Страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Какая связь существует между приращениями аргумента и функции? Ответ обоснуйте.

2. В чем различие между понятиями функция дифференцируема в точке и дифференцируема на отрезке?

3. Как можно объяснить связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке?

1. Какая связь существует между приращениями аргумента и функции? Ответ обоснуйте.

Связь между приращением аргумента и приращением функции является центральным понятием дифференциального исчисления.

Пусть дана функция $y = f(x)$. Приращением аргумента в точке $x_0$ называется разность $\Delta x = x - x_0$, где $x$ — новое значение аргумента. Соответствующее изменение значения функции называется приращением функции и обозначается $\Delta y$ или $\Delta f(x_0)$:

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Приращение функции $\Delta y$ зависит как от начальной точки $x_0$, так и от приращения аргумента $\Delta x$.

Ключевая связь проявляется для дифференцируемых функций. Функция $f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x_0$, если ее приращение $\Delta y$ можно представить в виде:

$\Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x)$

где $A$ — это некоторое число, не зависящее от $\Delta x$, а $o(\Delta x)$ — бесконечно малая величина более высокого порядка по сравнению с $\Delta x$ (то есть $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} = 0$).

Число $A$ называется производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ и обозначается $f'(x_0)$. Таким образом, формула связи принимает вид:

$\Delta y = f'(x_0) \Delta x + o(\Delta x)$

Эта формула означает, что при малых приращениях аргумента ($\Delta x \to 0$), приращение функции $\Delta y$ ведет себя почти как линейная функция от $\Delta x$. Главную линейную часть приращения функции, $f'(x_0) \Delta x$, называют дифференциалом функции.

Таким образом, для малых $\Delta x$ справедлива приближенная формула:

$\Delta y \approx f'(x_0) \Delta x$

Производная $f'(x_0)$ выступает в роли коэффициента пропорциональности, который связывает (в первом приближении) малое приращение функции с малым приращением аргумента. Геометрически это означает, что график функции в малой окрестности точки $(x_0, f(x_0))$ можно аппроксимировать отрезком касательной.

Ответ: Для дифференцируемой функции связь между приращением функции $\Delta y$ и приращением аргумента $\Delta x$ при малых $\Delta x$ является приближенно линейной: $\Delta y \approx f'(x_0) \Delta x$. Точная связь выражается формулой $\Delta y = f'(x_0) \Delta x + o(\Delta x)$, где производная $f'(x_0)$ является коэффициентом в главной линейной части приращения функции.

2. В чем различие между понятиями функция дифференцируема в точке и дифференцируема на отрезке?

Различие заключается в том, что "дифференцируемость в точке" — это локальное свойство функции, а "дифференцируемость на отрезке" — глобальное, описывающее поведение функции на целом множестве точек.

Дифференцируемость в точке:

Функция $y = f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x_0$, если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Этот предел называется производной функции в точке $x_0$:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Это условие касается поведения функции лишь в бесконечно малой окрестности одной-единственной точки $x_0$.

Дифференцируемость на отрезке:

Функция $y = f(x)$ называется дифференцируемой на отрезке $[a, b]$, если выполняются три условия:

1. Функция дифференцируема в каждой точке открытого интервала $(a, b)$. Это означает, что для любой точки $x_0 \in (a, b)$ существует конечная производная $f'(x_0)$.

2. В левой граничной точке отрезка, точке $a$, существует конечная правосторонняя производная:$f'_+(a) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$

3. В правой граничной точке отрезка, точке $b$, существует конечная левосторонняя производная:$f'_-(b) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(b + \Delta x) - f(b)}{\Delta x}$

Таким образом, дифференцируемость на отрезке — это гораздо более сильное требование. Оно предполагает дифференцируемость в бесконечном множестве внутренних точек и, кроме того, наличие односторонних производных на границах отрезка.

Ответ: Дифференцируемость в точке — это локальное свойство, означающее существование производной в одной конкретной точке. Дифференцируемость на отрезке — это глобальное свойство, которое требует, чтобы функция была дифференцируема в каждой внутренней точке отрезка и имела конечные односторонние производные на его концах.

3. Как можно объяснить связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке?

Связь между этими двумя понятиями выражается фундаментальной теоремой анализа: если функция дифференцируема в некоторой точке, то она обязательно непрерывна в этой точке.

Объяснение (доказательство):

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$. Это означает, что существует конечный предел $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Нам нужно доказать, что функция непрерывна в точке $x_0$. По определению, непрерывность в точке $x_0$ означает, что $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, что эквивалентно условию $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$.

Рассмотрим приращение функции $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$. Для $\Delta x \neq 0$ мы можем записать тождество:

$\Delta y = \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x$

Теперь найдем предел этого выражения при $\Delta x \to 0$:

$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x \right)$

Используя свойство предела произведения, получаем:

$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \left( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \right) \cdot \left( \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x \right)$

Первый множитель по условию равен производной $f'(x_0)$, а второй очевидно равен 0. Следовательно:

$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = f'(x_0) \cdot 0 = 0$

Мы доказали, что приращение функции стремится к нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю, а это и есть определение непрерывности функции в точке $x_0$.

Геометрическая интерпретация:

Дифференцируемость функции в точке означает, что ее график в этой точке "гладкий" и имеет единственную невертикальную касательную. Непрерывность означает, что график в этой точке не имеет разрывов ( "его можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги"). Очевидно, что для того, чтобы у графика была касательная, он должен быть "целым", то есть непрерывным. Невозможно провести касательную в точке разрыва.

Обратное утверждение неверно: не всякая непрерывная функция является дифференцируемой. Классический пример — функция $f(x) = |x|$ в точке $x_0 = 0$. Ее график непрерывен (нет разрывов), но в точке $x=0$ он имеет "излом" (острый угол). Из-за этого излома невозможно провести единственную касательную. Математически это выражается в том, что левосторонняя производная в этой точке равна -1, а правосторонняя равна +1. Так как они не равны, производная в точке 0 не существует.

Ответ: Связь такова, что дифференцируемость является более сильным свойством, чем непрерывность. Любая дифференцируемая в точке функция является в этой точке и непрерывной. Однако обратное неверно: функция может быть непрерывной в точке, но не иметь в ней производной (например, из-за "излома" на графике).

13.1. Найдите приращение функции $f(x)$ в точке $x_0$:

a) $f(x) = 1 + 2x, x_0 = 4, \Delta x = 0,01;$

б) $f(x) = -5x + 1,6, x_0 = -5, \Delta x = -0,1;$

в) $f(x) = 3x^2 - 1, x_0 = 2, \Delta x = 0,1;$

г) $f(x) = 0,5x^2, x_0 = -3, \Delta x = -0,3.$

а) Приращение функции $Δf$ в точке $x_0$ вычисляется по формуле $Δf = f(x_0 + Δx) - f(x_0)$.

Дано: $f(x) = 1 + 2x$, $x_0 = 4$, $Δx = 0,01$.

Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(4) = 1 + 2 \cdot 4 = 1 + 8 = 9$.

Найдем новое значение аргумента: $x_0 + Δx = 4 + 0,01 = 4,01$.

Найдем значение функции в новой точке:

$f(x_0 + Δx) = f(4,01) = 1 + 2 \cdot 4,01 = 1 + 8,02 = 9,02$.

Вычислим приращение функции:

$Δf = f(x_0 + Δx) - f(x_0) = 9,02 - 9 = 0,02$.

Ответ: $0,02$.

б) Дано: $f(x) = -5x + 1,6$, $x_0 = -5$, $Δx = -0,1$.

Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-5) = -5 \cdot (-5) + 1,6 = 25 + 1,6 = 26,6$.

Найдем новое значение аргумента: $x_0 + Δx = -5 + (-0,1) = -5,1$.

Найдем значение функции в новой точке:

$f(x_0 + Δx) = f(-5,1) = -5 \cdot (-5,1) + 1,6 = 25,5 + 1,6 = 27,1$.

Вычислим приращение функции:

$Δf = f(x_0 + Δx) - f(x_0) = 27,1 - 26,6 = 0,5$.

Ответ: $0,5$.

в) Дано: $f(x) = 3x^2 - 1$, $x_0 = 2$, $Δx = 0,1$.

Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(2) = 3 \cdot 2^2 - 1 = 3 \cdot 4 - 1 = 12 - 1 = 11$.

Найдем новое значение аргумента: $x_0 + Δx = 2 + 0,1 = 2,1$.

Найдем значение функции в новой точке:

$f(x_0 + Δx) = f(2,1) = 3 \cdot (2,1)^2 - 1 = 3 \cdot 4,41 - 1 = 13,23 - 1 = 12,23$.

Вычислим приращение функции:

$Δf = f(x_0 + Δx) - f(x_0) = 12,23 - 11 = 1,23$.

Ответ: $1,23$.

г) Дано: $f(x) = 0,5x^2$, $x_0 = -3$, $Δx = -0,3$.

Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-3) = 0,5 \cdot (-3)^2 = 0,5 \cdot 9 = 4,5$.

Найдем новое значение аргумента: $x_0 + Δx = -3 + (-0,3) = -3,3$.

Найдем значение функции в новой точке:

$f(x_0 + Δx) = f(-3,3) = 0,5 \cdot (-3,3)^2 = 0,5 \cdot 10,89 = 5,445$.

Вычислим приращение функции:

$Δf = f(x_0 + Δx) - f(x_0) = 5,445 - 4,5 = 0,945$.

Ответ: $0,945$.

13.2. а) Длины сторон прямоугольника равны 5 см и 12 см. Чему будут равны приращения периметра и площади прямоугольника, если его ширину увеличить на 0,8 см, а длину — на 0,6 см?

б) Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Чему будет равно приращение площади, если катеты, соответственно, увеличить на 0,4 см и 0,2 см?

а)

Обозначим начальные стороны прямоугольника (ширину и длину) как $a_0$ и $b_0$. По условию, $a_0 = 5$ см и $b_0 = 12$ см.

Ширину увеличили на $\Delta a = 0,8$ см, а длину — на $\Delta b = 0,6$ см. Новые размеры сторон:

$a_1 = a_0 + \Delta a = 5 + 0,8 = 5,8$ см.

$b_1 = b_0 + \Delta b = 12 + 0,6 = 12,6$ см.

Найдем приращение периметра ($\Delta P$).

Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a + b)$.

Начальный периметр: $P_0 = 2(a_0 + b_0) = 2(5 + 12) = 2 \cdot 17 = 34$ см.

Новый периметр: $P_1 = 2(a_1 + b_1) = 2(5,8 + 12,6) = 2 \cdot 18,4 = 36,8$ см.

Приращение периметра равно разности между новым и начальным значением:

$\Delta P = P_1 - P_0 = 36,8 - 34 = 2,8$ см.

Найдем приращение площади ($\Delta S$).

Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$.

Начальная площадь: $S_0 = a_0 \cdot b_0 = 5 \cdot 12 = 60$ см$^2$.

Новая площадь: $S_1 = a_1 \cdot b_1 = 5,8 \cdot 12,6 = 73,08$ см$^2$.

Приращение площади равно разности между новой и начальной площадью:

$\Delta S = S_1 - S_0 = 73,08 - 60 = 13,08$ см$^2$.

Ответ: приращение периметра равно 2,8 см, приращение площади равно 13,08 см$^2$.

б)

Обозначим начальные катеты прямоугольного треугольника как $a_0$ и $b_0$. По условию, $a_0 = 3$ см и $b_0 = 4$ см.

Катеты увеличили на $\Delta a = 0,4$ см и $\Delta b = 0,2$ см соответственно. Новые длины катетов:

$a_1 = a_0 + \Delta a = 3 + 0,4 = 3,4$ см.

$b_1 = b_0 + \Delta b = 4 + 0,2 = 4,2$ см.

Найдем приращение площади ($\Delta S$).

Формула площади прямоугольного треугольника: $S = \frac{1}{2} a \cdot b$.

Начальная площадь: $S_0 = \frac{1}{2} a_0 \cdot b_0 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ см$^2$.

Новая площадь: $S_1 = \frac{1}{2} a_1 \cdot b_1 = \frac{1}{2} \cdot 3,4 \cdot 4,2 = \frac{1}{2} \cdot 14,28 = 7,14$ см$^2$.

Приращение площади равно разности между новой и начальной площадью:

$\Delta S = S_1 - S_0 = 7,14 - 6 = 1,14$ см$^2$.

Ответ: приращение площади равно 1,14 см$^2$.

13.3. Найдите $\Delta x$ и $\Delta f$ в точке $x_0$:

a) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{4}; x = \frac{\pi}{3};$

б) $f(x) = \operatorname{tg} x, x_0 = \frac{\pi}{6}; x = \frac{\pi}{4}.$

а) Дано: $f(x) = \cos x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{3}$.

Приращение аргумента $\Delta x$ вычисляется как разность между новым ($x$) и начальным ($x_0$) значением аргумента:

$\Delta x = x - x_0 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$\Delta x = \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$.

Приращение функции $\Delta f$ вычисляется как разность значений функции в точках $x$ и $x_0$:

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = \cos(x) - \cos(x_0) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

Подставляем известные значения косинусов: $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\Delta f = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\Delta x = \frac{\pi}{12}$; $\Delta f = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$.

б) Дано: $f(x) = \text{tg}\,x$, $x_0 = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{4}$.

Находим приращение аргумента $\Delta x$:

$\Delta x = x - x_0 = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$\Delta x = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$.

Находим приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = \text{tg}(x) - \text{tg}(x_0) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) - \text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

Подставляем известные значения тангенсов: $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ и $\text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$\Delta f = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\Delta x = \frac{\pi}{12}$; $\Delta f = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$.

13.4. Выразите функцию $f(x)$ через приращение $\Delta x$ в точке $x_0$:

a) $f(x) = x^2 + x;$

б) $f(x) = 2x^2 - x.$

Чтобы выразить функцию $f(x)$ через приращение $\Delta x$ в точке $x_0$, необходимо использовать определение приращения аргумента: $\Delta x = x - x_0$. Из этого соотношения мы можем выразить $x$ как $x = x_0 + \Delta x$. Затем это выражение для $x$ подставляется в исходную функцию.

а) f(x) = x² + x;

Подставим $x = x_0 + \Delta x$ в функцию $f(x) = x^2 + x$:

$f(x) = f(x_0 + \Delta x) = (x_0 + \Delta x)^2 + (x_0 + \Delta x)$

Теперь раскроем скобки. Для этого используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$f(x) = (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) + (x_0 + \Delta x)$

Уберем скобки и сгруппируем слагаемые по степеням $\Delta x$:

$f(x) = x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 + x_0 + \Delta x$

$f(x) = (x_0^2 + x_0) + (2x_0\Delta x + \Delta x) + (\Delta x)^2$

Вынесем $\Delta x$ за скобки во второй группе слагаемых:

$f(x) = (x_0^2 + x_0) + (2x_0 + 1)\Delta x + (\Delta x)^2$

Ответ: $f(x) = x_0^2 + x_0 + (2x_0 + 1)\Delta x + (\Delta x)^2$.

б) f(x) = 2x² - x.

Аналогично, подставим $x = x_0 + \Delta x$ в функцию $f(x) = 2x^2 - x$:

$f(x) = f(x_0 + \Delta x) = 2(x_0 + \Delta x)^2 - (x_0 + \Delta x)$

Раскроем скобки, начиная с возведения в квадрат:

$f(x) = 2(x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) - (x_0 + \Delta x)$

Теперь умножим первую скобку на 2 и раскроем вторую:

$f(x) = 2x_0^2 + 4x_0\Delta x + 2(\Delta x)^2 - x_0 - \Delta x$

Сгруппируем слагаемые по степеням $\Delta x$:

$f(x) = (2x_0^2 - x_0) + (4x_0\Delta x - \Delta x) + 2(\Delta x)^2$

Вынесем $\Delta x$ за скобки во второй группе слагаемых:

$f(x) = (2x_0^2 - x_0) + (4x_0 - 1)\Delta x + 2(\Delta x)^2$

Ответ: $f(x) = 2x_0^2 - x_0 + (4x_0 - 1)\Delta x + 2(\Delta x)^2$.

13.5. Найдите производную функции $f(x)$ в точке $x_0$, используя алгоритм нахождения производной:

а) $f(x) = 3x^2 + 1, x_0 = -2;$

б) $f(x) = x^2 - 2, x_0 = -1.$

а) Для функции $f(x) = 3x^2 + 1$ в точке $x_0 = -2$.

Алгоритм нахождения производной состоит из следующих шагов:

1. Находим значение функции в начальной точке $x_0$.

$f(x_0) = f(-2) = 3(-2)^2 + 1 = 3 \cdot 4 + 1 = 13$.

2. Находим значение функции в точке $x_0 + \Delta x$.

$f(x_0 + \Delta x) = f(-2 + \Delta x) = 3(-2 + \Delta x)^2 + 1$.

Раскроем скобки: $3(4 - 4\Delta x + (\Delta x)^2) + 1 = 12 - 12\Delta x + 3(\Delta x)^2 + 1 = 13 - 12\Delta x + 3(\Delta x)^2$.

3. Находим приращение функции $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

$\Delta f = (13 - 12\Delta x + 3(\Delta x)^2) - 13 = -12\Delta x + 3(\Delta x)^2$.

4. Составляем отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta f}{\Delta x}$.

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-12\Delta x + 3(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(-12 + 3\Delta x)}{\Delta x}$.

Сокращаем на $\Delta x$ (так как $\Delta x \neq 0$): $-12 + 3\Delta x$.

5. Находим предел этого отношения при $\Delta x \to 0$.

$f'(-2) = \lim_{\Delta x \to 0} (-12 + 3\Delta x) = -12 + 3 \cdot 0 = -12$.

Ответ: -12.

б) Для функции $f(x) = x^2 - 2$ в точке $x_0 = -1$.

Применяем тот же алгоритм:

1. Находим значение функции в точке $x_0$.

$f(x_0) = f(-1) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$.

2. Находим значение функции в точке $x_0 + \Delta x$.

$f(x_0 + \Delta x) = f(-1 + \Delta x) = (-1 + \Delta x)^2 - 2$.

Раскроем скобки: $(1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2) - 2 = -1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2$.

3. Находим приращение функции $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

$\Delta f = (-1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2) - (-1) = -1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2 + 1 = -2\Delta x + (\Delta x)^2$.

4. Составляем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$.

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-2\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(-2 + \Delta x)}{\Delta x}$.

Сокращаем на $\Delta x$: $-2 + \Delta x$.

5. Находим предел этого отношения при $\Delta x \to 0$.

$f'(-1) = \lim_{\Delta x \to 0} (-2 + \Delta x) = -2 + 0 = -2$.

Ответ: -2.

13.6. Найдите $\Delta x$ и $\Delta f$ в точке $x_0$:

a) $f(x)=\frac{1}{2}+\sin x ; x_0=\frac{3\pi}{4} ; x=\frac{2\pi}{3}$;

б) $f(x)=\operatorname{ctg} x-\sqrt{3} ; x_0=\frac{\pi}{4} ; x=\frac{\pi}{3}$.

а) Дано: $f(x) = \frac{1}{2} + \sin x$; $x_0 = \frac{3\pi}{4}$; $x = \frac{2\pi}{3}$.

Приращение аргумента $\Delta x$ — это разность между конечным и начальным значениями аргумента:

$\Delta x = x - x_0 = \frac{2\pi}{3} - \frac{3\pi}{4}$

Приводя дроби к общему знаменателю 12, получаем:

$\Delta x = \frac{4 \cdot 2\pi}{12} - \frac{3 \cdot 3\pi}{12} = \frac{8\pi - 9\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$.

Приращение функции $\Delta f$ — это разность значений функции в конечной и начальной точках:

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = f(\frac{2\pi}{3}) - f(\frac{3\pi}{4})$.

Вычислим значения функции в этих точках:

$f(x_0) = f(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{2} + \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$.

$f(x) = f(\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем $\Delta f$:

$\Delta f = \frac{1+\sqrt{3}}{2} - \frac{1+\sqrt{2}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}-1-\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\Delta x = -\frac{\pi}{12}$; $\Delta f = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$.

б) Дано: $f(x) = \text{ctg}x - \sqrt{3}$; $x_0 = \frac{\pi}{4}$; $x = \frac{\pi}{3}$.

Найдем приращение аргумента $\Delta x$:

$\Delta x = x - x_0 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$

Приводя дроби к общему знаменателю 12, получаем:

$\Delta x = \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$.

Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = f(\frac{\pi}{3}) - f(\frac{\pi}{4})$.

Вычислим значения функции в этих точках:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{4}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) - \sqrt{3} = 1 - \sqrt{3}$.

$f(x) = f(\frac{\pi}{3}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{3}) - \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}$.

Теперь найдем $\Delta f$:

$\Delta f = (\frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}) - (1 - \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$.

Ответ: $\Delta x = \frac{\pi}{12}$; $\Delta f = \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$.