Вопросы, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Имеются ли отличия между непрерывностью в точке и непрерывностью на отрезке?

2. Верен ли вывод, что если функция $f(x)$ в точке $x_0$ разрывна, тогда в этой точке функция не имеет предела?

3. Если функция $f(x)$ в точке $x_0$ непрерывна, а функция $g(x)$ в точке $x_0$ разрывна, то что можно сказать о сумме, произведении, частном этих функций?

1. Имеются ли отличия между непрерывностью в точке и непрерывностью на отрезке?

Да, имеются существенные отличия, которые касаются определения непрерывности на границах (концах) отрезка.

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если предел функции при $x$, стремящемся к $x_0$, существует и равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Это определение подразумевает, что существуют и равны друг другу как левосторонний, так и правосторонний пределы: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$.

В свою очередь, функция $f(x)$ называется непрерывной на отрезке $[a, b]$, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. Она непрерывна в каждой точке открытого интервала $(a, b)$ (то есть для всех внутренних точек отрезка).

2. На левом конце отрезка, в точке $a$, она непрерывна справа, то есть $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

3. На правом конце отрезка, в точке $b$, она непрерывна слева, то есть $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$.

Ключевое отличие заключается в том, что для внутренних точек отрезка требуется полная, "двусторонняя" непрерывность, в то время как для конечных точек отрезка достаточно "односторонней" непрерывности со стороны самого отрезка. Это связано с тем, что за пределами отрезка функция может быть не определена, и понятие двустороннего предела на концах теряет смысл.

Ответ: Да, отличия есть. Непрерывность на отрезке $[a, b]$ требует непрерывности в каждой внутренней точке (на основе двустороннего предела) и односторонней непрерывности на концах отрезка: непрерывности справа в точке $a$ и непрерывности слева в точке $b$.

2. Верен ли вывод, что если функция f(x) в точке x₀ разрывна, тогда в этой точке функция не имеет предела?

Нет, этот вывод не является верным. Функция может иметь предел в точке, но быть в ней разрывной.

Разрыв функции в точке $x_0$ означает, что нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности: 1) функция определена в $x_0$; 2) существует предел $\lim_{x \to x_0} f(x)$; 3) предел равен значению функции $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Если нарушено только третье условие, то мы имеем дело с так называемым устранимым разрывом. В этом случае предел функции в точке существует, но он не равен значению функции (или функция в этой точке не определена).

Рассмотрим пример. Пусть задана функция $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3}, & x \neq 3 \\ 10, & x = 3 \end{cases}$ в точке $x_0 = 3$.

Найдем предел этой функции при $x \to 3$:

$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 6$.

Предел функции в точке $x_0=3$ существует и равен 6. Однако по определению функции ее значение в этой точке $f(3) = 10$.

Так как $\lim_{x \to 3} f(x) \neq f(3)$, функция $f(x)$ является разрывной в точке $x_0 = 3$. Тем не менее, предел в этой точке существует.

Ответ: Вывод неверен. Функция может быть разрывной в точке, но при этом иметь в ней конечный предел. Это характерно для точек устранимого разрыва.

3. Если функция f(x) в точке x₀ непрерывна, а функция g(x) в точке x₀ разрывна, то что можно сказать о сумме, произведении, частном этих функций?

Пусть $f(x)$ непрерывна в $x_0$, а $g(x)$ разрывна в $x_0$. Проанализируем их комбинации.

Сумма $S(x) = f(x) + g(x)$

Сумма таких функций всегда будет разрывна в точке $x_0$. Это можно доказать от противного. Если бы их сумма $S(x)$ была непрерывна, то функция $g(x) = S(x) - f(x)$ была бы непрерывна как разность двух непрерывных функций ($S(x)$ и $f(x)$). Это прямо противоречит исходному условию, что $g(x)$ разрывна. Следовательно, сумма не может быть непрерывной.

Произведение $P(x) = f(x) \cdot g(x)$

Произведение может быть как непрерывным, так и разрывным. Это зависит от значения непрерывной функции $f(x)$ в точке разрыва $x_0$. Если $f(x_0) \neq 0$, то произведение $P(x)$ будет разрывно. Если же $f(x_0) = 0$, то произведение $P(x)$ может стать непрерывным. В этом случае множитель, равный нулю, может "погасить" разрыв функции $g(x)$. Например, если $f(x) = x$ (непрерывна в $x_0=0$) и $g(x)$ — функция знака, разрывная в $x_0=0$, то их произведение $P(x) = x \cdot \text{sgn}(x) = |x|$ является непрерывной функцией в точке $x_0=0$.

Частное $Q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$

Частное, как и произведение, может быть как непрерывным, так и разрывным. Результат зависит от конкретного вида функций и характера разрыва $g(x)$. Частное может быть разрывным (например, если $f(x) = 1$ и $g(x)$ — функция знака, то частное $Q(x) = 1/g(x) = g(x)$ также разрывно). Частное может быть и непрерывным (например, если $f(x)=x^2$ и $g(x) = \begin{cases} x, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$, то их частное $Q(x) = x$ является непрерывной функцией).

Ответ: Сумма непрерывной и разрывной функций всегда разрывна. Произведение и частное могут быть как непрерывными, так и разрывными. В частности, произведение будет разрывным, если значение непрерывной функции в точке разрыва не равно нулю ($f(x_0) \neq 0$), и может быть непрерывным, если оно равно нулю ($f(x_0) = 0$).