Номер 17.6, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Параграф 17. Производные тригонометрических функций. Глава 5. Производная - номер 17.6, страница 99.

Условие.

17.6. Решите уравнение $f'(x) = 0$:

а) $f(x) = -\sin x - 1$;

б) $f(x) = \cos 4x + 1$.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы решить уравнение $f'(x)=0$, сначала необходимо найти производную данной функции $f(x) = -\sin x - 1$.

Производная функции $y=\sin x$ равна $y'=\cos x$. Производная константы равна нулю.

Тогда производная функции $f(x)$ будет:

$f'(x) = (-\sin x - 1)' = -(\sin x)' - (1)' = -\cos x - 0 = -\cos x$.

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$-\cos x = 0$

$\cos x = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Корни этого уравнения находятся по формуле:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Чтобы решить уравнение $f'(x)=0$, сначала необходимо найти производную данной функции $f(x) = \cos 4x + 1$.

Для нахождения производной от $\cos 4x$ используем правило дифференцирования сложной функции: $(\cos(u))' = -\sin(u) \cdot u'$. В данном случае $u=4x$, а $u'=4$. Производная константы равна нулю.

Тогда производная функции $f(x)$ будет:

$f'(x) = (\cos 4x + 1)' = (\cos 4x)' + (1)' = -\sin(4x) \cdot (4x)' + 0 = -4\sin(4x)$.

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$-4\sin(4x) = 0$

Разделим обе части уравнения на $-4$:

$\sin(4x) = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Корни этого уравнения находятся по формуле:

$4x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 4:

$x = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.