Номер 12.3, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.3. Постройте график функции $y = f(x)$. Выясните, является ли данная функция в точке $x_0$ непрерывной:

а) $y = \begin{cases} x, \text{ если } x \ge 0, \\ x+1, \text{ если } x < 0, \end{cases} x_0 = 0;$

б) $y = \begin{cases} x+1, \text{ если } x \ge 0, \\ -x, \text{ если } x < 0, \end{cases} x_0 = 0.$

а) Дана функция $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ x+1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. Необходимо построить её график и выяснить, является ли она непрерывной в точке $x_0=0$.

Построение графика:

1. При $x \ge 0$ функция имеет вид $y = x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой первого координатного угла. Графиком является луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и идущий вправо вверх. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

2. При $x < 0$ функция имеет вид $y = x+1$. Это прямая, параллельная прямой $y=x$, но сдвинутая на 1 единицу вверх. Графиком является луч, который заканчивается в точке $(0, 1)$, при этом сама точка $(0, 1)$ не принадлежит графику (изображается "выколотой" точкой).

График функции состоит из двух параллельных лучей, имеющих разрыв в точке $x=0$.

Проверка на непрерывность в точке $x_0=0$:

Функция $f(x)$ является непрерывной в точке $x_0$, если её предел в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, то есть $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Для этого необходимо, чтобы существовали и были равны друг другу левосторонний и правосторонний пределы, а также значение функции в точке: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$.

Проверим эти условия для нашей функции в точке $x_0=0$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=0$. Так как $0 \ge 0$, используем формулу $y=x$. Получаем $f(0) = 0$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0=0$.

Предел слева (при $x \to 0^-$, то есть $x < 0$): используем формулу $y=x+1$.

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+1) = 0+1=1$.

Предел справа (при $x \to 0^+$, то есть $x \ge 0$): используем формулу $y=x$.

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$.

Так как предел слева не равен пределу справа ($1 \ne 0$), общий предел функции $\lim_{x \to 0} f(x)$ не существует. Следовательно, условие непрерывности не выполнено.

В точке $x_0=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0 = 0$.

б) Дана функция $y = \begin{cases} x+1, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. Необходимо построить её график и выяснить, является ли она непрерывной в точке $x_0=0$.

Построение графика:

1. При $x \ge 0$ функция имеет вид $y = x+1$. Графиком является луч, выходящий из точки $(0, 1)$ (включая эту точку) и идущий вправо вверх.

2. При $x < 0$ функция имеет вид $y = -x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой второго координатного угла. Графиком является луч, который заканчивается в точке $(0, 0)$, при этом сама точка $(0, 0)$ не принадлежит графику (изображается "выколотой" точкой).

График функции состоит из двух лучей, имеющих разрыв в точке $x=0$.

Проверка на непрерывность в точке $x_0=0$:

Используем определение непрерывности функции в точке.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=0$. Так как $0 \ge 0$, используем формулу $y=x+1$. Получаем $f(0) = 0+1=1$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0=0$.

Предел слева (при $x \to 0^-$, то есть $x < 0$): используем формулу $y=-x$.

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = -0=0$.

Предел справа (при $x \to 0^+$, то есть $x \ge 0$): используем формулу $y=x+1$.

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x+1) = 0+1=1$.

Так как предел слева не равен пределу справа ($0 \ne 1$), общий предел функции $\lim_{x \to 0} f(x)$ не существует. Следовательно, условие непрерывности не выполнено.

В точке $x_0=0$ функция также имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0 = 0$.