Страница 88 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.2. Решите уравнение $f''(x) = 0$:

а) $f(x) = 4x^2 + 2x;$

б) $f(x) = 3x^2 - 4x;$

в) $f(x) = x^2 + x - 1;$

г) $f(x) = -0,5x^2 - 4x + 0,1.$

а) Для функции $f(x) = 4x^2 + 2x$ сначала найдем ее производную. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ и правило для суммы функций, получаем:

$f'(x) = (4x^2 + 2x)' = (4x^2)' + (2x)' = 4 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} = 8x + 2$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$8x + 2 = 0$

$8x = -2$

$x = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $x = -\frac{1}{4}$.

б) Для функции $f(x) = 3x^2 - 4x$ найдем ее производную:

$f'(x) = (3x^2 - 4x)' = (3x^2)' - (4x)' = 3 \cdot 2x - 4 = 6x - 4$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$6x - 4 = 0$

$6x = 4$

$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $x = \frac{2}{3}$.

в) Для функции $f(x) = x^2 + x - 1$ найдем ее производную. Производная константы равна нулю.

$f'(x) = (x^2 + x - 1)' = (x^2)' + (x)' - (1)' = 2x + 1 - 0 = 2x + 1$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$2x + 1 = 0$

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

г) Для функции $f(x) = -0,5x^2 - 4x + 0,1$ найдем ее производную:

$f'(x) = (-0,5x^2 - 4x + 0,1)' = (-0,5x^2)' - (4x)' + (0,1)' = -0,5 \cdot 2x - 4 + 0 = -x - 4$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$-x - 4 = 0$

$-x = 4$

$x = -4$.

Ответ: $x = -4$.

14.3. Вычислите производную функции $f(x)$ и ее значения в точке $x_0$:

a) $f(x) = x^2(x - 1)$, $x_0 = -1;$

б) $f(x) = \frac{2x + 1}{x}$, $x_0 = -1;$

в) $f(x) = 3x(x + 1)$, $x_0 = -\frac{2}{3};$

г) $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$, $x_0 = 1.$

а) Дана функция $f(x) = x^2(x - 1)$ и точка $x_0 = -1$.Сначала упростим выражение для функции, раскрыв скобки: $f(x) = x^3 - x^2$.Далее найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования разности:$f'(x) = (x^3 - x^2)' = (x^3)' - (x^2)' = 3x^2 - 2x$.Теперь вычислим значение производной в заданной точке $x_0 = -1$:$f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) = 3 \cdot 1 + 2 = 5$.

Ответ: $f'(x) = 3x^2 - 2x$; $f'(-1) = 5$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{2x+1}{x}$ и точка $x_0 = -1$.Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.Пусть $u(x) = 2x+1$ и $v(x) = x$. Тогда их производные: $u'(x) = 2$ и $v'(x) = 1$.Подставим в формулу:$f'(x) = \frac{2 \cdot x - (2x+1) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x - 2x - 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}$.Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:$f'(-1) = -\frac{1}{(-1)^2} = -\frac{1}{1} = -1$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$; $f'(-1) = -1$.

в) Дана функция $f(x) = 3x(x+1)$ и точка $x_0 = -\frac{2}{3}$.Сначала упростим выражение для функции: $f(x) = 3x^2 + 3x$.Найдем производную функции, используя правила дифференцирования:$f'(x) = (3x^2 + 3x)' = (3x^2)' + (3x)' = 6x + 3$.Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{2}{3}$:$f'(-\frac{2}{3}) = 6 \cdot (-\frac{2}{3}) + 3 = - \frac{12}{3} + 3 = -4 + 3 = -1$.

Ответ: $f'(x) = 6x + 3$; $f'(-\frac{2}{3}) = -1$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$ и точка $x_0 = 1$.Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.Пусть $u(x) = x+1$ и $v(x) = x-2$. Тогда их производные: $u'(x) = 1$ и $v'(x) = 1$.Подставим в формулу:$f'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x - 2 - x - 1}{(x-2)^2} = -\frac{3}{(x-2)^2}$.Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:$f'(1) = -\frac{3}{(1-2)^2} = -\frac{3}{(-1)^2} = -\frac{3}{1} = -3$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{3}{(x-2)^2}$; $f'(1) = -3$.

14.4. Решите неравенство $f'(x) > 0$:

a) $f(x) = 18x^2 - 7x + 1;$

б) $f(x) = \frac{x^2}{2} - 5x + 2;$

в) $f(x) = 1 + 3x - x^2;$

г) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{6}{7}.$

а)

Дана функция $f(x) = 18x^2 - 7x + 1$. Для решения неравенства $f'(x) > 0$ необходимо сначала найти производную данной функции.

Используя правила дифференцирования, в частности производную степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю, получаем:

$f'(x) = (18x^2 - 7x + 1)' = 18 \cdot (x^2)' - 7 \cdot (x)' + (1)' = 18 \cdot 2x - 7 \cdot 1 + 0 = 36x - 7$.

Теперь составим и решим неравенство $f'(x) > 0$:

$36x - 7 > 0$

Перенесем свободный член в правую часть неравенства:

$36x > 7$

Разделим обе части неравенства на положительное число 36:

$x > \frac{7}{36}$

Решением неравенства является числовой промежуток $(\frac{7}{36}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{7}{36}; +\infty)$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{x^2}{2} - 5x + 2$. Найдем ее производную.

$f'(x) = (\frac{1}{2}x^2 - 5x + 2)' = \frac{1}{2} \cdot (x^2)' - (5x)' + (2)' = \frac{1}{2} \cdot 2x - 5 + 0 = x - 5$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$x - 5 > 0$

Перенесем $-5$ в правую часть:

$x > 5$

Решением неравенства является числовой промежуток $(5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

в)

Дана функция $f(x) = 1 + 3x - x^2$. Найдем ее производную.

$f'(x) = (1 + 3x - x^2)' = (1)' + (3x)' - (x^2)' = 0 + 3 - 2x = 3 - 2x$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$3 - 2x > 0$

Перенесем член с переменной в правую часть (или свободный член в правую и потом разделим на -2):

$-2x > -3$

Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-3}{-2}$

$x < \frac{3}{2}$

Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; \frac{3}{2})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{3}{2})$.

г)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{6}{7}$. Найдем ее производную.

$f'(x) = (\frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{6}{7})' = \frac{1}{2} \cdot (x^2)' - (2x)' + (\frac{6}{7})' = \frac{1}{2} \cdot 2x - 2 + 0 = x - 2$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$x - 2 > 0$

Перенесем $-2$ в правую часть:

$x > 2$

Решением неравенства является числовой промежуток $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

14.5. Найдите производную функции:

a) $f(x) = (x + 5)(x - 4)$;

б) $f(x) = \sqrt{2} x^2 - (3x - 2)(5x + 1)$;

в) $f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1}$;

г) $f(x) = \frac{3x - x^2}{x + 2}$.

а) $f(x) = (x + 5)(x - 4)$

Для нахождения производной этой функции можно сначала раскрыть скобки, а затем продифференцировать полученный многочлен.

$f(x) = x \cdot x - 4 \cdot x + 5 \cdot x - 5 \cdot 4 = x^2 + x - 20$.

Теперь найдем производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы:

$f'(x) = (x^2 + x - 20)' = (x^2)' + (x)' - (20)' = 2x + 1 - 0 = 2x + 1$.

Ответ: $f'(x) = 2x + 1$.

б) $f(x) = \sqrt{2} x^2 - (3x - 2)(5x + 1)$

Упростим функцию, раскрыв скобки в произведении:

$(3x - 2)(5x + 1) = 3x \cdot 5x + 3x \cdot 1 - 2 \cdot 5x - 2 \cdot 1 = 15x^2 + 3x - 10x - 2 = 15x^2 - 7x - 2$.

Подставим результат в исходную функцию:

$f(x) = \sqrt{2} x^2 - (15x^2 - 7x - 2) = \sqrt{2} x^2 - 15x^2 + 7x + 2 = (\sqrt{2} - 15)x^2 + 7x + 2$.

Найдем производную полученной функции, используя правила дифференцирования:

$f'(x) = ((\sqrt{2} - 15)x^2 + 7x + 2)' = (\sqrt{2} - 15) \cdot (x^2)' + (7x)' + (2)' = (\sqrt{2} - 15) \cdot 2x + 7 + 0 = (2\sqrt{2} - 30)x + 7$.

Ответ: $f'(x) = (2\sqrt{2} - 30)x + 7$.

в) $f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1}$

Для нахождения производной частного двух функций используем формулу $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае, $u(x) = x^2 + 2x$ и $v(x) = x - 1$.

Найдем производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (x^2 + 2x)' = 2x + 2$.

$v'(x) = (x - 1)' = 1$.

Подставляем найденные производные в формулу:

$f'(x) = \frac{(2x + 2)(x - 1) - (x^2 + 2x) \cdot 1}{(x - 1)^2}$.

Упростим выражение в числителе:

$(2x + 2)(x - 1) - (x^2 + 2x) = (2x^2 - 2x + 2x - 2) - x^2 - 2x = 2x^2 - 2 - x^2 - 2x = x^2 - 2x - 2$.

Следовательно, производная функции равна:

$f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 2}{(x - 1)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 2}{(x - 1)^2}$.

г) $f(x) = \frac{3x - x^2}{x + 2}$

Применим формулу для производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = 3x - x^2$ и $v(x) = x + 2$.

Находим производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (3x - x^2)' = 3 - 2x$.

$v'(x) = (x + 2)' = 1$.

Подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(3 - 2x)(x + 2) - (3x - x^2) \cdot 1}{(x + 2)^2}$.

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(3 - 2x)(x + 2) - (3x - x^2) = (3x + 6 - 2x^2 - 4x) - 3x + x^2 = -2x^2 - x + 6 - 3x + x^2 = -x^2 - 4x + 6$.

Таким образом, производная функции:

$f'(x) = \frac{-x^2 - 4x + 6}{(x + 2)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{-x^2 - 4x + 6}{(x + 2)^2}$.

14.6. Найдите производную функции:

a) $f(x)=\frac{x^2 - 2x}{3 + x^2};$

б) $f(x)=\frac{16 - x^4}{x^2 - 4}.$

в) $f(x)=\frac{3x^3 - 1}{x^3};$

г) $f(x)=\frac{x^2}{x^4 + 1}$.$

а) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x^2 - 2x}{3 + x^2}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (формулой производной дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = x^2 - 2x$ и $v(x) = 3 + x^2$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (x^2 - 2x)' = 2x - 2$

$v'(x) = (3 + x^2)' = 2x$

Подставим эти значения в формулу производной дроби:

$f'(x) = \frac{(2x - 2)(3 + x^2) - (x^2 - 2x)(2x)}{(3 + x^2)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$f'(x) = \frac{6x + 2x^3 - 6 - 2x^2 - (2x^3 - 4x^2)}{(3 + x^2)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$f'(x) = \frac{6x + 2x^3 - 6 - 2x^2 - 2x^3 + 4x^2}{(3 + x^2)^2} = \frac{2x^2 + 6x - 6}{(3 + x^2)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{2x^2 + 6x - 6}{(3 + x^2)^2}$.

б) Для функции $f(x) = \frac{16 - x^4}{x^2 - 4}$ сначала упростим выражение. Заметим, что область определения функции: $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 2$.

Разложим числитель на множители как разность квадратов: $16 - x^4 = (4 - x^2)(4 + x^2)$.

Знаменатель можно записать как $x^2 - 4 = -(4 - x^2)$.

Тогда функция примет вид:

$f(x) = \frac{(4 - x^2)(4 + x^2)}{-(4 - x^2)}$

Сократим дробь на $(4 - x^2)$:

$f(x) = -(4 + x^2) = -4 - x^2$

Теперь найдем производную от упрощенной функции:

$f'(x) = (-4 - x^2)' = -2x$

Ответ: $f'(x) = -2x$.

в) Для функции $f(x) = \frac{3x^3 - 1}{x^3}$ сначала упростим выражение, разделив числитель почленно на знаменатель (при $x \neq 0$):

$f(x) = \frac{3x^3}{x^3} - \frac{1}{x^3} = 3 - x^{-3}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$f'(x) = (3 - x^{-3})' = (3)' - (x^{-3})' = 0 - (-3)x^{-3-1} = 3x^{-4} = \frac{3}{x^4}$

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{x^4}$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x^2}{x^4 + 1}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = x^2$ и $v(x) = x^4 + 1$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$

$v'(x) = (x^4 + 1)' = 4x^3$

Подставим в формулу:

$f'(x) = \frac{(2x)(x^4 + 1) - (x^2)(4x^3)}{(x^4 + 1)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$f'(x) = \frac{2x^5 + 2x - 4x^5}{(x^4 + 1)^2} = \frac{2x - 2x^5}{(x^4 + 1)^2}$

Можно вынести общий множитель $2x$ в числителе для более компактного вида:

$f'(x) = \frac{2x(1 - x^4)}{(x^4 + 1)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{2x(1 - x^4)}{(x^4 + 1)^2}$.

14.7. Найдите производную функции $f(x)$ и вычислите ее значение в точке $x_0$:

a) $f(x) = 4x^4 - 5x^2, x_0 = 2$;

б) $f(x) = 2x^5 - 3x^3 + 1, x_0 = -2$.

а)

Дана функция $f(x) = 4x^4 - 5x^2$ и точка $x_0 = 2$.

1. Находим производную функции. Для этого используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правила дифференцирования разности и произведения функции на константу.

$f'(x) = (4x^4 - 5x^2)' = (4x^4)' - (5x^2)' = 4 \cdot (x^4)' - 5 \cdot (x^2)'$

$f'(x) = 4 \cdot 4x^{4-1} - 5 \cdot 2x^{2-1} = 16x^3 - 10x$

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 2$, подставляя $x=2$ в полученное выражение для $f'(x)$.

$f'(2) = 16 \cdot (2)^3 - 10 \cdot 2 = 16 \cdot 8 - 20 = 128 - 20 = 108$

Ответ: $f'(x) = 16x^3 - 10x$, $f'(2) = 108$.

б)

Дана функция $f(x) = 2x^5 - 3x^3 + 1$ и точка $x_0 = -2$.

1. Находим производную функции, используя те же правила, а также то, что производная константы равна нулю ($(C)'=0$).

$f'(x) = (2x^5 - 3x^3 + 1)' = (2x^5)' - (3x^3)' + (1)'$

$f'(x) = 2 \cdot 5x^{5-1} - 3 \cdot 3x^{3-1} + 0 = 10x^4 - 9x^2$

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -2$, подставляя $x=-2$ в выражение для $f'(x)$.

$f'(-2) = 10 \cdot (-2)^4 - 9 \cdot (-2)^2 = 10 \cdot 16 - 9 \cdot 4 = 160 - 36 = 124$

Ответ: $f'(x) = 10x^4 - 9x^2$, $f'(-2) = 124$.

14.8. Вычислите $f'(-1)$, если:

а) $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$;

б) $f(x) = \frac{x}{2x - 1}$;

в) $f(x) = \frac{3}{2x + 2}$;

г) $f(x) = \frac{x + 4}{2x - 1}$.

а)

Дана функция $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$. Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 2x - 1$ и $v(x) = x + 1$. Их производные равны $u'(x) = 2$ и $v'(x) = 1$.

Подставим эти значения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{2(x + 1) - (2x - 1) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2}$.

Теперь нужно вычислить значение $f'(-1)$. Однако, область определения исходной функции $f(x)$ — это все действительные числа, кроме $x = -1$. Так как функция не определена в точке $x = -1$, она не является непрерывной в этой точке и, следовательно, недифференцируема. Производная $f'(-1)$ не существует.

Ответ: производная в точке $x = -1$ не существует.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{x}{2x - 1}$. Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = 2x - 1$. Их производные равны $u'(x) = 1$ и $v'(x) = 2$.

Подставим эти значения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{1 \cdot (2x - 1) - x \cdot 2}{(2x - 1)^2} = \frac{2x - 1 - 2x}{(2x - 1)^2} = \frac{-1}{(2x - 1)^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x = -1$:

$f'(-1) = \frac{-1}{(2(-1) - 1)^2} = \frac{-1}{(-2 - 1)^2} = \frac{-1}{(-3)^2} = -\frac{1}{9}$.

Ответ: $-\frac{1}{9}$.

в)

Дана функция $f(x) = \frac{3}{2x + 2}$. Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 3$ и $v(x) = 2x + 2$. Их производные равны $u'(x) = 0$ и $v'(x) = 2$.

Подставим эти значения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{0 \cdot (2x + 2) - 3 \cdot 2}{(2x + 2)^2} = \frac{-6}{(2x + 2)^2}$.

Теперь нужно вычислить значение $f'(-1)$. Область определения исходной функции $f(x)$ — это все действительные числа, кроме $x = -1$, так как при $x = -1$ знаменатель $2x+2$ обращается в ноль. Поскольку функция не определена в точке $x = -1$, она не может быть дифференцируема в этой точке. Производная $f'(-1)$ не существует.

Ответ: производная в точке $x = -1$ не существует.

г)

Дана функция $f(x) = \frac{x + 4}{2x - 1}$. Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x + 4$ и $v(x) = 2x - 1$. Их производные равны $u'(x) = 1$ и $v'(x) = 2$.

Подставим эти значения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{1 \cdot (2x - 1) - (x + 4) \cdot 2}{(2x - 1)^2} = \frac{2x - 1 - 2x - 8}{(2x - 1)^2} = \frac{-9}{(2x - 1)^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x = -1$:

$f'(-1) = \frac{-9}{(2(-1) - 1)^2} = \frac{-9}{(-2 - 1)^2} = \frac{-9}{(-3)^2} = \frac{-9}{9} = -1$.

Ответ: $-1$.

14.9. Решите уравнение $f'(x)=0$:

а) $f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$;

б) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 1$.

а) Дана функция $f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.

Чтобы решить уравнение $f'(x) = 0$, сначала необходимо найти производную функции $f(x)$. Используем правила дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и суммы функций.

$f'(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1)' = (x^3)' + (3x^2)' + (3x)' + (1)' = 3x^2 + 3 \cdot 2x + 3 \cdot 1 + 0 = 3x^2 + 6x + 3$.

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$3x^2 + 6x + 3 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 3:

$x^2 + 2x + 1 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x+1)^2 = 0$

Из этого уравнения следует, что $x+1=0$.

$x = -1$

Ответ: $x = -1$.

б) Дана функция $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 12x - 1)' = (x^3)' - (6x^2)' + (12x)' - (1)' = 3x^2 - 6 \cdot 2x + 12 \cdot 1 - 0 = 3x^2 - 12x + 12$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 12x + 12 = 0$

Разделим все члены уравнения на 3:

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x-2)^2 = 0$

Из этого уравнения следует, что $x-2=0$.

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

14.10. Решите неравенство $f''(x) > 0$:

а) $f(x) = 12x^3 + 18x^2 - 7$;

б) $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x$.

а) Чтобы решить неравенство $f'(x) > 0$, сначала найдем производную функции $f(x) = 12x^3 + 18x^2 - 7$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = (12x^3 + 18x^2 - 7)' = 12 \cdot 3x^2 + 18 \cdot 2x - 0 = 36x^2 + 36x$.

Теперь решим неравенство:

$36x^2 + 36x > 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $36x^2 + 36x = 0$.

Вынесем общий множитель $36x$ за скобки:

$36x(x + 1) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = 36x^2 + 36x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($36 > 0$). Следовательно, значения функции положительны на интервалах, находящихся вне корней.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < -1$ и $x > 0$.

Запишем решение в виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

б) Найдем производную функции $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x$.

$f'(x) = (-\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x)' = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x + 3 = -x^2 + 2x + 3$.

Теперь решим неравенство:

$-x^2 + 2x + 3 > 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $-x^2 + 2x + 3 = 0$.

Умножим обе части на $-1$, чтобы упростить решение:

$x^2 - 2x - 3 = 0$.

Используем теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$ и $x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$.

Графиком функции $y = -x^2 + 2x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1 < 0$). Следовательно, значения функции положительны на интервале между корнями.

Таким образом, неравенство выполняется при $-1 < x < 3$.

Запишем решение в виде интервала: $x \in (-1; 3)$.

Ответ: $x \in (-1; 3)$.