Вопросы, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Какая связь существует между приращениями аргумента и функции? Ответ обоснуйте.

2. В чем различие между понятиями функция дифференцируема в точке и дифференцируема на отрезке?

3. Как можно объяснить связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке?

1. Какая связь существует между приращениями аргумента и функции? Ответ обоснуйте.

Связь между приращением аргумента и приращением функции является центральным понятием дифференциального исчисления.

Пусть дана функция $y = f(x)$. Приращением аргумента в точке $x_0$ называется разность $\Delta x = x - x_0$, где $x$ — новое значение аргумента. Соответствующее изменение значения функции называется приращением функции и обозначается $\Delta y$ или $\Delta f(x_0)$:

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Приращение функции $\Delta y$ зависит как от начальной точки $x_0$, так и от приращения аргумента $\Delta x$.

Ключевая связь проявляется для дифференцируемых функций. Функция $f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x_0$, если ее приращение $\Delta y$ можно представить в виде:

$\Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x)$

где $A$ — это некоторое число, не зависящее от $\Delta x$, а $o(\Delta x)$ — бесконечно малая величина более высокого порядка по сравнению с $\Delta x$ (то есть $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} = 0$).

Число $A$ называется производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ и обозначается $f'(x_0)$. Таким образом, формула связи принимает вид:

$\Delta y = f'(x_0) \Delta x + o(\Delta x)$

Эта формула означает, что при малых приращениях аргумента ($\Delta x \to 0$), приращение функции $\Delta y$ ведет себя почти как линейная функция от $\Delta x$. Главную линейную часть приращения функции, $f'(x_0) \Delta x$, называют дифференциалом функции.

Таким образом, для малых $\Delta x$ справедлива приближенная формула:

$\Delta y \approx f'(x_0) \Delta x$

Производная $f'(x_0)$ выступает в роли коэффициента пропорциональности, который связывает (в первом приближении) малое приращение функции с малым приращением аргумента. Геометрически это означает, что график функции в малой окрестности точки $(x_0, f(x_0))$ можно аппроксимировать отрезком касательной.

Ответ: Для дифференцируемой функции связь между приращением функции $\Delta y$ и приращением аргумента $\Delta x$ при малых $\Delta x$ является приближенно линейной: $\Delta y \approx f'(x_0) \Delta x$. Точная связь выражается формулой $\Delta y = f'(x_0) \Delta x + o(\Delta x)$, где производная $f'(x_0)$ является коэффициентом в главной линейной части приращения функции.

2. В чем различие между понятиями функция дифференцируема в точке и дифференцируема на отрезке?

Различие заключается в том, что "дифференцируемость в точке" — это локальное свойство функции, а "дифференцируемость на отрезке" — глобальное, описывающее поведение функции на целом множестве точек.

Дифференцируемость в точке:

Функция $y = f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x_0$, если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Этот предел называется производной функции в точке $x_0$:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Это условие касается поведения функции лишь в бесконечно малой окрестности одной-единственной точки $x_0$.

Дифференцируемость на отрезке:

Функция $y = f(x)$ называется дифференцируемой на отрезке $[a, b]$, если выполняются три условия:

1. Функция дифференцируема в каждой точке открытого интервала $(a, b)$. Это означает, что для любой точки $x_0 \in (a, b)$ существует конечная производная $f'(x_0)$.

2. В левой граничной точке отрезка, точке $a$, существует конечная правосторонняя производная:$f'_+(a) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$

3. В правой граничной точке отрезка, точке $b$, существует конечная левосторонняя производная:$f'_-(b) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(b + \Delta x) - f(b)}{\Delta x}$

Таким образом, дифференцируемость на отрезке — это гораздо более сильное требование. Оно предполагает дифференцируемость в бесконечном множестве внутренних точек и, кроме того, наличие односторонних производных на границах отрезка.

Ответ: Дифференцируемость в точке — это локальное свойство, означающее существование производной в одной конкретной точке. Дифференцируемость на отрезке — это глобальное свойство, которое требует, чтобы функция была дифференцируема в каждой внутренней точке отрезка и имела конечные односторонние производные на его концах.

3. Как можно объяснить связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке?

Связь между этими двумя понятиями выражается фундаментальной теоремой анализа: если функция дифференцируема в некоторой точке, то она обязательно непрерывна в этой точке.

Объяснение (доказательство):

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$. Это означает, что существует конечный предел $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Нам нужно доказать, что функция непрерывна в точке $x_0$. По определению, непрерывность в точке $x_0$ означает, что $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, что эквивалентно условию $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$.

Рассмотрим приращение функции $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$. Для $\Delta x \neq 0$ мы можем записать тождество:

$\Delta y = \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x$

Теперь найдем предел этого выражения при $\Delta x \to 0$:

$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x \right)$

Используя свойство предела произведения, получаем:

$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \left( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \right) \cdot \left( \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x \right)$

Первый множитель по условию равен производной $f'(x_0)$, а второй очевидно равен 0. Следовательно:

$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = f'(x_0) \cdot 0 = 0$

Мы доказали, что приращение функции стремится к нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю, а это и есть определение непрерывности функции в точке $x_0$.

Геометрическая интерпретация:

Дифференцируемость функции в точке означает, что ее график в этой точке "гладкий" и имеет единственную невертикальную касательную. Непрерывность означает, что график в этой точке не имеет разрывов ( "его можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги"). Очевидно, что для того, чтобы у графика была касательная, он должен быть "целым", то есть непрерывным. Невозможно провести касательную в точке разрыва.

Обратное утверждение неверно: не всякая непрерывная функция является дифференцируемой. Классический пример — функция $f(x) = |x|$ в точке $x_0 = 0$. Ее график непрерывен (нет разрывов), но в точке $x=0$ он имеет "излом" (острый угол). Из-за этого излома невозможно провести единственную касательную. Математически это выражается в том, что левосторонняя производная в этой точке равна -1, а правосторонняя равна +1. Так как они не равны, производная в точке 0 не существует.

Ответ: Связь такова, что дифференцируемость является более сильным свойством, чем непрерывность. Любая дифференцируемая в точке функция является в этой точке и непрерывной. Однако обратное неверно: функция может быть непрерывной в точке, но не иметь в ней производной (например, из-за "излома" на графике).