Страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Как вы считаете: физический смысл производной — это мгновенная или средняя скорость? Ответ обоснуйте.

2. Какая связь существует между касательной, проведенной к графику функции через любую точку, и понятием производная?

1. Как вы считаете: физический смысл производной — это мгновенная или средняя скорость? Ответ обоснуйте. Физический смысл производной от функции, описывающей зависимость пути от времени $s(t)$, — это мгновенная скорость. Обоснование заключается в следующем. Средняя скорость на промежутке времени от $t_0$ до $t_0 + \Delta t$ определяется как отношение изменения пути $\Delta s$ к изменению времени $\Delta t$: $v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$. Эта величина описывает скорость в среднем за весь конечный промежуток времени $\Delta t$. Чтобы определить скорость в конкретный момент времени $t_0$, то есть мгновенную скорость, необходимо сделать этот промежуток времени бесконечно малым, то есть найти предел средней скорости при $\Delta t \to 0$. Этот предел по определению является производной функции $s(t)$ в точке $t_0$: $v_{мгн}(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t} = s'(t_0)$. Таким образом, производная пути по времени представляет собой мгновенную скорость. Ответ: Физический смысл производной — это мгновенная скорость.

2. Какая связь существует между касательной, проведенной к графику функции через любую точку, и понятием производная? Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Эта связь является геометрическим смыслом производной. Обоснование следующее. Рассмотрим секущую, проходящую через две точки графика функции $y = f(x)$: $(x_0, f(x_0))$ и $(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$. Ее угловой коэффициент равен отношению приращения функции к приращению аргумента: $k_{сек} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$. Касательная в точке $(x_0, f(x_0))$ является предельным положением этой секущей, когда вторая точка стремится к первой, то есть когда $\Delta x$ стремится к нулю. Следовательно, угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ равен пределу углового коэффициента секущей: $k_{кас} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$. Данное выражение является определением производной функции $f(x)$ в точке $x_0$. Таким образом, $f'(x_0) = k_{кас}$. Ответ: Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

15.1. а) Точка движется по закону $x(t) = 2t^2 + 3$. Найдите скорость движения при $t = 2$ (время измеряется в секундах, координата — в метрах).

б) Точка движется по закону $x(t) = 15t^2 + 6t$. Найдите формулу вычисления скорости в любой момент времени. Вычислите скорость и ускорение при $t = 1$ (время измеряется в секундах, координата — в метрах).

в) Точка движется по закону $x(t) = t^2 + 4t - 1$. Вычислите скорость движения тела через 1 с с начала движения (время измеряется в секундах, координата — в метрах).

а) Скорость движения точки является первой производной от координаты по времени. Закон движения задан уравнением $x(t) = 2t^2 + 3$.

Найдем функцию скорости $v(t)$, взяв производную от функции координаты $x(t)$:

$v(t) = x'(t) = (2t^2 + 3)' = 2 \cdot (t^2)' + (3)' = 2 \cdot 2t + 0 = 4t$.

Теперь вычислим скорость в момент времени $t = 2$ секунды, подставив это значение в полученную формулу:

$v(2) = 4 \cdot 2 = 8$ м/с.

Ответ: 8 м/с.

б) Закон движения точки задан уравнением $x(t) = 15t^2 + 6t$.

1. Формула для вычисления скорости в любой момент времени $t$ находится как первая производная от координаты:

$v(t) = x'(t) = (15t^2 + 6t)' = 15 \cdot (t^2)' + (6t)' = 15 \cdot 2t + 6 \cdot 1 = 30t + 6$.

2. Вычислим скорость при $t = 1$ с:

$v(1) = 30 \cdot 1 + 6 = 36$ м/с.

3. Ускорение является первой производной от скорости по времени (или второй производной от координаты): $a(t) = v'(t)$. Найдем формулу для ускорения:

$a(t) = v'(t) = (30t + 6)' = 30 \cdot (t)' + (6)' = 30$.

Ускорение является постоянной величиной. Таким образом, при $t = 1$ с ускорение равно 30 м/с².

Ответ: формула скорости $v(t) = 30t + 6$, скорость при $t=1$ с равна 36 м/с, ускорение при $t=1$ с равно 30 м/с².

в) Закон движения тела задан уравнением $x(t) = t^2 + 4t - 1$.

Чтобы вычислить скорость движения тела через 1 с с начала движения, нужно найти производную функции $x(t)$ по времени $t$ и подставить в нее значение $t = 1$.

Функция скорости $v(t)$:

$v(t) = x'(t) = (t^2 + 4t - 1)' = (t^2)' + (4t)' - (1)' = 2t + 4 - 0 = 2t + 4$.

Вычислим скорость при $t = 1$ с:

$v(1) = 2 \cdot 1 + 4 = 6$ м/с.

Ответ: 6 м/с.

15.2. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной через точку A, к графику функции $f(x)$:

а) $f(x) = 2x^2 + 2$, $A(0; 2);$

б) $f(x) = 3x^2 - 1$, $A(2; 11);$

в) $f(x) = 4x^2 + 3x$, $A(1; 7).$

а)

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции $ f(x) $ в точке $ x_0 $ равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угол наклона $ \alpha $ — это угол между касательной и положительным направлением оси Ox. Таким образом, $ \tan(\alpha) = f'(x_0) $.

В данном случае дана функция $ f(x) = 2x^2 + 2 $ и точка касания $ A(0; 2) $. Абсцисса точки касания $ x_0 = 0 $.

Сначала найдем производную функции $ f(x) $:

$ f'(x) = (2x^2 + 2)' = 2 \cdot (x^2)' + (2)' = 2 \cdot 2x^{2-1} + 0 = 4x $.

Теперь вычислим значение производной в точке $ x_0 = 0 $:

$ f'(0) = 4 \cdot 0 = 0 $.

Следовательно, тангенс угла наклона касательной в точке A равен 0.

Ответ: 0.

б)

Чтобы найти тангенс угла наклона касательной к графику функции $ f(x) = 3x^2 - 1 $ в точке $ A(2; 11) $, необходимо найти значение производной этой функции в точке $ x_0 = 2 $.

1. Находим производную функции $ f(x) $:

$ f'(x) = (3x^2 - 1)' = 3 \cdot (x^2)' - (1)' = 3 \cdot 2x - 0 = 6x $.

2. Вычисляем значение производной в абсциссе точки A, то есть при $ x_0 = 2 $:

$ f'(2) = 6 \cdot 2 = 12 $.

Таким образом, тангенс угла наклона касательной равен 12.

Ответ: 12.

в)

Тангенс угла наклона касательной к графику функции $ f(x) = 4x^2 + 3x $ в точке $ A(1; 7) $ равен значению производной $ f'(x) $ в точке $ x_0 = 1 $.

1. Находим производную функции $ f(x) $:

$ f'(x) = (4x^2 + 3x)' = 4 \cdot (x^2)' + 3 \cdot (x)' = 4 \cdot 2x + 3 \cdot 1 = 8x + 3 $.

2. Вычисляем значение производной в абсциссе точки A, то есть при $ x_0 = 1 $:

$ f'(1) = 8 \cdot 1 + 3 = 11 $.

Следовательно, искомый тангенс угла наклона равен 11.

Ответ: 11.

15.3. Напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$, в точке с абсциссой $x_0$:

а) $f(x) = 4x^2 - 2$, $x_0 = -1$;

б) $f(x) = 3x^2 + 1$, $x_0 = 1$;

в) $f(x) = 1 - 5x^2$, $x_0 = 1$.

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

а) Дана функция $f(x) = 4x^2 - 2$ и точка $x_0 = -1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-1) = 4(-1)^2 - 2 = 4 \cdot 1 - 2 = 2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (4x^2 - 2)' = 4 \cdot (x^2)' - (2)' = 4 \cdot 2x - 0 = 8x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$, которое равно угловому коэффициенту касательной:

$f'(x_0) = f'(-1) = 8 \cdot (-1) = -8$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = -1$, $f(x_0) = 2$ и $f'(x_0) = -8$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = 2 + (-8)(x - (-1))$

$y = 2 - 8(x + 1)$

$y = 2 - 8x - 8$

$y = -8x - 6$

Ответ: $y = -8x - 6$.

б) Дана функция $f(x) = 3x^2 + 1$ и точка $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(1) = 3(1)^2 + 1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x^2 + 1)' = 3 \cdot (x^2)' + (1)' = 3 \cdot 2x + 0 = 6x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(1) = 6 \cdot 1 = 6$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = 1$, $f(x_0) = 4$ и $f'(x_0) = 6$ в уравнение касательной:

$y = 4 + 6(x - 1)$

$y = 4 + 6x - 6$

$y = 6x - 2$

Ответ: $y = 6x - 2$.

в) Дана функция $f(x) = 1 - 5x^2$ и точка $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(1) = 1 - 5(1)^2 = 1 - 5 \cdot 1 = -4$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (1 - 5x^2)' = (1)' - 5 \cdot (x^2)' = 0 - 5 \cdot 2x = -10x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(1) = -10 \cdot 1 = -10$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = 1$, $f(x_0) = -4$ и $f'(x_0) = -10$ в уравнение касательной:

$y = -4 + (-10)(x - 1)$

$y = -4 - 10(x - 1)$

$y = -4 - 10x + 10$

$y = -10x + 6$

Ответ: $y = -10x + 6$.

15.4. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$, проведенной в точке A:

а) $f(x) = \frac{1}{3}x^2 + 1, A(0; 1);$

б) $f(x) = 3 - x^2, A(-1; 2).$

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

а) Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^2 + 1$ и точка касания $A(0; 1)$. Абсцисса точки касания $x_0 = 0$.

1. Найдём значение функции в точке $x_0=0$:

$f(x_0) = f(0) = \frac{1}{3}(0)^2 + 1 = 1$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^2 + 1)' = \frac{1}{3} \cdot 2x^{2-1} + 0 = \frac{2}{3}x$.

3. Найдём значение производной в точке $x_0=0$, которое является угловым коэффициентом касательной:

$f'(x_0) = f'(0) = \frac{2}{3} \cdot 0 = 0$.

4. Подставим найденные значения $x_0=0$, $f(x_0)=1$ и $f'(x_0)=0$ в общее уравнение касательной:

$y = 1 + 0 \cdot (x - 0)$

$y = 1$.

Ответ: $y=1$.

б) Дана функция $f(x) = 3 - x^2$ и точка касания $A(-1; 2)$. Абсцисса точки касания $x_0 = -1$.

1. Найдём значение функции в точке $x_0=-1$:

$f(x_0) = f(-1) = 3 - (-1)^2 = 3 - 1 = 2$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3 - x^2)' = 0 - 2x = -2x$.

3. Найдём значение производной в точке $x_0=-1$:

$f'(x_0) = f'(-1) = -2 \cdot (-1) = 2$.

4. Подставим найденные значения $x_0=-1$, $f(x_0)=2$ и $f'(x_0)=2$ в общее уравнение касательной:

$y = 2 + 2 \cdot (x - (-1))$

$y = 2 + 2(x + 1)$

$y = 2 + 2x + 2$

$y = 2x + 4$.

Ответ: $y=2x+4$.

15.5. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

а) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 5, x_0 = -1;$

б) $f(x) = -\frac{1}{8}x^4 + 3, x_0 = 1.$

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

а) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 5$, $x_0 = -1$

Для того чтобы написать уравнение касательной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке $x_0$.

$f(x_0) = f(-1) = \frac{1}{4}(-1)^4 - 5 = \frac{1}{4} \cdot 1 - 5 = \frac{1}{4} - \frac{20}{4} = -\frac{19}{4}$.

2. Найти производную функции $f'(x)$.

$f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 - 5)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} - 0 = x^3$.

3. Найти значение производной в точке $x_0$. Это значение является угловым коэффициентом касательной.

$f'(x_0) = f'(-1) = (-1)^3 = -1$.

4. Подставить найденные значения $f(x_0)$, $f'(x_0)$ и $x_0$ в общую формулу уравнения касательной.

$y = -\frac{19}{4} + (-1)(x - (-1))$

$y = -\frac{19}{4} - (x + 1)$

$y = -\frac{19}{4} - x - 1$

$y = -x - \frac{19}{4} - \frac{4}{4}$

$y = -x - \frac{23}{4}$.

Ответ: $y = -x - \frac{23}{4}$.

б) $f(x) = -\frac{1}{8}x^4 + 3$, $x_0 = 1$

Аналогично, выполним те же шаги:

1. Найти значение функции в точке $x_0$.

$f(x_0) = f(1) = -\frac{1}{8}(1)^4 + 3 = -\frac{1}{8} + 3 = -\frac{1}{8} + \frac{24}{8} = \frac{23}{8}$.

2. Найти производную функции $f'(x)$.

$f'(x) = (-\frac{1}{8}x^4 + 3)' = -\frac{1}{8} \cdot 4x^{4-1} + 0 = -\frac{4}{8}x^3 = -\frac{1}{2}x^3$.

3. Найти значение производной в точке $x_0$.

$f'(x_0) = f'(1) = -\frac{1}{2}(1)^3 = -\frac{1}{2}$.

4. Подставить найденные значения в уравнение касательной.

$y = \frac{23}{8} + (-\frac{1}{2})(x - 1)$

$y = \frac{23}{8} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{23}{8} + \frac{4}{8}$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{27}{8}$.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{27}{8}$.