Страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.1. Найдите предел функции $y = f(x)$ при $x \to x_0$:

а) $f(x) = 3x + 2$, $x \to 2$;

б) $f(x) = 4x^3 - 3x$, $x \to -1$;

в) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$, $x \to -3$;

г) $f(x) = \frac{x - 2}{x^2 - 4}$, $x \to 2$.

а) Функция $f(x) = 3x + 2$ является непрерывной на всей числовой прямой, так как это линейная функция (многочлен первой степени). Для нахождения предела такой функции при $x$, стремящемся к конечному числу, достаточно подставить это число в выражение функции.

$ \lim_{x \to 2} (3x + 2) = 3 \cdot 2 + 2 = 6 + 2 = 8. $

Ответ: 8.

б) Функция $f(x) = 4x^3 - 3x$ является многочленом, который непрерывен на всей числовой прямой. Следовательно, для вычисления предела при $x \rightarrow -1$ мы можем использовать прямую подстановку.

$ \lim_{x \to -1} (4x^3 - 3x) = 4(-1)^3 - 3(-1) = 4(-1) + 3 = -4 + 3 = -1. $

Ответ: -1.

в) Необходимо найти предел функции $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ при $x \rightarrow -3$. При попытке прямой подстановки значения $x = -3$ в числитель и знаменатель мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $(-3)^2 - 9 = 0$ и $-3 + 3 = 0$. Для раскрытия этой неопределенности необходимо преобразовать выражение. Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

Теперь предел можно переписать в виде:

$ \lim_{x \to -3} \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} $.

Поскольку $x$ стремится к -3, но не равен -3, мы можем сократить общий множитель $(x+3)$ в числителе и знаменателе.

$ \lim_{x \to -3} (x-3) = -3 - 3 = -6. $

Ответ: -6.

г) Необходимо найти предел функции $f(x) = \frac{x - 2}{x^2 - 4}$ при $x \rightarrow 2$. Прямая подстановка $x = 2$ приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$, так как $2 - 2 = 0$ и $2^2 - 4 = 0$. Для устранения неопределенности разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов.

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Запишем предел с разложенным знаменателем:

$ \lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{(x-2)(x+2)} $.

Так как $x$ стремится к 2, но не равен 2, мы можем сократить дробь на $(x-2)$.

$ \lim_{x \to 2} \frac{1}{x+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}. $

Ответ: $\frac{1}{4}$.

12.2. Определите значение предела функции $y = f(x)$ в точках $x_0 = -2$:

$x_0 = -0,5$:

а) $f(x) = 4x - 5$;

б) $f(x) = 5x - 2$.

а) Для функции $f(x) = 4x - 5$.

Данная функция является линейной, а любая линейная функция непрерывна на всей числовой прямой. Это означает, что предел функции в любой точке равен значению функции в этой точке. То есть, $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

1. Найдем значение предела в точке $x_0 = -2$:

$\lim_{x \to -2} (4x - 5) = 4 \cdot (-2) - 5 = -8 - 5 = -13$.

2. Найдем значение предела в точке $x_0 = -0,5$:

$\lim_{x \to -0,5} (4x - 5) = 4 \cdot (-0,5) - 5 = -2 - 5 = -7$.

Ответ: предел функции в точке $x_0 = -2$ равен -13; предел в точке $x_0 = -0,5$ равен -7.

б) Для функции $f(x) = 5x - 2$.

Эта функция также является линейной и, следовательно, непрерывной на всей числовой прямой. Предел функции в точке равен значению функции в этой точке.

1. Найдем значение предела в точке $x_0 = -2$:

$\lim_{x \to -2} (5x - 2) = 5 \cdot (-2) - 2 = -10 - 2 = -12$.

2. Найдем значение предела в точке $x_0 = -0,5$:

$\lim_{x \to -0,5} (5x - 2) = 5 \cdot (-0,5) - 2 = -2,5 - 2 = -4,5$.

Ответ: предел функции в точке $x_0 = -2$ равен -12; предел в точке $x_0 = -0,5$ равен -4,5.

12.3. Постройте график функции $y = f(x)$. Выясните, является ли данная функция в точке $x_0$ непрерывной:

а) $y = \begin{cases} x, \text{ если } x \ge 0, \\ x+1, \text{ если } x < 0, \end{cases} x_0 = 0;$

б) $y = \begin{cases} x+1, \text{ если } x \ge 0, \\ -x, \text{ если } x < 0, \end{cases} x_0 = 0.$

а) Дана функция $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ x+1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. Необходимо построить её график и выяснить, является ли она непрерывной в точке $x_0=0$.

Построение графика:

1. При $x \ge 0$ функция имеет вид $y = x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой первого координатного угла. Графиком является луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и идущий вправо вверх. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

2. При $x < 0$ функция имеет вид $y = x+1$. Это прямая, параллельная прямой $y=x$, но сдвинутая на 1 единицу вверх. Графиком является луч, который заканчивается в точке $(0, 1)$, при этом сама точка $(0, 1)$ не принадлежит графику (изображается "выколотой" точкой).

График функции состоит из двух параллельных лучей, имеющих разрыв в точке $x=0$.

Проверка на непрерывность в точке $x_0=0$:

Функция $f(x)$ является непрерывной в точке $x_0$, если её предел в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, то есть $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Для этого необходимо, чтобы существовали и были равны друг другу левосторонний и правосторонний пределы, а также значение функции в точке: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$.

Проверим эти условия для нашей функции в точке $x_0=0$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=0$. Так как $0 \ge 0$, используем формулу $y=x$. Получаем $f(0) = 0$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0=0$.

Предел слева (при $x \to 0^-$, то есть $x < 0$): используем формулу $y=x+1$.

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+1) = 0+1=1$.

Предел справа (при $x \to 0^+$, то есть $x \ge 0$): используем формулу $y=x$.

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$.

Так как предел слева не равен пределу справа ($1 \ne 0$), общий предел функции $\lim_{x \to 0} f(x)$ не существует. Следовательно, условие непрерывности не выполнено.

В точке $x_0=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0 = 0$.

б) Дана функция $y = \begin{cases} x+1, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. Необходимо построить её график и выяснить, является ли она непрерывной в точке $x_0=0$.

Построение графика:

1. При $x \ge 0$ функция имеет вид $y = x+1$. Графиком является луч, выходящий из точки $(0, 1)$ (включая эту точку) и идущий вправо вверх.

2. При $x < 0$ функция имеет вид $y = -x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой второго координатного угла. Графиком является луч, который заканчивается в точке $(0, 0)$, при этом сама точка $(0, 0)$ не принадлежит графику (изображается "выколотой" точкой).

График функции состоит из двух лучей, имеющих разрыв в точке $x=0$.

Проверка на непрерывность в точке $x_0=0$:

Используем определение непрерывности функции в точке.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=0$. Так как $0 \ge 0$, используем формулу $y=x+1$. Получаем $f(0) = 0+1=1$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0=0$.

Предел слева (при $x \to 0^-$, то есть $x < 0$): используем формулу $y=-x$.

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = -0=0$.

Предел справа (при $x \to 0^+$, то есть $x \ge 0$): используем формулу $y=x+1$.

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x+1) = 0+1=1$.

Так как предел слева не равен пределу справа ($0 \ne 1$), общий предел функции $\lim_{x \to 0} f(x)$ не существует. Следовательно, условие непрерывности не выполнено.

В точке $x_0=0$ функция также имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0 = 0$.

12.4. Исследуйте функцию $y = f(x)$ на непрерывность:

а) $y = \frac{6}{3 - x}$;

б) $y = \frac{x}{2{,}5 + x}$;

в) $y = \frac{5}{x(x + 1)}$;

г) $y = \frac{x}{x^2 - 9}$.

а) Данная функция $y = \frac{6}{3 - x}$ является дробно-рациональной. Такие функции непрерывны на всей своей области определения. Область определения функции — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Найдем точки разрыва, решив уравнение знаменателя:

$3 - x = 0$

$x = 3$

Следовательно, в точке $x = 3$ функция не определена и терпит разрыв. На остальных числовых промежутках функция непрерывна.

Ответ: функция непрерывна на интервалах $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$ и имеет точку разрыва $x = 3$.

б) Функция $y = \frac{x}{2,5 + x}$ является дробно-рациональной и непрерывна на всей своей области определения. Найдем точки, в которых знаменатель равен нулю:

$2,5 + x = 0$

$x = -2,5$

Таким образом, функция имеет одну точку разрыва $x = -2,5$. На интервалах $(-\infty; -2,5)$ и $(-2,5; +\infty)$ функция непрерывна.

Ответ: функция непрерывна на интервалах $(-\infty; -2,5)$ и $(-2,5; +\infty)$ и имеет точку разрыва $x = -2,5$.

в) Функция $y = \frac{5}{x(x + 1)}$ является дробно-рациональной и непрерывна на всей своей области определения. Найдем точки разрыва, приравняв знаменатель к нулю:

$x(x + 1) = 0$

Решениями этого уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Следовательно, функция имеет две точки разрыва: $x = -1$ и $x = 0$. Функция непрерывна на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: функция непрерывна на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$ и имеет точки разрыва $x = -1$ и $x = 0$.

г) Функция $y = \frac{x}{x^2 - 9}$ является дробно-рациональной и непрерывна на всей своей области определения. Найдем точки разрыва, решив уравнение знаменателя:

$x^2 - 9 = 0$

$(x - 3)(x + 3) = 0$

Решениями этого уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Следовательно, функция имеет две точки разрыва: $x = -3$ и $x = 3$. Функция непрерывна на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: функция непрерывна на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$ и имеет точки разрыва $x = -3$ и $x = 3$.

12.5. Исследуйте функцию $y = f(x)$ на непрерывность:

a) $y = \frac{5}{\cos x}$;

б) $y = -\frac{2}{\sin x}$.

а) $y = \frac{5}{\cos x}$

Данная функция является частным двух непрерывных на всей числовой прямой функций: постоянной функции $y_1=5$ и тригонометрической функции $y_2=\cos x$. Следовательно, функция $y = \frac{5}{\cos x}$ непрерывна на всей своей области определения.

Область определения функции находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$\cos x \neq 0$

Решая уравнение $\cos x = 0$, находим точки, которые не входят в область определения:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти точки являются точками разрыва функции. Чтобы определить тип разрыва, исследуем поведение функции в окрестности этих точек. Найдем односторонние пределы. Для примера возьмем точку $x_0 = \frac{\pi}{2}$ (случай $k=0$).

Предел слева:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-} \frac{5}{\cos x} = +\infty$, так как при $x \to \frac{\pi}{2}$ с левой стороны (например, $x$ из интервала $(0, \frac{\pi}{2})$), $\cos x > 0$ и стремится к нулю.

Предел справа:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}+} \frac{5}{\cos x} = -\infty$, так как при $x \to \frac{\pi}{2}$ с правой стороны (например, $x$ из интервала $(\frac{\pi}{2}, \pi)$), $\cos x < 0$ и стремится к нулю.

Поскольку односторонние пределы в точках разрыва равны бесконечности, эти точки являются точками разрыва второго рода (бесконечными разрывами). На всех остальных интервалах, составляющих область определения, функция непрерывна.

Ответ: Функция непрерывна для всех $x$, кроме точек $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках функция имеет разрывы второго рода.

б) $y = -\frac{2}{\sin x}$

Эта функция также является частным двух непрерывных функций: $y_1=-2$ и $y_2=\sin x$. Поэтому она непрерывна везде, где определена.

Область определения функции задается условием $\sin x \neq 0$.

Найдем точки, в которых функция не определена:

$\sin x = 0$

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Данные точки являются точками разрыва. Определим их тип, вычислив односторонние пределы. Для примера возьмем точку $x_0 = 0$ (случай $k=0$).

Предел слева:

$\lim_{x \to 0-} \left(-\frac{2}{\sin x}\right) = +\infty$, так как при $x \to 0$ с левой стороны, $\sin x < 0$ и стремится к нулю, поэтому дробь $\frac{2}{\sin x}$ стремится к $-\infty$, а выражение $-\frac{2}{\sin x}$ стремится к $+\infty$.

Предел справа:

$\lim_{x \to 0+} \left(-\frac{2}{\sin x}\right) = -\infty$, так как при $x \to 0$ с правой стороны, $\sin x > 0$ и стремится к нулю, поэтому дробь $\frac{2}{\sin x}$ стремится к $+\infty$, а выражение $-\frac{2}{\sin x}$ стремится к $-\infty$.

Поскольку односторонние пределы в точках разрыва бесконечны, все точки вида $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, являются точками разрыва второго рода. Вне этих точек функция непрерывна.

Ответ: Функция непрерывна для всех $x$, кроме точек $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках функция имеет разрывы второго рода.

12.6. Найдите предел функции $y = f(x)$ при $x \to x_0$:

а) $f(x) = \frac{2x + x^2}{x - 2}$, $x \to 2$;

б) $f(x) = \frac{3x^2 + 2x - 1}{x + 1}$, $x \to -1$;

в) $f(x) = \frac{x^3 - 27}{x - 3}$, $x \to 3$;

г) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^4 - 16}$, $x \to 2$;

д) $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 5x + 4}$, $x \to 1$;

е) $f(x) = \frac{3x^2 - 4x - 4}{3x^2 - 7x - 6}$, $x \to -\frac{2}{3}$;

ж) $f(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$, $x \to 4$;

з) $f(x) = \frac{4x - x^3}{2x^2 + 3x - 2}$, $x \to -2$.

а) Найдем предел $\lim_{x \to 2} \frac{2x + x^2}{x - 2}$.

При подстановке значения $x = 2$ в функцию, числитель становится равным $2(2) + 2^2 = 4 + 4 = 8$, а знаменатель $2 - 2 = 0$. Мы получаем выражение вида $\frac{8}{0}$, что указывает на бесконечный предел. Чтобы определить поведение функции, рассмотрим односторонние пределы.

Предел справа, когда $x$ стремится к 2, оставаясь больше 2 (например, $x = 2.01$):

$\lim_{x \to 2^+} \frac{2x + x^2}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x(2+x)}{x-2} = \frac{2(2+2)}{+0} = \frac{8}{+0} = +\infty$.

Предел слева, когда $x$ стремится к 2, оставаясь меньше 2 (например, $x = 1.99$):

$\lim_{x \to 2^-} \frac{2x + x^2}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{x(2+x)}{x-2} = \frac{2(2+2)}{-0} = \frac{8}{-0} = -\infty$.

Поскольку односторонние пределы не равны (один равен $+\infty$, а другой $-\infty$), двусторонний предел в точке $x=2$ не существует.

Ответ: предел не существует.

б) Найдем предел $\lim_{x \to -1} \frac{3x^2 + 2x - 1}{x + 1}$.

При подстановке $x = -1$ в числитель получаем $3(-1)^2 + 2(-1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0$. В знаменателе получаем $-1 + 1 = 0$. Возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия разложим числитель на множители. Корнями квадратного уравнения $3x^2 + 2x - 1 = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 1/3$. Следовательно, $3x^2 + 2x - 1 = 3(x - (-1))(x - 1/3) = (x+1)(3x-1)$.

$\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(3x-1)}{x+1} = \lim_{x \to -1} (3x-1) = 3(-1) - 1 = -3 - 1 = -4$.

Ответ: -4.

в) Найдем предел $\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x - 3}$.

При подстановке $x = 3$ получаем $3^3 - 27 = 0$ в числителе и $3 - 3 = 0$ в знаменателе. Это неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2 + 3x + 3^2) = (x-3)(x^2 + 3x + 9)$.

$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x^2 + 3x + 9)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x^2 + 3x + 9) = 3^2 + 3(3) + 9 = 9 + 9 + 9 = 27$.

Ответ: 27.

г) Найдем предел $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^4 - 16}$.

При $x = 2$ получаем $2^2 - 4 = 0$ в числителе и $2^4 - 16 = 0$ в знаменателе. Неопределенность $\frac{0}{0}$. Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Числитель: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Знаменатель: $x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x-2)(x+2)(x^2 + 4)$.

$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)(x^2 + 4)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x^2 + 4} = \frac{1}{2^2 + 4} = \frac{1}{4+4} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

д) Найдем предел $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 5x + 4}$.

При $x = 1$ числитель равен $1^2 + 2(1) - 3 = 0$, знаменатель равен $1^2 - 5(1) + 4 = 0$. Неопределенность $\frac{0}{0}$. Разложим оба квадратных трехчлена на множители.

Числитель $x^2 + 2x - 3$: корни $x_1=1, x_2=-3$. Разложение: $(x-1)(x+3)$.

Знаменатель $x^2 - 5x + 4$: корни $x_1=1, x_2=4$. Разложение: $(x-1)(x-4)$.

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+3)}{(x-1)(x-4)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+3}{x-4} = \frac{1+3}{1-4} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $-\frac{4}{3}$.

е) Найдем предел $\lim_{x \to -2/3} \frac{3x^2 - 4x - 4}{3x^2 - 7x - 6}$.

При $x = -2/3$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$. Разложим числитель и знаменатель на множители. Так как $x = -2/3$ является корнем, то $(x + 2/3)$ или $(3x+2)$ является общим множителем.

Числитель $3x^2 - 4x - 4$: корни $x_1=2, x_2=-2/3$. Разложение: $3(x-2)(x+2/3) = (x-2)(3x+2)$.

Знаменатель $3x^2 - 7x - 6$: корни $x_1=3, x_2=-2/3$. Разложение: $3(x-3)(x+2/3) = (x-3)(3x+2)$.

$\lim_{x \to -2/3} \frac{(x-2)(3x+2)}{(x-3)(3x+2)} = \lim_{x \to -2/3} \frac{x-2}{x-3} = \frac{-2/3 - 2}{-2/3 - 3} = \frac{-2/3 - 6/3}{-2/3 - 9/3} = \frac{-8/3}{-11/3} = \frac{8}{11}$.

Ответ: $\frac{8}{11}$.

ж) Найдем предел $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$.

При $x = 4$ получаем $\frac{\sqrt{4}-2}{4-4} = \frac{0}{0}$. Это неопределенность. Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $(\sqrt{x}+2)$.

$\lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

з) Найдем предел $\lim_{x \to -2} \frac{4x - x^3}{2x^2 + 3x - 2}$.

При $x = -2$ числитель равен $4(-2) - (-2)^3 = -8 - (-8) = 0$. Знаменатель равен $2(-2)^2 + 3(-2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$. Неопределенность $\frac{0}{0}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $4x - x^3 = x(4 - x^2) = x(2-x)(2+x)$.

Знаменатель $2x^2 + 3x - 2$: корни $x_1=1/2, x_2=-2$. Разложение: $2(x-1/2)(x+2) = (2x-1)(x+2)$.

$\lim_{x \to -2} \frac{x(2-x)(2+x)}{(2x-1)(x+2)} = \lim_{x \to -2} \frac{x(2-x)}{2x-1} = \frac{-2(2-(-2))}{2(-2)-1} = \frac{-2(4)}{-4-1} = \frac{-8}{-5} = \frac{8}{5}$.

Ответ: $\frac{8}{5}$.

12.7. Постройте график функции $y = f(x)$. Выясните, является ли функция в точке $x_0$ непрерывной:

a) $f(x) = \begin{cases} -3, \text{ если } x < 0, \\ x, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} -x^2, \text{ если } x < 0, \\ x^2 + 2, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

в) $f(x) = \begin{cases} \cos x, \text{ если } 0 < x < \frac{\pi}{2}, \\ x - 4, \text{ если } x \le 0; \end{cases}$

г) $f(x) = \begin{cases} \operatorname{tg} x, \text{ если } -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{4}, \\ x - \frac{\pi}{4}, \text{ если } x \ge \frac{\pi}{4}. \end{cases}$

а) $f(x) = \begin{cases} -3, & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

1. Построение графика.

График функции состоит из двух частей.

При $x < 0$ функция равна $y = -3$. Это луч, параллельный оси Ox, лежащий в третьей и второй координатных четвертях. Точка $(0, -3)$ не принадлежит этому лучу, поэтому мы отмечаем ее "выколотой" (пустым кружком).

При $x \ge 0$ функция равна $y = x$. Это луч, выходящий из начала координат под углом $45^\circ$ к положительному направлению оси Ox. Точка $(0, 0)$ принадлежит этому лучу, так как неравенство нестрогое, и мы отмечаем ее "закрашенной" (сплошным кружком).

2. Проверка на непрерывность в точке $x_0 = 0$.

Функция является непрерывной в точке $x_0$, если выполнены три условия:

1) Функция определена в точке $x_0$, то есть $f(x_0)$ существует.

2) Существует предел функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x)$. Это означает, что левосторонний и правосторонний пределы равны: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$.

3) Предел функции в точке равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Проверим эти условия для точки $x_0 = 0$:

1) Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$. Согласно определению, при $x \ge 0$ используется формула $f(x)=x$. Следовательно, $f(0) = 0$. Функция определена в точке $x_0 = 0$.

2) Найдем односторонние пределы:

Левосторонний предел (при $x \to 0$ слева, т.е. $x < 0$):$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-3) = -3 $.

Правосторонний предел (при $x \to 0$ справа, т.е. $x > 0$):$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x) = 0 $.

3) Так как левосторонний предел ($-3$) не равен правостороннему пределу ($0$), то общий предел $\lim_{x \to 0} f(x)$ не существует.

Поскольку второе условие непрерывности не выполнено, функция не является непрерывной в точке $x_0 = 0$. В этой точке функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция разрывна в точке $x_0 = 0$.

б) $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x < 0 \\ x^2 + 2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

1. Построение графика.

График функции состоит из двух частей.

При $x < 0$ функция равна $y = -x^2$. Это левая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$. Точка $(0, 0)$ не принадлежит этой части графика, поэтому отмечаем ее "выколотой".

При $x \ge 0$ функция равна $y = x^2 + 2$. Это правая ветвь параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 2)$. Точка $(0, 2)$ принадлежит этой части графика, так как неравенство нестрогое, и мы отмечаем ее "закрашенной".

2. Проверка на непрерывность в точке $x_0 = 0$.

Проверим условия непрерывности в точке $x_0 = 0$:

1) Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$. При $x \ge 0$ используется формула $f(x)=x^2+2$. Следовательно, $f(0) = 0^2 + 2 = 2$. Функция определена в точке $x_0 = 0$.

2) Найдем односторонние пределы:

Левосторонний предел (при $x < 0$):$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x^2) = -0^2 = 0 $.

Правосторонний предел (при $x > 0$):$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 + 2) = 0^2 + 2 = 2 $.

3) Так как левосторонний предел ($0$) не равен правостороннему пределу ($2$), то общий предел $\lim_{x \to 0} f(x)$ не существует.

Функция не является непрерывной в точке $x_0 = 0$. В этой точке функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция разрывна в точке $x_0 = 0$.

в) $f(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{если } 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ x - 4, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$

1. Построение графика.

График функции состоит из двух частей. Точка, где меняется определение функции, - это $x_0 = 0$.

При $x \le 0$ функция равна $y = x - 4$. Это луч прямой линии с наклоном 1, проходящий через точку $(0, -4)$. Точка $(0, -4)$ принадлежит этому лучу, поэтому она "закрашенная".

При $0 < x < \frac{\pi}{2}$ функция равна $y = \cos x$. Это часть графика косинусоиды на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$. Граничные точки интервала не включены, поэтому точки $(0, \cos 0) = (0, 1)$ и $(\frac{\pi}{2}, \cos \frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2}, 0)$ будут "выколотыми".

2. Проверка на непрерывность в точке $x_0 = 0$.

Проверим условия непрерывности в точке $x_0 = 0$:

1) Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$. При $x \le 0$ используется формула $f(x)=x-4$. Следовательно, $f(0) = 0 - 4 = -4$. Функция определена в точке $x_0 = 0$.

2) Найдем односторонние пределы:

Левосторонний предел (при $x < 0$):$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x - 4) = 0 - 4 = -4 $.

Правосторонний предел (при $x > 0$):$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (\cos x) = \cos(0) = 1 $.

3) Так как левосторонний предел ($-4$) не равен правостороннему пределу ($1$), то общий предел $\lim_{x \to 0} f(x)$ не существует.

Функция не является непрерывной в точке $x_0 = 0$. В этой точке функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция разрывна в точке $x_0 = 0$.

г) $f(x) = \begin{cases} \tg x, & \text{если } -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{4} \\ x - \frac{\pi}{4}, & \text{если } x \ge \frac{\pi}{4} \end{cases}$

1. Построение графика.

График функции состоит из двух частей. Точка, где меняется определение функции, - это $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

При $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{4}$ функция равна $y = \tg x$. Это часть графика тангенса. При $x \to -\frac{\pi}{2}$ справа, $y \to -\infty$ (вертикальная асимптота). Точка $(\frac{\pi}{4}, \tg \frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4}, 1)$ не принадлежит этой части графика, поэтому она "выколотая".

При $x \ge \frac{\pi}{4}$ функция равна $y = x - \frac{\pi}{4}$. Это луч прямой линии с наклоном 1. В начальной точке $x = \frac{\pi}{4}$ имеем $y = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$. Точка $(\frac{\pi}{4}, 0)$ принадлежит этому лучу и является "закрашенной".

2. Проверка на непрерывность в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Проверим условия непрерывности в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

1) Найдем значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$. При $x \ge \frac{\pi}{4}$ используется формула $f(x)=x-\frac{\pi}{4}$. Следовательно, $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$. Функция определена в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

2) Найдем односторонние пределы:

Левосторонний предел (при $x < \frac{\pi}{4}$):$ \lim_{x \to (\frac{\pi}{4})^-} f(x) = \lim_{x \to (\frac{\pi}{4})^-} (\tg x) = \tg(\frac{\pi}{4}) = 1 $.

Правосторонний предел (при $x > \frac{\pi}{4}$):$ \lim_{x \to (\frac{\pi}{4})^+} f(x) = \lim_{x \to (\frac{\pi}{4})^+} (x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0 $.

3) Так как левосторонний предел ($1$) не равен правостороннему пределу ($0$), то общий предел $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} f(x)$ не существует.

Функция не является непрерывной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$. В этой точке функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция разрывна в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.