Номер 12.6, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.6. Найдите предел функции $y = f(x)$ при $x \to x_0$:

а) $f(x) = \frac{2x + x^2}{x - 2}$, $x \to 2$;

б) $f(x) = \frac{3x^2 + 2x - 1}{x + 1}$, $x \to -1$;

в) $f(x) = \frac{x^3 - 27}{x - 3}$, $x \to 3$;

г) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^4 - 16}$, $x \to 2$;

д) $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 5x + 4}$, $x \to 1$;

е) $f(x) = \frac{3x^2 - 4x - 4}{3x^2 - 7x - 6}$, $x \to -\frac{2}{3}$;

ж) $f(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$, $x \to 4$;

з) $f(x) = \frac{4x - x^3}{2x^2 + 3x - 2}$, $x \to -2$.

а) Найдем предел $\lim_{x \to 2} \frac{2x + x^2}{x - 2}$.

При подстановке значения $x = 2$ в функцию, числитель становится равным $2(2) + 2^2 = 4 + 4 = 8$, а знаменатель $2 - 2 = 0$. Мы получаем выражение вида $\frac{8}{0}$, что указывает на бесконечный предел. Чтобы определить поведение функции, рассмотрим односторонние пределы.

Предел справа, когда $x$ стремится к 2, оставаясь больше 2 (например, $x = 2.01$):

$\lim_{x \to 2^+} \frac{2x + x^2}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x(2+x)}{x-2} = \frac{2(2+2)}{+0} = \frac{8}{+0} = +\infty$.

Предел слева, когда $x$ стремится к 2, оставаясь меньше 2 (например, $x = 1.99$):

$\lim_{x \to 2^-} \frac{2x + x^2}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{x(2+x)}{x-2} = \frac{2(2+2)}{-0} = \frac{8}{-0} = -\infty$.

Поскольку односторонние пределы не равны (один равен $+\infty$, а другой $-\infty$), двусторонний предел в точке $x=2$ не существует.

Ответ: предел не существует.

б) Найдем предел $\lim_{x \to -1} \frac{3x^2 + 2x - 1}{x + 1}$.

При подстановке $x = -1$ в числитель получаем $3(-1)^2 + 2(-1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0$. В знаменателе получаем $-1 + 1 = 0$. Возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия разложим числитель на множители. Корнями квадратного уравнения $3x^2 + 2x - 1 = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 1/3$. Следовательно, $3x^2 + 2x - 1 = 3(x - (-1))(x - 1/3) = (x+1)(3x-1)$.

$\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(3x-1)}{x+1} = \lim_{x \to -1} (3x-1) = 3(-1) - 1 = -3 - 1 = -4$.

Ответ: -4.

в) Найдем предел $\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x - 3}$.

При подстановке $x = 3$ получаем $3^3 - 27 = 0$ в числителе и $3 - 3 = 0$ в знаменателе. Это неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2 + 3x + 3^2) = (x-3)(x^2 + 3x + 9)$.

$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x^2 + 3x + 9)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x^2 + 3x + 9) = 3^2 + 3(3) + 9 = 9 + 9 + 9 = 27$.

Ответ: 27.

г) Найдем предел $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^4 - 16}$.

При $x = 2$ получаем $2^2 - 4 = 0$ в числителе и $2^4 - 16 = 0$ в знаменателе. Неопределенность $\frac{0}{0}$. Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Числитель: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Знаменатель: $x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x-2)(x+2)(x^2 + 4)$.

$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)(x^2 + 4)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x^2 + 4} = \frac{1}{2^2 + 4} = \frac{1}{4+4} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

д) Найдем предел $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 5x + 4}$.

При $x = 1$ числитель равен $1^2 + 2(1) - 3 = 0$, знаменатель равен $1^2 - 5(1) + 4 = 0$. Неопределенность $\frac{0}{0}$. Разложим оба квадратных трехчлена на множители.

Числитель $x^2 + 2x - 3$: корни $x_1=1, x_2=-3$. Разложение: $(x-1)(x+3)$.

Знаменатель $x^2 - 5x + 4$: корни $x_1=1, x_2=4$. Разложение: $(x-1)(x-4)$.

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+3)}{(x-1)(x-4)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+3}{x-4} = \frac{1+3}{1-4} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $-\frac{4}{3}$.

е) Найдем предел $\lim_{x \to -2/3} \frac{3x^2 - 4x - 4}{3x^2 - 7x - 6}$.

При $x = -2/3$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$. Разложим числитель и знаменатель на множители. Так как $x = -2/3$ является корнем, то $(x + 2/3)$ или $(3x+2)$ является общим множителем.

Числитель $3x^2 - 4x - 4$: корни $x_1=2, x_2=-2/3$. Разложение: $3(x-2)(x+2/3) = (x-2)(3x+2)$.

Знаменатель $3x^2 - 7x - 6$: корни $x_1=3, x_2=-2/3$. Разложение: $3(x-3)(x+2/3) = (x-3)(3x+2)$.

$\lim_{x \to -2/3} \frac{(x-2)(3x+2)}{(x-3)(3x+2)} = \lim_{x \to -2/3} \frac{x-2}{x-3} = \frac{-2/3 - 2}{-2/3 - 3} = \frac{-2/3 - 6/3}{-2/3 - 9/3} = \frac{-8/3}{-11/3} = \frac{8}{11}$.

Ответ: $\frac{8}{11}$.

ж) Найдем предел $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$.

При $x = 4$ получаем $\frac{\sqrt{4}-2}{4-4} = \frac{0}{0}$. Это неопределенность. Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $(\sqrt{x}+2)$.

$\lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

з) Найдем предел $\lim_{x \to -2} \frac{4x - x^3}{2x^2 + 3x - 2}$.

При $x = -2$ числитель равен $4(-2) - (-2)^3 = -8 - (-8) = 0$. Знаменатель равен $2(-2)^2 + 3(-2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$. Неопределенность $\frac{0}{0}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $4x - x^3 = x(4 - x^2) = x(2-x)(2+x)$.

Знаменатель $2x^2 + 3x - 2$: корни $x_1=1/2, x_2=-2$. Разложение: $2(x-1/2)(x+2) = (2x-1)(x+2)$.

$\lim_{x \to -2} \frac{x(2-x)(2+x)}{(2x-1)(x+2)} = \lim_{x \to -2} \frac{x(2-x)}{2x-1} = \frac{-2(2-(-2))}{2(-2)-1} = \frac{-2(4)}{-4-1} = \frac{-8}{-5} = \frac{8}{5}$.

Ответ: $\frac{8}{5}$.