Страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. В каких случаях можно найти вероятность события без проведения испытаний?

2. Какие значения принимает вероятность события?

1. В каких случаях можно найти вероятность события без проведения испытаний?

Вероятность события можно найти без проведения реальных физических испытаний (экспериментов) в тех случаях, когда мы можем построить математическую модель случайного явления и применить теоретические подходы к расчету вероятности. Основными такими случаями являются:

Классическое определение вероятности: Этот подход применим, если выполняются два ключевых условия:

1. Конечное число исходов: Общее количество всех возможных результатов (элементарных исходов) испытания можно сосчитать, и оно является конечным числом.

2. Равновозможность исходов: Все элементарные исходы являются равновозможными, то есть нет никаких оснований считать, что какой-то один исход будет происходить чаще других. Примерами могут служить подбрасывание симметричной монеты, бросок идеального игрального кубика, вытягивание карты из хорошо перемешанной колоды.

В этом случае вероятность события $A$ вычисляется по формуле:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где $n$ — это общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число элементарных исходов, которые благоприятствуют наступлению события $A$.

Например, для нахождения вероятности выпадения «орла» при броске монеты не нужно ее бросать. Мы знаем, что есть $n=2$ равновозможных исхода («орел» и «решка»), и событию «выпал орел» благоприятствует $m=1$ исход. Следовательно, вероятность равна $P = \frac{1}{2}$.

Геометрическое определение вероятности: Этот подход используется, когда множество всех возможных исходов бесконечно и его можно представить в виде некоторой геометрической фигуры (отрезка, части плоскости, тела в пространстве). Вероятность попадания в некоторую область внутри этой фигуры определяется как отношение мер (длины, площади, объема) этой области к мере всей фигуры. Например, вероятность того, что случайная точка, брошенная в квадрат, попадет в круг, вписанный в этот квадрат.

Ответ: Вероятность события можно найти без проведения испытаний в случаях, когда применима модель классической вероятности (конечное число равновозможных исходов) или модель геометрической вероятности.

2. Какие значения принимает вероятность события?

Вероятность любого события — это безразмерная величина, которая может принимать любое значение от 0 до 1 включительно. Это можно выразить математически с помощью двойного неравенства для любого события $A$:

$0 \le P(A) \le 1$

Рассмотрим крайние значения:

• $P(A) = 0$: Такое значение соответствует невозможному событию. Это событие, которое не может произойти ни при каких обстоятельствах в рамках данного эксперимента. Например, вероятность вытянуть белый шар из урны, в которой находятся только черные шары, равна нулю.
• $P(A) = 1$: Такое значение соответствует достоверному событию. Это событие, которое обязательно произойдет в результате эксперимента. Например, вероятность того, что при броске стандартного игрального кубика выпадет число от 1 до 6, равна единице.

Если событие является случайным, то есть оно может как произойти, так и не произойти, его вероятность будет строго больше 0 и строго меньше 1. Например, вероятность выпадения четного числа при броске кубика равна $\frac{3}{6} = 0.5$, что находится в интервале $(0, 1)$.

Ответ: Вероятность события принимает значения в диапазоне от 0 до 1 включительно. 0 для невозможного события, 1 для достоверного события и число между 0 и 1 для случайного события.

10.1. При бросании игрального кубика выпадает одна из цифр от 1 до 6. Найдите вероятность события:

1) выпадает цифра 3;

2) выпадает цифра 2 или 3;

3) выпадает цифра 1 или 5;

4) выпадает нечетная цифра.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. При бросании стандартного игрального кубика существует 6 равновероятных исходов (выпадение чисел от 1 до 6). Таким образом, общее число элементарных исходов $n=6$.

Вероятность события A вычисляется по формуле: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число исходов.

1) выпадет цифра 3

В этом случае событию благоприятствует только один исход — выпадение цифры 3. Следовательно, число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность данного события: $P = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

2) выпадет цифра 2 или 3

Событию благоприятствуют два исхода: выпадение цифры 2 или выпадение цифры 3. Таким образом, число благоприятных исходов $m=2$.

Вероятность данного события: $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3) выпадет цифра 1 или 5

Событию благоприятствуют два исхода: выпадение цифры 1 или выпадение цифры 5. Таким образом, число благоприятных исходов $m=2$.

Вероятность данного события: $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

4) выпадет нечетная цифра

Нечетными цифрами на гранях кубика являются 1, 3 и 5. Этому событию благоприятствуют три исхода. Следовательно, число благоприятных исходов $m=3$.

Вероятность данного события: $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

10.2. В урне 3 белых и 7 красных шаров. Найдите вероятность того,
что наудачу извлеченный из урны шар окажется:

а) белый;

б) красный.

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события вычисляется по формуле: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех возможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В урне находится 3 белых и 7 красных шаров. Найдем общее число шаров в урне:

$n = 3 + 7 = 10$

Таким образом, общее число возможных исходов при извлечении одного шара равно 10.

а) белый;

Событие A заключается в том, что извлеченный шар окажется белым. Число благоприятствующих этому событию исходов $m$ равно количеству белых шаров в урне, то есть $m = 3$.

Найдем вероятность этого события:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{3}{10} = 0,3$

Ответ: 0,3.

б) красный.

Событие B заключается в том, что извлеченный шар окажется красным. Число благоприятствующих этому событию исходов $m$ равно количеству красных шаров в урне, то есть $m = 7$.

Найдем вероятность этого события:

$P(B) = \frac{m}{n} = \frac{7}{10} = 0,7$

Ответ: 0,7.

10.3. В урне 2 красных и 6 синих шаров. Найдите вероятность того, что наудачу извлеченный из урны шар окажется:

a) красный;

б) синий.

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных для этого события исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Формула вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число всех возможных исходов.

Сначала определим общее число шаров в урне, что будет соответствовать общему числу возможных исходов $n$.

В урне 2 красных и 6 синих шаров.

Общее количество шаров: $n = 2 + 6 = 8$.

Таким образом, общее число исходов равно 8.

а) красный

Найдем вероятность того, что наудачу извлеченный из урны шар окажется красным.

Число благоприятных исходов $m$ для этого события равно количеству красных шаров, то есть $m = 2$.

Вероятность извлечь красный шар вычисляется как:

$P(\text{красный}) = \frac{m}{n} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) синий

Найдем вероятность того, что наудачу извлеченный из урны шар окажется синим.

Число благоприятных исходов $m$ для этого события равно количеству синих шаров, то есть $m = 6$.

Вероятность извлечь синий шар вычисляется как:

$P(\text{синий}) = \frac{m}{n} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

10.4. В классе 30 учащихся, из которых 6 учатся на отлично, 16 — на хорошо. Какова вероятность того, что наугад вызванный к доске учащийся:

a) отличник или ударник;

б) не является отличником?

Для решения задачи используем классическое определение вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется по формуле $P = m/n$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих данному событию.

Всего в классе 30 учащихся, следовательно, общее число равновозможных исходов $n = 30$.

а) отличник или ударник;

Пусть событие A заключается в том, что к доске вызвали отличника или ударника (учащегося на "хорошо").

Число отличников в классе равно 6.

Число ударников (учащихся на "хорошо") равно 16.

Число исходов, благоприятствующих событию A, равно сумме числа отличников и числа ударников, так как это непересекающиеся группы учащихся:

$m = 6 + 16 = 22$.

Теперь вычислим вероятность события A:

$P(A) = m/n = 22/30$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$P(A) = 11/15$.

Ответ: $11/15$.

б) не является отличником?

Пусть событие B заключается в том, что вызванный к доске учащийся не является отличником.

Чтобы найти число учащихся, которые не являются отличниками, нужно из общего числа учащихся вычесть число отличников.

Число благоприятствующих событию B исходов:

$m = 30 - 6 = 24$.

Теперь вычислим вероятность события B:

$P(B) = m/n = 24/30$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 6:

$P(B) = 4/5$.

Ответ: $4/5$.