Страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3. Если наступление одного события исключает наступление другого, то такие события называются:

А) достоверными;

В) невозможными;

С) несовместимыми;

D) противоположными;

Е) равновозможными.

В теории вероятностей события, которые не могут произойти одновременно в рамках одного и того же случайного эксперимента, называются несовместимыми. Это означает, что если одно из таких событий наступает, то другое в этом же испытании наступить уже не может. Определение, данное в вопросе, полностью соответствует этому термину.

Проанализируем все предложенные варианты:

A) достоверными;

Достоверное событие — это такое событие, которое в результате испытания произойдет со 100% вероятностью ($P=1$). Этот термин характеризует одно событие, а не их взаимоисключающую природу.

B) невозможными;

Невозможное событие — это событие, которое не может произойти ни при каких условиях в данном испытании ($P=0$). Этот термин также описывает одно событие.

C) несовместимыми;

Это правильный ответ. Несовместимые события — это два или более события, одновременное наступление которых невозможно. Например, при броске игральной кости выпадение "четного числа" и "5" — несовместимые события. Если произошло одно, другое произойти не может. Математически для двух несовместимых событий $A$ и $B$ вероятность их совместного появления равна нулю: $P(A \cap B) = 0$.

D) противоположными;

Противоположные события являются частным случаем несовместимых. Событие $\overline{A}$ (не-A) является противоположным событию $A$, если оно происходит только тогда, когда не происходит $A$. Противоположные события не просто несовместимы, они еще и образуют полную группу, то есть одно из них обязательно произойдет. Например, "выпадение орла" и "выпадение решки" при броске монеты. Однако термин "несовместимые" является более общим и точно описывает условие задачи.

E) равновозможными.

Равновозможные события — это события, которые имеют одинаковые шансы на наступление. Например, выпадение любой грани при броске идеальной игральной кости. Этот термин относится к вероятностям событий, а не к их взаимосвязи.

Исходя из анализа, верным является вариант C.

Ответ: C) несовместимыми;

4. Вероятность появления невозможного события равна:

A) 1;

B) 0;

C) -1;

D) неположительному числу;

E) отрицательному числу.

В теории вероятностей, вероятность любого события $A$, обозначаемая как $P(A)$, представляет собой число, которое характеризует степень возможности наступления этого события. По аксиомам теории вероятностей, значение вероятности всегда находится в пределах от 0 до 1 включительно, что математически выражается как $0 \le P(A) \le 1$.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти ни при каких обстоятельствах в рамках данного эксперимента. Например, выпадение числа 7 при броске стандартного шестигранного кубика является невозможным событием.

Согласно классическому определению вероятности, вероятность события вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих данному событию ($m$), к общему числу всех равновозможных исходов ($n$):$P(A) = \frac{m}{n}$.Для невозможного события число благоприятствующих исходов $m$ равно 0. Таким образом, его вероятность всегда будет равна:$P(\text{невозможное событие}) = \frac{0}{n} = 0$.

Рассмотрим предложенные варианты:

A) 1;Вероятность, равная 1, соответствует достоверному событию, то есть событию, которое обязательно произойдет. Это противоположность невозможному событию.

B) 0;Вероятность, равная 0, по определению соответствует невозможному событию. Это правильный ответ.

C) -1;Вероятность не может быть отрицательным числом. Значение вероятности всегда неотрицательно.

D) неположительному числу;Неположительное число — это любое число, которое меньше или равно нулю ($x \le 0$). Хотя 0 и является правильным значением, этот вариант неточен, поскольку он включает и все отрицательные числа, которыми вероятность быть не может.

E) отрицательному числу.Как уже упоминалось, вероятность не может быть отрицательной.

Таким образом, единственно верным и точным значением вероятности появления невозможного события является 0.

Ответ: B) 0

5. В корзине лежат 3 белых и 12 красных шаров. Из корзины вынимается один шар. Вероятность того, что взятый шар окажется красным, равна:

A) $0,7$; B) $0,2$; C) $0,8$; D) $0,75$; E) $0,4$.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$.

Формула выглядит так: $P = \frac{m}{n}$.

1. Найдем общее число всех возможных исходов ($n$). Это общее количество шаров в корзине. Сложим количество белых и красных шаров:

$n = 3 (\text{белых}) + 12 (\text{красных}) = 15 (\text{всего шаров})$.

2. Найдем число благоприятных исходов ($m$). Благоприятным исходом является вынимание красного шара. Количество красных шаров в корзине равно 12.

$m = 12$.

3. Теперь рассчитаем вероятность того, что взятый шар окажется красным, подставив найденные значения в формулу:

$P(\text{красный}) = \frac{m}{n} = \frac{12}{15}$.

4. Для сравнения с вариантами ответа, преобразуем полученную дробь в десятичное число. Сначала сократим дробь на 3:

$\frac{12}{15} = \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5}$.

Теперь переведем дробь в десятичный формат:

$\frac{4}{5} = 0,8$.

Таким образом, вероятность вынуть красный шар равна 0,8. Этот результат соответствует варианту ответа C.

Ответ: 0,8.

6. В корзине лежат $3$ белых и $12$ красных шаров. Из корзины вынимается один шар. Вероятность того, что взятый шар окажется белым, равна:

A) $0,7$; B) $0,2$; C) $0,8$; D) $0,75$; E) $0,4$.

Для решения задачи воспользуемся классической формулой вероятности, согласно которой вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Формула вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где:

$m$ – это число благоприятных исходов (событий, которые нас интересуют).

$N$ – это общее число всех возможных исходов.

1. Найдем общее число исходов ($N$).

В корзине находятся белые и красные шары. Общее количество шаров равно сумме белых и красных шаров:

$N = 3 \text{ (белых)} + 12 \text{ (красных)} = 15$ шаров.

Таким образом, общее число возможных исходов при вынимании одного шара равно 15.

2. Найдем число благоприятных исходов ($m$).

Благоприятным исходом является событие, при котором вынутый шар оказывается белым. В корзине лежит 3 белых шара.

Следовательно, число благоприятных исходов $m = 3$.

3. Рассчитаем вероятность.

Подставим значения $m$ и $N$ в формулу вероятности:

$P(\text{белый шар}) = \frac{m}{N} = \frac{3}{15}$

4. Преобразуем результат в десятичную дробь.

Сократим дробь $\frac{3}{15}$ на 3:

$\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

Теперь переведем дробь $\frac{1}{5}$ в десятичный формат:

$\frac{1}{5} = 0,2$

Таким образом, вероятность того, что взятый шар окажется белым, равна 0,2. Этот результат соответствует варианту ответа B).

Ответ: B) 0,2.

7. В корзине лежат 9 желтых, 9 белых и 12 красных шаров. Из корзины вынимается один шар. Вероятность того, что взятый шар окажется не белым, равна:

A) 0,7;

B) 0,2;

C) 0,8;

D) 0,75;

E) 0,4.

Для решения задачи по теории вероятностей, в первую очередь, необходимо определить общее количество шаров в корзине, что представляет собой общее число возможных исходов.

1. Найдем общее количество шаров. В корзине находятся:

- 9 желтых шаров;

- 9 белых шаров;

- 12 красных шаров.

Общее число шаров $N$ равно сумме всех шаров: $N = 9 + 9 + 12 = 30$.

2. Определим количество благоприятных исходов. Нам нужно найти вероятность того, что взятый шар окажется не белым. Это означает, что он может быть либо желтым, либо красным. Количество таких шаров $m$ равно:$m = 9 (\text{желтых}) + 12 (\text{красных}) = 21$.

3. Вычислим вероятность. Вероятность $P$ события вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу исходов $N$:$P = \frac{m}{N}$

Подставив наши значения, получаем:$P = \frac{21}{30}$

Чтобы получить ответ в виде десятичной дроби, сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:$P = \frac{21 \div 3}{30 \div 3} = \frac{7}{10} = 0,7$

Таким образом, вероятность того, что извлеченный шар будет не белым, составляет 0,7. Этот результат соответствует варианту А).

Ответ: 0,7.

8. Если бросить монету и кубик, то найдите вероятность того, что монета упадет гербом вверх и вместе с тем на кубике выпадет число, являющееся делителем числа 12:

A) $ \frac{7}{6} $; B) $ \frac{5}{6} $; C) 1; D) 0,75; E) 0,5.

Для нахождения вероятности одновременного наступления двух независимых событий необходимо перемножить их вероятности. В данной задаче мы имеем два независимых события: бросок монеты и бросок игрального кубика.

1. Вероятность выпадения герба на монете.

У монеты есть две стороны: герб и решка. Это означает, что существует два возможных равновероятных исхода. Нам нужен исход, когда монета падает гербом вверх. Это один благоприятный исход. Вероятность этого события, обозначим её $P(A)$, равна:

$P(A) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{1}{2}$

2. Вероятность выпадения на кубике числа, являющегося делителем 12.

Стандартный игральный кубик имеет шесть граней с числами {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Общее количество исходов при броске кубика равно 6.

Теперь найдём, какие из этих чисел являются делителями числа 12. Делителями числа 12 являются числа, на которые 12 делится без остатка. Это: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Из этого списка на гранях кубика присутствуют следующие числа: {1, 2, 3, 4, 6}.

Таким образом, количество благоприятных исходов равно 5. Вероятность этого события, обозначим её $P(B)$, равна:

$P(B) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{5}{6}$

3. Итоговая вероятность.

Поскольку бросок монеты и бросок кубика — это независимые события, вероятность того, что они произойдут одновременно, вычисляется как произведение их вероятностей:

$P(A \text{ и } B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{12}$

Ответ: $\frac{5}{12}$

9. Кубик бросают дважды. Какова вероятность того, что первым выпадет число 5, а вторым — четное число:

A) $ \frac{7}{6} $;

B) $ \frac{1}{12} $;

C) $1$ ;

D) $0,75$ ;

E) $0,5$?

Для решения этой задачи необходимо определить вероятность наступления двух независимых событий. Стандартный игральный кубик имеет 6 граней (1, 2, 3, 4, 5, 6).

1. Найдем вероятность первого события: "при первом броске выпадет число 5".

На кубике только одна грань с числом 5. Всего возможных исходов при одном броске — 6. Вероятность этого события ($P_1$) рассчитывается как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P_1 = \frac{1}{6}$

2. Найдем вероятность второго события: "при втором броске выпадет четное число".

Четными числами на кубике являются 2, 4 и 6. То есть, у нас есть 3 благоприятных исхода. Общее число исходов также равно 6. Вероятность этого события ($P_2$) равна:

$P_2 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

3. Рассчитаем итоговую вероятность.

Поскольку результаты двух бросков не зависят друг от друга, они являются независимыми событиями. Вероятность того, что оба события произойдут, равна произведению их отдельных вероятностей:

$P = P_1 \times P_2 = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту B.

Ответ: B) $\frac{1}{12}$