Страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.3. a) $f(x) = - \cos2x + \sin2x;$

b) $f(x) = x^3 - 2\sin2x;$

б) $f(x) = 3x + \cos4x;$

г) $f(x) = 2\operatorname{tg}2x.$

а) Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = -\cos(2x) + \sin(2x)$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Первообразная - это функция, производная которой равна исходной функции.

Вычислим интеграл от функции $f(x)$:

$F(x) = \int (-\cos(2x) + \sin(2x)) dx = \int -\cos(2x) dx + \int \sin(2x) dx$.

Воспользуемся табличными интегралами для тригонометрических функций:

$\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$

$\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$

Применяя эти формулы для $k=2$, получаем:

$\int -\cos(2x) dx = -\frac{1}{2}\sin(2x)$

$\int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)$

Складывая результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общую первообразную:

$F(x) = -\frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{1}{2}\cos(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{1}{2}\cos(2x) + C$.

б) Найдем первообразную для функции $f(x) = 3x + \cos(4x)$ путем интегрирования.

$F(x) = \int (3x + \cos(4x)) dx = \int 3x dx + \int \cos(4x) dx$.

Используем следующие табличные интегралы:

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

$\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$

Для первого слагаемого при $n=1$:

$\int 3x dx = 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{3}{2}x^2$.

Для второго слагаемого при $k=4$:

$\int \cos(4x) dx = \frac{1}{4}\sin(4x)$.

Объединяя результаты и добавляя константу $C$, получаем:

$F(x) = \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{4}\sin(4x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{4}\sin(4x) + C$.

в) Найдем первообразную для функции $f(x) = x^3 - 2\sin(2x)$.

$F(x) = \int (x^3 - 2\sin(2x)) dx = \int x^3 dx - \int 2\sin(2x) dx$.

Применяем табличные интегралы:

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

$\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$

Для первого слагаемого при $n=3$:

$\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.

Для второго слагаемого при $k=2$:

$\int -2\sin(2x) dx = -2 \int \sin(2x) dx = -2 \cdot (-\frac{1}{2}\cos(2x)) = \cos(2x)$.

Суммируя части и добавляя константу $C$, находим общую первообразную:

$F(x) = \frac{x^4}{4} + \cos(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \cos(2x) + C$.

г) Найдем первообразную для функции $f(x) = 2\operatorname{tg}(2x)$.

$F(x) = \int 2\operatorname{tg}(2x) dx = 2\int \operatorname{tg}(2x) dx$.

Для вычисления этого интеграла можно использовать замену переменной. Пусть $u = 2x$, тогда $du = 2dx$, и $dx = \frac{du}{2}$.

$2\int \operatorname{tg}(2x) dx = 2\int \operatorname{tg}(u) \frac{du}{2} = \int \operatorname{tg}(u) du$.

Интеграл от тангенса является табличным: $\int \operatorname{tg}(u) du = -\ln|\cos(u)| + C$.

Подставляя результат, получаем:

$\int \operatorname{tg}(u) du = -\ln|\cos(u)| + C$.

Теперь выполним обратную замену $u = 2x$:

$F(x) = -\ln|\cos(2x)| + C$.

Ответ: $F(x) = -\ln|\cos(2x)| + C$.

17.4. a) $f(x) = -3\text{ctg}x - 4x^3;$

б) $f(x) = \sin2x + \text{tg}x;$

в) $f(x) = 4 - \frac{1}{4}\text{tg}x;$

г) $f(x) = x^2\text{ctg}x.$

17.5. Разложите производящие функции с заданной мощь

а) Для нахождения производной функции $f(x) = -3\text{ctg}x - 4x^3$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и табличными производными.

Производная суммы функций равна сумме производных: $f'(x) = (-3\text{ctg}x - 4x^3)' = (-3\text{ctg}x)' - (4x^3)'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

Производная котангенса: $(\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2x}$. Тогда $(-3\text{ctg}x)' = -3 \cdot (-\frac{1}{\sin^2x}) = \frac{3}{\sin^2x}$.

Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$. Тогда $(4x^3)' = 4 \cdot 3x^{3-1} = 12x^2$.

Собираем все вместе: $f'(x) = \frac{3}{\sin^2x} - 12x^2$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{\sin^2x} - 12x^2$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = \sin2x + \text{tg}x$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы, правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом) и табличными производными.

$f'(x) = (\sin2x + \text{tg}x)' = (\sin2x)' + (\text{tg}x)'$.

Найдем производную первого слагаемого, $\sin2x$. Это сложная функция, где внешняя функция $g(u) = \sin u$, а внутренняя $u(x) = 2x$.

По цепному правилу: $(\sin2x)' = (\cos2x) \cdot (2x)' = \cos2x \cdot 2 = 2\cos2x$.

Производная тангенса: $(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$.

Складываем полученные производные: $f'(x) = 2\cos2x + \frac{1}{\cos^2x}$.

Ответ: $f'(x) = 2\cos2x + \frac{1}{\cos^2x}$.

в) Дана функция $f(x) = 4 - \frac{1}{4}\text{tg}x$. Для нахождения ее производной используем правило дифференцирования суммы и табличные производные.

$f'(x) = (4 - \frac{1}{4}\text{tg}x)' = (4)' - (\frac{1}{4}\text{tg}x)'$.

Производная константы равна нулю: $(4)' = 0$.

Производная второго слагаемого: $(\frac{1}{4}\text{tg}x)' = \frac{1}{4} \cdot (\text{tg}x)' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos^2x} = \frac{1}{4\cos^2x}$.

Таким образом, $f'(x) = 0 - \frac{1}{4\cos^2x} = -\frac{1}{4\cos^2x}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{4\cos^2x}$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = x^2\text{ctg}x$ необходимо применить правило дифференцирования произведения (правило Лейбница): $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

В нашем случае $u(x) = x^2$ и $v(x) = \text{ctg}x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

$v'(x) = (\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2x}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = (x^2)'\text{ctg}x + x^2(\text{ctg}x)' = 2x \cdot \text{ctg}x + x^2 \cdot (-\frac{1}{\sin^2x})$.

Упрощаем выражение: $f'(x) = 2x\text{ctg}x - \frac{x^2}{\sin^2x}$.

Ответ: $f'(x) = 2x\text{ctg}x - \frac{x^2}{\sin^2x}$.

17.5. Вычислите производную функции в заданной точке:

а) $f(x) = \cos x + 1, x = \frac{\pi}{6};$

б) $f(x) = \operatorname{tg} x - 2, x = \frac{\pi}{3};$

в) $f(x) = \frac{2 \sin x}{3}, x = \frac{\pi}{3};$

г) $f(x) = \operatorname{ctg} x + \frac{1}{3} \operatorname{tg} x, x = \frac{\pi}{3}.$

а) Дана функция $f(x) = \cos x + 1$ и точка $x = \frac{\pi}{6}$.Чтобы найти значение производной в точке, сначала найдем общую формулу производной $f'(x)$.Производная суммы равна сумме производных: $f'(x) = (\cos x + 1)' = (\cos x)' + (1)'$.Производная от $\cos x$ равна $-\sin x$, а производная константы $1$ равна $0$.Таким образом, $f'(x) = -\sin x + 0 = -\sin x$.Теперь подставим значение $x = \frac{\pi}{6}$ в выражение для производной:$f'(\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$.Зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:$f'(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.Ответ: $-\frac{1}{2}$

б) Дана функция $f(x) = \tan x - 2$ и точка $x = -\frac{\pi}{3}$.Найдем производную функции $f(x)$:$f'(x) = (\tan x - 2)' = (\tan x)' - (2)'$.Производная от $\tan x$ равна $\frac{1}{\cos^2 x}$, а производная константы $-2$ равна $0$.Следовательно, $f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.Вычислим значение производной в точке $x = -\frac{\pi}{3}$:$f'(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\cos^2(-\frac{\pi}{3})}$.Функция косинус является четной, поэтому $\cos(-a) = \cos(a)$.$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.Тогда $\cos^2(-\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.Подставляем это значение в формулу производной:$f'(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$.Ответ: $4$

в) Дана функция $f(x) = \frac{2\sin x}{3}$ и точка $x = \frac{\pi}{3}$.Найдем производную функции. Можно вынести константу $\frac{2}{3}$ за знак производной:$f'(x) = (\frac{2}{3}\sin x)' = \frac{2}{3}(\sin x)'$.Производная от $\sin x$ равна $\cos x$.Значит, $f'(x) = \frac{2}{3}\cos x$.Теперь вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{3}$:$f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{2}{3}\cos(\frac{\pi}{3})$.Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.$f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$.Ответ: $\frac{1}{3}$

г) Дана функция $f(x) = \cot x + \frac{1}{3}\tan x$ и точка $x = \frac{\pi}{3}$.Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования суммы и правило вынесения константы за знак производной:$f'(x) = (\cot x + \frac{1}{3}\tan x)' = (\cot x)' + \frac{1}{3}(\tan x)'$.Производная от $\cot x$ равна $-\frac{1}{\sin^2 x}$, а производная от $\tan x$ равна $\frac{1}{\cos^2 x}$.Таким образом, $f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{3\cos^2 x}$.Вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{3}$:$f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{3})} + \frac{1}{3\cos^2(\frac{\pi}{3})}$.Найдем значения синуса и косинуса для $x = \frac{\pi}{3}$:$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, следовательно $\cos^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.Подставим эти значения в выражение для производной:$f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\frac{3}{4}} + \frac{1}{3 \cdot \frac{1}{4}} = -\frac{4}{3} + \frac{1}{\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0$.Ответ: $0$

17.6. Решите уравнение $f'(x) = 0$:

а) $f(x) = -\sin x - 1$;

б) $f(x) = \cos 4x + 1$.

а) Чтобы решить уравнение $f'(x)=0$, сначала необходимо найти производную данной функции $f(x) = -\sin x - 1$.

Производная функции $y=\sin x$ равна $y'=\cos x$. Производная константы равна нулю.

Тогда производная функции $f(x)$ будет:

$f'(x) = (-\sin x - 1)' = -(\sin x)' - (1)' = -\cos x - 0 = -\cos x$.

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$-\cos x = 0$

$\cos x = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Корни этого уравнения находятся по формуле:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Чтобы решить уравнение $f'(x)=0$, сначала необходимо найти производную данной функции $f(x) = \cos 4x + 1$.

Для нахождения производной от $\cos 4x$ используем правило дифференцирования сложной функции: $(\cos(u))' = -\sin(u) \cdot u'$. В данном случае $u=4x$, а $u'=4$. Производная константы равна нулю.

Тогда производная функции $f(x)$ будет:

$f'(x) = (\cos 4x + 1)' = (\cos 4x)' + (1)' = -\sin(4x) \cdot (4x)' + 0 = -4\sin(4x)$.

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$-4\sin(4x) = 0$

Разделим обе части уравнения на $-4$:

$\sin(4x) = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Корни этого уравнения находятся по формуле:

$4x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 4:

$x = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

17.7. Напишите уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$:

а) $f(x) = \sin x; x_0 = \frac{2\pi}{3};$

б) $f(x) = \operatorname{tg} x; x_0 = \frac{\pi}{4}.$

а) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $f(x) = \sin x$ в точке $x_0 = \frac{2\pi}{3}$ выполним следующие шаги:

1. Найдем значение функции в точке касания:

$f(x_0) = f(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

3. Найдем значение производной в точке касания (это угловой коэффициент касательной):

$f'(x_0) = f'(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0)$, $f'(x_0)$ и $x_0$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{1}{2})(x - \frac{2\pi}{3})$.

5. Упростим полученное выражение:

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3}$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) Для функции $f(x) = \text{tg}\,x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$ используем ту же формулу уравнения касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке касания:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{4}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\text{tg}\,x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

3. Найдем значение производной в точке касания:

$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{\frac{2}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 1 + 2(x - \frac{\pi}{4})$.

5. Упростим полученное выражение:

$y = 1 + 2x - 2 \cdot \frac{\pi}{4}$

$y = 1 + 2x - \frac{\pi}{2}$

$y = 2x + 1 - \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $y = 2x + 1 - \frac{\pi}{2}$.

17.8. Решите уравнение $f'(x) = 0$:

а) $f(x) = 3\sin2x$;

б) $f(x) = 4\cos2x$.

а) Чтобы решить уравнение $f'(x) = 0$ для функции $f(x) = 3\sin(2x)$, сначала необходимо найти ее производную.

Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$. В данном случае $g(u) = 3\sin(u)$ и $h(x) = 2x$.

Находим производные:

$g'(u) = (3\sin(u))' = 3\cos(u)$

$h'(x) = (2x)' = 2$

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = 3\cos(2x) \cdot 2 = 6\cos(2x)$

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$6\cos(2x) = 0$

$\cos(2x) = 0$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел).

Для того чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б) Чтобы решить уравнение $f'(x) = 0$ для функции $f(x) = 4\cos(2x)$, также сначала найдем ее производную.

Используем правило дифференцирования сложной функции. Здесь $g(u) = 4\cos(u)$ и $h(x) = 2x$.

Находим производные:

$g'(u) = (4\cos(u))' = -4\sin(u)$

$h'(x) = (2x)' = 2$

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = -4\sin(2x) \cdot 2 = -8\sin(2x)$

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$-8\sin(2x) = 0$

$\sin(2x) = 0$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Найдите производные функций (17.9–17.11):

17.9. а) $f(x) = \cos x \cdot (\cos x - 1);$ б) $f(x) = \operatorname{tg} x(\cos x + 2);$

в) $f(x) = \sin x(\operatorname{ctg} x - 1);$ г) $f(x) = (4x - 1) \cdot \sin x.$

а) Для того чтобы найти производную функции $f(x) = \cos x \cdot (\cos x - 1)$, мы можем сначала упростить выражение, раскрыв скобки, или использовать правило дифференцирования произведения. Упрощение выглядит более эффективным.

Раскроем скобки: $f(x) = \cos^2 x - \cos x$.

Теперь найдем производную этой функции, используя правила дифференцирования. Производная разности равна разности производных:

$f'(x) = (\cos^2 x - \cos x)' = (\cos^2 x)' - (\cos x)'$.

Для нахождения производной $(\cos^2 x)'$ применим правило дифференцирования сложной функции. Если $u = \cos x$, то функция имеет вид $u^2$. Ее производная равна $2u \cdot u' = 2\cos x \cdot (\cos x)'$.

Поскольку $(\cos x)' = -\sin x$, получаем:

$(\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$.

Производная второго слагаемого: $(\cos x)' = -\sin x$.

Теперь соберем все вместе:

$f'(x) = -2\sin x \cos x - (-\sin x) = \sin x - 2\sin x \cos x$.

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, ответ можно записать как $f'(x) = \sin x - \sin(2x)$.

Ответ: $f'(x) = \sin x - 2\sin x \cos x$.

б) Для функции $f(x) = \text{tg}x(\cos x + 2)$ также проще сначала упростить выражение.

Заменим $\text{tg}x$ на $\frac{\sin x}{\cos x}$ и раскроем скобки:

$f(x) = \frac{\sin x}{\cos x}(\cos x + 2) = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x + 2 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x + 2\text{tg}x$.

Теперь найти производную этого выражения значительно проще:

$f'(x) = (\sin x + 2\text{tg}x)' = (\sin x)' + (2\text{tg}x)'$.

Используя табличные производные $(\sin x)' = \cos x$ и $(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, получаем:

$f'(x) = \cos x + 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \cos x + \frac{2}{\cos^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = \cos x + \frac{2}{\cos^2 x}$.

в) Для функции $f(x) = \sin x(\text{ctg}x - 1)$ применим тот же подход с предварительным упрощением.

Заменим $\text{ctg}x$ на $\frac{\cos x}{\sin x}$ и раскроем скобки:

$f(x) = \sin x \left(\frac{\cos x}{\sin x} - 1\right) = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} - \sin x \cdot 1 = \cos x - \sin x$.

Теперь находим производную полученной простой функции:

$f'(x) = (\cos x - \sin x)' = (\cos x)' - (\sin x)'$.

Используя известные производные $(\cos x)' = -\sin x$ и $(\sin x)' = \cos x$, имеем:

$f'(x) = -\sin x - \cos x$.

Ответ: $f'(x) = -\sin x - \cos x$.

г) Для функции $f(x) = (4x - 1) \cdot \sin x$ необходимо использовать правило дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 4x - 1$ и $v(x) = \sin x$.

Найдем производные каждой из этих функций:

$u'(x) = (4x - 1)' = 4$.

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 4 \cdot \sin x + (4x - 1) \cdot \cos x$.

Дальнейшее упрощение не требуется.

Ответ: $f'(x) = 4\sin x + (4x - 1)\cos x$.

17.10. a) $f(x) = \cos^2x - 1;$

B) $f(x) = (\sin2x + 1)^2;$

б) $f(x) = 3\sin^22x + 2x;$

г) $f(x) = (\cos2x + \sin2x)^3.$

а) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \cos^2x - 1$ сначала упростим её. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем $f(x) = -(1 - \cos^2x) = -\sin^2x$.

Применим формулу понижения степени $\sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$:

$f(x) = -\left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right) = \frac{\cos(2x) - 1}{2} = \frac{1}{2}\cos(2x) - \frac{1}{2}$.

Теперь найдем первообразную $F(x)$, интегрируя полученное выражение:

$F(x) = \int \left(\frac{1}{2}\cos(2x) - \frac{1}{2}\right) dx = \frac{1}{2}\int\cos(2x)dx - \frac{1}{2}\int dx$.

$F(x) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right) - \frac{1}{2}x + C = \frac{1}{4}\sin(2x) - \frac{x}{2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}\sin(2x) - \frac{x}{2} + C$.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = 3\sin^2(2x) + 2x$. Для нахождения ее первообразной, преобразуем слагаемое $3\sin^2(2x)$ с помощью формулы понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$. В нашем случае $\alpha = 2x$.

$f(x) = 3\left(\frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2}\right) + 2x = \frac{3}{2}(1 - \cos(4x)) + 2x = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos(4x) + 2x$.

Теперь найдем первообразную $F(x)$, интегрируя полученное выражение:

$F(x) = \int \left(\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos(4x) + 2x\right) dx = \int \frac{3}{2}dx - \frac{3}{2}\int \cos(4x)dx + \int 2xdx$.

$F(x) = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}\left(\frac{1}{4}\sin(4x)\right) + x^2 + C = x^2 + \frac{3}{2}x - \frac{3}{8}\sin(4x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = x^2 + \frac{3}{2}x - \frac{3}{8}\sin(4x) + C$.

в) Дана функция $f(x) = (\sin(2x) + 1)^2$. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$f(x) = \sin^2(2x) + 2\sin(2x) + 1$.

Для слагаемого $\sin^2(2x)$ применим формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$ при $\alpha=2x$:

$f(x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2} + 2\sin(2x) + 1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(4x) + 2\sin(2x) + 1 = \frac{3}{2} + 2\sin(2x) - \frac{1}{2}\cos(4x)$.

Найдем первообразную $F(x)$ для полученной функции:

$F(x) = \int \left(\frac{3}{2} + 2\sin(2x) - \frac{1}{2}\cos(4x)\right) dx = \int\frac{3}{2}dx + 2\int\sin(2x)dx - \frac{1}{2}\int\cos(4x)dx$.

$F(x) = \frac{3}{2}x + 2\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\sin(4x)\right) + C = \frac{3}{2}x - \cos(2x) - \frac{1}{8}\sin(4x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{2}x - \cos(2x) - \frac{1}{8}\sin(4x) + C$.

г) Дана функция $f(x) = (\cos(2x) + \sin(2x))^3$. Упростим это выражение. Сначала представим куб как произведение квадрата и первой степени:

$f(x) = (\cos(2x) + \sin(2x))^2(\cos(2x) + \sin(2x))$.

Раскроем квадрат суммы:

$(\cos(2x) + \sin(2x))^2 = \cos^2(2x) + 2\sin(2x)\cos(2x) + \sin^2(2x) = 1 + \sin(4x)$, используя тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Тогда $f(x) = (1 + \sin(4x))(\cos(2x) + \sin(2x))$.

Раскроем скобки:

$f(x) = \cos(2x) + \sin(2x) + \sin(4x)\cos(2x) + \sin(4x)\sin(2x)$.

Применим формулы преобразования произведения в сумму:

$\sin(4x)\cos(2x) = \frac{1}{2}(\sin(4x+2x) + \sin(4x-2x)) = \frac{1}{2}(\sin(6x) + \sin(2x))$.

$\sin(4x)\sin(2x) = \frac{1}{2}(\cos(4x-2x) - \cos(4x+2x)) = \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(6x))$.

Подставим эти выражения в функцию $f(x)$ и приведем подобные слагаемые:

$f(x) = \cos(2x) + \sin(2x) + \frac{1}{2}(\sin(6x) + \sin(2x)) + \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(6x)) = \frac{3}{2}\cos(2x) + \frac{3}{2}\sin(2x) + \frac{1}{2}\sin(6x) - \frac{1}{2}\cos(6x)$.

Теперь найдем первообразную $F(x)$, интегрируя полученное выражение:

$F(x) = \int\left(\frac{3}{2}\cos(2x) + \frac{3}{2}\sin(2x) + \frac{1}{2}\sin(6x) - \frac{1}{2}\cos(6x)\right)dx$.

$F(x) = \frac{3}{2}\left(\frac{\sin(2x)}{2}\right) + \frac{3}{2}\left(\frac{-\cos(2x)}{2}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{-\cos(6x)}{6}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{\sin(6x)}{6}\right) + C$.

$F(x) = \frac{3}{4}\sin(2x) - \frac{3}{4}\cos(2x) - \frac{1}{12}\cos(6x) - \frac{1}{12}\sin(6x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{4}\sin(2x) - \frac{3}{4}\cos(2x) - \frac{1}{12}\cos(6x) - \frac{1}{12}\sin(6x) + C$.

17.11. a) $f(x) = \frac{3x + 4}{\cos x}$;

Б) $f(x) = \frac{5x - 2}{\sin x}$;

В) $f(x) = \frac{\operatorname{tg} x}{3 + x}$;

Г) $f(x) = \frac{x - 2}{\operatorname{ctg} x}$.

а) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{3x+4}{\cos x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.В нашем случае, $u(x) = 3x+4$ и $v(x) = \cos x$.Найдем производные этих функций:$u'(x) = (3x+4)' = 3$.$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.Теперь подставим найденные значения в формулу для производной частного:$f'(x) = \frac{(3x+4)' \cos x - (3x+4)(\cos x)'}{(\cos x)^2} = \frac{3 \cdot \cos x - (3x+4)(-\sin x)}{\cos^2 x}$.Упростим выражение в числителе:$f'(x) = \frac{3 \cos x + (3x+4)\sin x}{\cos^2 x} = \frac{3 \cos x + 3x \sin x + 4 \sin x}{\cos^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3 \cos x + 3x \sin x + 4 \sin x}{\cos^2 x}$.

б) Для функции $f(x) = \frac{5x-2}{\sin x}$ также применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.Здесь $u(x) = 5x-2$ и $v(x) = \sin x$.Их производные:$u'(x) = (5x-2)' = 5$.$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.Подставляем в формулу:$f'(x) = \frac{(5x-2)' \sin x - (5x-2)(\sin x)'}{(\sin x)^2} = \frac{5 \cdot \sin x - (5x-2)\cos x}{\sin^2 x}$.Раскроем скобки в числителе:$f'(x) = \frac{5 \sin x - 5x \cos x + 2 \cos x}{\sin^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5 \sin x - 5x \cos x + 2 \cos x}{\sin^2 x}$.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\tg x}{3+x}$. Снова используем правило дифференцирования частного.Пусть $u(x) = \tg x$ и $v(x) = 3+x$.Найдем их производные:$u'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.$v'(x) = (3+x)' = 1$.Применяем формулу:$f'(x) = \frac{(\tg x)'(3+x) - (\tg x)(3+x)'}{(3+x)^2} = \frac{\frac{1}{\cos^2 x} \cdot (3+x) - \tg x \cdot 1}{(3+x)^2}$.Упростим числитель, представив $\tg x$ как $\frac{\sin x}{\cos x}$:$\frac{3+x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3+x - \sin x \cos x}{\cos^2 x}$.Подставим это обратно в выражение для производной:$f'(x) = \frac{\frac{3+x - \sin x \cos x}{\cos^2 x}}{(3+x)^2} = \frac{3+x - \sin x \cos x}{\cos^2 x (3+x)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3+x - \sin x \cos x}{(3+x)^2 \cos^2 x}$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{x-2}{\ctg x}$. Можно использовать правило частного, но проще сначала упростить функцию, так как $\frac{1}{\ctg x} = \tg x$.Итак, $f(x) = (x-2)\tg x$.Теперь воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.Здесь $u(x) = x-2$ и $v(x) = \tg x$.Их производные:$u'(x) = (x-2)' = 1$.$v'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.Применяем правило произведения:$f'(x) = (x-2)' \tg x + (x-2) (\tg x)' = 1 \cdot \tg x + (x-2) \frac{1}{\cos^2 x}$.Приведем к общему знаменателю $\cos^2 x$:$f'(x) = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{x-2}{\cos^2 x} = \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{x-2}{\cos^2 x} = \frac{\sin x \cos x + x-2}{\cos^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{\sin x \cos x + x-2}{\cos^2 x}$.

17.12. Решите уравнение $f'(x) = 0:$

а) $f(x) = 3\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{3\sqrt{3}}{2}x;$

б) $f(x) = \sqrt{2}(x - 1) + \cos(2x).$

a) Дана функция $f(x) = 3\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{3\sqrt{3}}{2}x$.

Чтобы решить уравнение $f'(x)=0$, сначала найдем производную функции $f(x)$.

Используем правило дифференцирования суммы и производную сложной функции: $(\sin(u))' = \cos(u) \cdot u'$.

$f'(x) = \left(3\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right)' - \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}x\right)'$

$f'(x) = 3\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(x + \frac{\pi}{4}\right)' - \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$f'(x) = 3\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \cdot 1 - \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Теперь приравняем производную к нулю:

$3\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{3\sqrt{3}}{2} = 0$

$3\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение имеет вид:

$x + \frac{\pi}{4} = \pm\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$x + \frac{\pi}{4} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:

$x = -\frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Рассмотрим два случая для знаков $\pm$:

1) С плюсом: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k$.

2) С минусом: $x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi k$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k, \quad x = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $f(x) = \sqrt{2}(x - 1) + \cos 2x$.

Для решения уравнения $f'(x)=0$ найдем производную функции $f(x)$. Раскроем скобки для удобства: $f(x) = \sqrt{2}x - \sqrt{2} + \cos 2x$.

Используем правило дифференцирования суммы и производную сложной функции: $(\cos(u))' = -\sin(u) \cdot u'$.

$f'(x) = (\sqrt{2}x - \sqrt{2})' + (\cos 2x)'$

$f'(x) = \sqrt{2} - \sin(2x) \cdot (2x)'$

$f'(x) = \sqrt{2} - 2\sin 2x$.

Теперь приравняем производную к нулю:

$\sqrt{2} - 2\sin 2x = 0$

$2\sin 2x = \sqrt{2}$

$\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение имеет вид:

$2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$.

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $x$:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

17.13. Решите неравенство $f'(x) > 0$:

а) $f(x) = \cos x + \frac{x}{2};$

б) $f(x) = \sin x - \frac{x}{2}.$

а) Дана функция $f(x) = \cos x + \frac{x}{2}$.

Сначала найдем ее производную: $f'(x) = (\cos x + \frac{x}{2})' = -\sin x + \frac{1}{2}$.

Далее, необходимо решить неравенство $f'(x) > 0$:

$-\sin x + \frac{1}{2} > 0$

Переносим $\sin x$ в правую часть:

$\frac{1}{2} > \sin x$, что то же самое, что и $\sin x < \frac{1}{2}$.

Для решения этого простейшего тригонометрического неравенства, сначала найдем корни уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$. Этими корнями являются $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

На тригонометрической окружности или на графике функции $y=\sin x$ видно, что неравенство $\sin x < \frac{1}{2}$ выполняется для углов, находящихся между $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{13\pi}{6}$ (что равно $\frac{\pi}{6}$ на следующем витке).

Таким образом, общее решение можно записать в виде интервала: $(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$. Для удобства этот интервал часто представляют в виде $(-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi n)$.

Ответ: $x \in (-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $f(x) = \sin x - \frac{x}{2}$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (\sin x - \frac{x}{2})' = \cos x - \frac{1}{2}$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\cos x - \frac{1}{2} > 0$

$\cos x > \frac{1}{2}$

Корнями уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$ являются $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

На тригонометрической окружности или на графике функции $y=\cos x$ видно, что неравенство $\cos x > \frac{1}{2}$ выполняется для углов, заключенных строго между $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$.

Следовательно, общее решение неравенства имеет вид: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

17.14. Найдите область определения производной функции:

a) $f(x) = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos x};$

б) $f(x) = \sqrt{\frac{1}{2} + \sin x}.$

а) Исходная функция: $f(x) = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos x}$.

Область определения производной функции $f'(x)$ — это множество всех значений $x$, в которых функция $f(x)$ дифференцируема. Для нахождения этой области сначала найдем производную функции.

Используем правило дифференцирования сложной функции $( \sqrt{u(x)} )' = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$. В данном случае $u(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos x$.

Находим производную $u'(x)$:$u'(x) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos x\right)' = 0 - (-\sin x) = \sin x$.

Теперь находим производную $f'(x)$:$f'(x) = \frac{\sin x}{2\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos x}}$.

Производная $f'(x)$ определена, когда выражение под корнем в знаменателе строго больше нуля (подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю).

Решим неравенство:$\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos x > 0$$\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Чтобы решить это тригонометрическое неравенство, сначала найдем корни уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На единичной окружности значения косинуса, меньшие $\frac{\sqrt{3}}{2}$, соответствуют углам, лежащим в интервале от $\frac{\pi}{6}$ до $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.

Таким образом, общее решение неравенства имеет вид:$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это и есть искомая область определения производной.

Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{11\pi}{6} + 2\pi k\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходная функция: $f(x) = \sqrt{\frac{1}{2} + \sin x}$.

Аналогично пункту а), найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции. Здесь $u(x) = \frac{1}{2} + \sin x$.

Находим производную $u'(x)$:$u'(x) = \left(\frac{1}{2} + \sin x\right)' = \cos x$.

Находим производную $f'(x)$:$f'(x) = \frac{\cos x}{2\sqrt{\frac{1}{2} + \sin x}}$.

Область определения производной $f'(x)$ находится из условия, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля.

Решим неравенство:$\frac{1}{2} + \sin x > 0$$\sin x > -\frac{1}{2}$

Сначала найдем корни уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$.$x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Это дает две серии решений на одном обороте: $x_1 = -\frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6}$.

На единичной окружности значения синуса, большие $-\frac{1}{2}$, соответствуют углам, лежащим в интервале от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$.

Таким образом, общее решение неравенства имеет вид:$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это и есть искомая область определения производной.

Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

17.15. Вычислите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0 = 0$:

а) $f(x) = \sin \left(x^2 + x + \frac{\pi}{4}\right);$

б) $f(x) = \frac{4}{3} \operatorname{tg}\left(x^3 + x\right).$

а)

Для того чтобы найти значение производной функции $f(x) = \sin(x^2 + x + \frac{\pi}{4})$ в точке $x_0 = 0$, сначала найдем ее производную $f'(x)$.

Это сложная функция, поэтому будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(u) = \sin(u)$, а внутренняя функция $h(x) = x^2 + x + \frac{\pi}{4}$.

Производная внешней функции: $g'(u) = (\sin(u))' = \cos(u)$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (x^2 + x + \frac{\pi}{4})' = 2x + 1$.

Теперь, по цепному правилу, производная исходной функции равна:

$f'(x) = \cos(x^2 + x + \frac{\pi}{4}) \cdot (2x + 1)$.

Далее вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$, подставив $x=0$ в полученное выражение:

$f'(0) = \cos(0^2 + 0 + \frac{\pi}{4}) \cdot (2 \cdot 0 + 1) = \cos(\frac{\pi}{4}) \cdot 1$.

Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, $f'(0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $f'(0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{4}{3}\operatorname{tg}(x^3 + x)$. Требуется найти значение ее производной в точке $x_0 = 0$.

Сначала найдем производную функции $f'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции и правило для производной тангенса $(\operatorname{tg}(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)}$.

Внешняя функция с учетом константы: $g(u) = \frac{4}{3}\operatorname{tg}(u)$, внутренняя функция: $h(x) = x^3 + x$.

Производная внешней функции: $g'(u) = (\frac{4}{3}\operatorname{tg}(u))' = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\cos^2(u)}$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (x^3 + x)' = 3x^2 + 1$.

По цепному правилу:

$f'(x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\cos^2(x^3 + x)} \cdot (3x^2 + 1) = \frac{4(3x^2 + 1)}{3\cos^2(x^3 + x)}$.

Теперь подставим значение $x_0 = 0$ в выражение для производной:

$f'(0) = \frac{4(3 \cdot 0^2 + 1)}{3\cos^2(0^3 + 0)} = \frac{4(0 + 1)}{3\cos^2(0)}$.

Так как $\cos(0) = 1$, то $\cos^2(0) = 1^2 = 1$.

$f'(0) = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $f'(0) = \frac{4}{3}$.