Номер 12.4, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.4. Исследуйте функцию $y = f(x)$ на непрерывность:

а) $y = \frac{6}{3 - x}$;

б) $y = \frac{x}{2{,}5 + x}$;

в) $y = \frac{5}{x(x + 1)}$;

г) $y = \frac{x}{x^2 - 9}$.

а) Данная функция $y = \frac{6}{3 - x}$ является дробно-рациональной. Такие функции непрерывны на всей своей области определения. Область определения функции — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Найдем точки разрыва, решив уравнение знаменателя:

$3 - x = 0$

$x = 3$

Следовательно, в точке $x = 3$ функция не определена и терпит разрыв. На остальных числовых промежутках функция непрерывна.

Ответ: функция непрерывна на интервалах $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$ и имеет точку разрыва $x = 3$.

б) Функция $y = \frac{x}{2,5 + x}$ является дробно-рациональной и непрерывна на всей своей области определения. Найдем точки, в которых знаменатель равен нулю:

$2,5 + x = 0$

$x = -2,5$

Таким образом, функция имеет одну точку разрыва $x = -2,5$. На интервалах $(-\infty; -2,5)$ и $(-2,5; +\infty)$ функция непрерывна.

Ответ: функция непрерывна на интервалах $(-\infty; -2,5)$ и $(-2,5; +\infty)$ и имеет точку разрыва $x = -2,5$.

в) Функция $y = \frac{5}{x(x + 1)}$ является дробно-рациональной и непрерывна на всей своей области определения. Найдем точки разрыва, приравняв знаменатель к нулю:

$x(x + 1) = 0$

Решениями этого уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Следовательно, функция имеет две точки разрыва: $x = -1$ и $x = 0$. Функция непрерывна на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: функция непрерывна на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$ и имеет точки разрыва $x = -1$ и $x = 0$.

г) Функция $y = \frac{x}{x^2 - 9}$ является дробно-рациональной и непрерывна на всей своей области определения. Найдем точки разрыва, решив уравнение знаменателя:

$x^2 - 9 = 0$

$(x - 3)(x + 3) = 0$

Решениями этого уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Следовательно, функция имеет две точки разрыва: $x = -3$ и $x = 3$. Функция непрерывна на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: функция непрерывна на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$ и имеет точки разрыва $x = -3$ и $x = 3$.