Вопросы, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Можно ли сказать, что в любой точке области определения функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ существуют их производные?

2. Можно ли сказать, что в любой точке области определения функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$ существуют их производные? Ответ обоснуйте.

3. Как объяснить геометрический смысл производной для функции $y = \sin x$?

1. Да, можно. Область определения функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ — это вся числовая прямая, то есть множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$). Производная функции $y = \sin x$ равна $y' = \cos x$. Производная функции $y = \cos x$ равна $y' = -\sin x$. Функции $\cos x$ и $-\sin x$ также определены для любого действительного числа $x$. Следовательно, в любой точке области определения функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ существуют их производные.

Ответ: Да, можно.

2. Да, можно. Обоснуем это для каждой функции отдельно.

Для функции $y = \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ область определения — это все действительные числа, кроме тех, в которых знаменатель обращается в ноль, то есть где $\cos x = 0$. Это точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Производная функции $y = \tg x$ равна $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$. Эта производная существует во всех точках, где $\cos x \neq 0$, что в точности совпадает с областью определения самой функции $y = \tg x$.

Для функции $y = \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ область определения — это все действительные числа, кроме тех, в которых знаменатель обращается в ноль, то есть где $\sin x = 0$. Это точки вида $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Производная функции $y = \ctg x$ равна $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$. Эта производная существует во всех точках, где $\sin x \neq 0$, что также в точности совпадает с областью определения самой функции $y = \ctg x$.

Таким образом, для обеих функций их производные существуют в каждой точке их области определения.

Ответ: Да, можно, так как точки, в которых производные не существуют, не входят в область определения исходных функций.

3. Геометрический смысл производной функции в точке — это тангенс угла наклона (или угловой коэффициент) касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Для функции $y = \sin x$ ее производная равна $y' = \cos x$. Это означает, что для любого значения $x_0$, значение производной в этой точке, то есть $\cos x_0$, равно угловому коэффициенту касательной к графику синусоиды в точке с абсциссой $x_0$.

Например:

- В точке $x_0 = 0$, производная $y'(0) = \cos(0) = 1$. Это значит, что касательная к графику $y = \sin x$ в точке $(0,0)$ имеет угловой коэффициент, равный 1, и ее уравнение $y = x$.

- В точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$, производная $y'(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Это значит, что касательная к графику в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$ горизонтальна, так как ее угловой коэффициент равен 0.

- В точке $x_0 = \pi$, производная $y'(\pi) = \cos(\pi) = -1$. Касательная к графику в точке $(\pi, 0)$ имеет угловой коэффициент, равный -1.

Ответ: Геометрический смысл производной функции $y = \sin x$ в точке $x_0$ заключается в том, что ее значение, равное $\cos x_0$, является тангенсом угла наклона (угловым коэффициентом) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.