 + 4)^2}$.

б) Чтобы найти производную функции $f(x) = (8 - 3x^6)^3 - \frac{x^2}{5 - x^2}$, воспользуемся правилом дифференцирования разности, согласно которому производная разности функций равна разности их производных.

$f'(x) = ((8 - 3x^6)^3)' - \left(\frac{x^2}{5 - x^2}\right)'$

1. Найдем производную первого члена, используя правило производной сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:

$((8 - 3x^6)^3)' = 3(8 - 3x^6)^2 \cdot (8 - 3x^6)' = 3(8 - 3x^6)^2 \cdot (-18x^5) = -54x^5(8 - 3x^6)^2$

2. Найдем производную второго члена, используя правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$\left(\frac{x^2}{5 - x^2}\right)' = \frac{(x^2)'(5 - x^2) - x^2(5 - x^2)'}{(5 - x^2)^2} = \frac{2x(5 - x^2) - x^2(-2x)}{(5 - x^2)^2}$

Упростим числитель дроби:

$2x(5 - x^2) - x^2(-2x) = 10x - 2x^3 + 2x^3 = 10x$

Таким образом, производная второго члена равна:

$\left(\frac{x^2}{5 - x^2}\right)' = \frac{10x}{(5 - x^2)^2}$

3. Вычтем вторую производную из первой:

$f'(x) = -54x^5(8 - 3x^6)^2 - \frac{10x}{(5 - x^2)^2}$

Ответ: $f'(x) = -54x^5(8 - 3x^6)^2 - \frac{10x}{(5 - x^2)^2}$.