Номер 12.7, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.7. Постройте график функции $y = f(x)$. Выясните, является ли функция в точке $x_0$ непрерывной:

a) $f(x) = \begin{cases} -3, \text{ если } x < 0, \\ x, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} -x^2, \text{ если } x < 0, \\ x^2 + 2, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

в) $f(x) = \begin{cases} \cos x, \text{ если } 0 < x < \frac{\pi}{2}, \\ x - 4, \text{ если } x \le 0; \end{cases}$

г) $f(x) = \begin{cases} \operatorname{tg} x, \text{ если } -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{4}, \\ x - \frac{\pi}{4}, \text{ если } x \ge \frac{\pi}{4}. \end{cases}$

а) $f(x) = \begin{cases} -3, & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

1. Построение графика.

График функции состоит из двух частей.

При $x < 0$ функция равна $y = -3$. Это луч, параллельный оси Ox, лежащий в третьей и второй координатных четвертях. Точка $(0, -3)$ не принадлежит этому лучу, поэтому мы отмечаем ее "выколотой" (пустым кружком).

При $x \ge 0$ функция равна $y = x$. Это луч, выходящий из начала координат под углом $45^\circ$ к положительному направлению оси Ox. Точка $(0, 0)$ принадлежит этому лучу, так как неравенство нестрогое, и мы отмечаем ее "закрашенной" (сплошным кружком).

2. Проверка на непрерывность в точке $x_0 = 0$.

Функция является непрерывной в точке $x_0$, если выполнены три условия:

1) Функция определена в точке $x_0$, то есть $f(x_0)$ существует.

2) Существует предел функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x)$. Это означает, что левосторонний и правосторонний пределы равны: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$.

3) Предел функции в точке равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Проверим эти условия для точки $x_0 = 0$:

1) Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$. Согласно определению, при $x \ge 0$ используется формула $f(x)=x$. Следовательно, $f(0) = 0$. Функция определена в точке $x_0 = 0$.

2) Найдем односторонние пределы:

Левосторонний предел (при $x \to 0$ слева, т.е. $x < 0$):$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-3) = -3 $.

Правосторонний предел (при $x \to 0$ справа, т.е. $x > 0$):$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x) = 0 $.

3) Так как левосторонний предел ($-3$) не равен правостороннему пределу ($0$), то общий предел $\lim_{x \to 0} f(x)$ не существует.

Поскольку второе условие непрерывности не выполнено, функция не является непрерывной в точке $x_0 = 0$. В этой точке функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция разрывна в точке $x_0 = 0$.

б) $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x < 0 \\ x^2 + 2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

1. Построение графика.

График функции состоит из двух частей.

При $x < 0$ функция равна $y = -x^2$. Это левая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$. Точка $(0, 0)$ не принадлежит этой части графика, поэтому отмечаем ее "выколотой".

При $x \ge 0$ функция равна $y = x^2 + 2$. Это правая ветвь параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 2)$. Точка $(0, 2)$ принадлежит этой части графика, так как неравенство нестрогое, и мы отмечаем ее "закрашенной".

2. Проверка на непрерывность в точке $x_0 = 0$.

Проверим условия непрерывности в точке $x_0 = 0$:

1) Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$. При $x \ge 0$ используется формула $f(x)=x^2+2$. Следовательно, $f(0) = 0^2 + 2 = 2$. Функция определена в точке $x_0 = 0$.

2) Найдем односторонние пределы:

Левосторонний предел (при $x < 0$):$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x^2) = -0^2 = 0 $.

Правосторонний предел (при $x > 0$):$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 + 2) = 0^2 + 2 = 2 $.

3) Так как левосторонний предел ($0$) не равен правостороннему пределу ($2$), то общий предел $\lim_{x \to 0} f(x)$ не существует.

Функция не является непрерывной в точке $x_0 = 0$. В этой точке функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция разрывна в точке $x_0 = 0$.

в) $f(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{если } 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ x - 4, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$

1. Построение графика.

График функции состоит из двух частей. Точка, где меняется определение функции, - это $x_0 = 0$.

При $x \le 0$ функция равна $y = x - 4$. Это луч прямой линии с наклоном 1, проходящий через точку $(0, -4)$. Точка $(0, -4)$ принадлежит этому лучу, поэтому она "закрашенная".

При $0 < x < \frac{\pi}{2}$ функция равна $y = \cos x$. Это часть графика косинусоиды на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$. Граничные точки интервала не включены, поэтому точки $(0, \cos 0) = (0, 1)$ и $(\frac{\pi}{2}, \cos \frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2}, 0)$ будут "выколотыми".

2. Проверка на непрерывность в точке $x_0 = 0$.

Проверим условия непрерывности в точке $x_0 = 0$:

1) Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$. При $x \le 0$ используется формула $f(x)=x-4$. Следовательно, $f(0) = 0 - 4 = -4$. Функция определена в точке $x_0 = 0$.

2) Найдем односторонние пределы:

Левосторонний предел (при $x < 0$):$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x - 4) = 0 - 4 = -4 $.

Правосторонний предел (при $x > 0$):$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (\cos x) = \cos(0) = 1 $.

3) Так как левосторонний предел ($-4$) не равен правостороннему пределу ($1$), то общий предел $\lim_{x \to 0} f(x)$ не существует.

Функция не является непрерывной в точке $x_0 = 0$. В этой точке функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция разрывна в точке $x_0 = 0$.

г) $f(x) = \begin{cases} \tg x, & \text{если } -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{4} \\ x - \frac{\pi}{4}, & \text{если } x \ge \frac{\pi}{4} \end{cases}$

1. Построение графика.

График функции состоит из двух частей. Точка, где меняется определение функции, - это $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

При $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{4}$ функция равна $y = \tg x$. Это часть графика тангенса. При $x \to -\frac{\pi}{2}$ справа, $y \to -\infty$ (вертикальная асимптота). Точка $(\frac{\pi}{4}, \tg \frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4}, 1)$ не принадлежит этой части графика, поэтому она "выколотая".

При $x \ge \frac{\pi}{4}$ функция равна $y = x - \frac{\pi}{4}$. Это луч прямой линии с наклоном 1. В начальной точке $x = \frac{\pi}{4}$ имеем $y = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$. Точка $(\frac{\pi}{4}, 0)$ принадлежит этому лучу и является "закрашенной".

2. Проверка на непрерывность в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Проверим условия непрерывности в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

1) Найдем значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$. При $x \ge \frac{\pi}{4}$ используется формула $f(x)=x-\frac{\pi}{4}$. Следовательно, $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$. Функция определена в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

2) Найдем односторонние пределы:

Левосторонний предел (при $x < \frac{\pi}{4}$):$ \lim_{x \to (\frac{\pi}{4})^-} f(x) = \lim_{x \to (\frac{\pi}{4})^-} (\tg x) = \tg(\frac{\pi}{4}) = 1 $.

Правосторонний предел (при $x > \frac{\pi}{4}$):$ \lim_{x \to (\frac{\pi}{4})^+} f(x) = \lim_{x \to (\frac{\pi}{4})^+} (x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0 $.

3) Так как левосторонний предел ($1$) не равен правостороннему пределу ($0$), то общий предел $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} f(x)$ не существует.

Функция не является непрерывной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$. В этой точке функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция разрывна в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.