Номер 12.5, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.5. Исследуйте функцию $y = f(x)$ на непрерывность:

a) $y = \frac{5}{\cos x}$;

б) $y = -\frac{2}{\sin x}$.

а) $y = \frac{5}{\cos x}$

Данная функция является частным двух непрерывных на всей числовой прямой функций: постоянной функции $y_1=5$ и тригонометрической функции $y_2=\cos x$. Следовательно, функция $y = \frac{5}{\cos x}$ непрерывна на всей своей области определения.

Область определения функции находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$\cos x \neq 0$

Решая уравнение $\cos x = 0$, находим точки, которые не входят в область определения:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти точки являются точками разрыва функции. Чтобы определить тип разрыва, исследуем поведение функции в окрестности этих точек. Найдем односторонние пределы. Для примера возьмем точку $x_0 = \frac{\pi}{2}$ (случай $k=0$).

Предел слева:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-} \frac{5}{\cos x} = +\infty$, так как при $x \to \frac{\pi}{2}$ с левой стороны (например, $x$ из интервала $(0, \frac{\pi}{2})$), $\cos x > 0$ и стремится к нулю.

Предел справа:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}+} \frac{5}{\cos x} = -\infty$, так как при $x \to \frac{\pi}{2}$ с правой стороны (например, $x$ из интервала $(\frac{\pi}{2}, \pi)$), $\cos x < 0$ и стремится к нулю.

Поскольку односторонние пределы в точках разрыва равны бесконечности, эти точки являются точками разрыва второго рода (бесконечными разрывами). На всех остальных интервалах, составляющих область определения, функция непрерывна.

Ответ: Функция непрерывна для всех $x$, кроме точек $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках функция имеет разрывы второго рода.

б) $y = -\frac{2}{\sin x}$

Эта функция также является частным двух непрерывных функций: $y_1=-2$ и $y_2=\sin x$. Поэтому она непрерывна везде, где определена.

Область определения функции задается условием $\sin x \neq 0$.

Найдем точки, в которых функция не определена:

$\sin x = 0$

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Данные точки являются точками разрыва. Определим их тип, вычислив односторонние пределы. Для примера возьмем точку $x_0 = 0$ (случай $k=0$).

Предел слева:

$\lim_{x \to 0-} \left(-\frac{2}{\sin x}\right) = +\infty$, так как при $x \to 0$ с левой стороны, $\sin x < 0$ и стремится к нулю, поэтому дробь $\frac{2}{\sin x}$ стремится к $-\infty$, а выражение $-\frac{2}{\sin x}$ стремится к $+\infty$.

Предел справа:

$\lim_{x \to 0+} \left(-\frac{2}{\sin x}\right) = -\infty$, так как при $x \to 0$ с правой стороны, $\sin x > 0$ и стремится к нулю, поэтому дробь $\frac{2}{\sin x}$ стремится к $+\infty$, а выражение $-\frac{2}{\sin x}$ стремится к $-\infty$.

Поскольку односторонние пределы в точках разрыва бесконечны, все точки вида $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, являются точками разрыва второго рода. Вне этих точек функция непрерывна.

Ответ: Функция непрерывна для всех $x$, кроме точек $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках функция имеет разрывы второго рода.