Страница 63 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Чем отличается решение тригонометрического неравенства от решения алгебраического неравенства?

2. Имеется ли сходство между решением тригонометрического неравенства и тригонометрического уравнения? Ответ обоснуйте.

3. Применяются ли при решении тригонометрических неравенств свойства тригонометрических функций?

1. Основное отличие решения тригонометрического неравенства от алгебраического заключается в характере множества решений, что обусловлено свойствами функций, входящих в неравенство.

Во-первых, тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и т.д.) являются периодическими. Это означает, что если какой-либо интервал является решением неравенства, то существует бесконечное множество таких интервалов, получаемых сдвигом исходного на целое число периодов. Например, решение неравенства $\sin x > 1/2$ имеет вид $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. Решение алгебраического неравенства, например $x^2 - 1 > 0$, представляет собой конечное число интервалов (здесь $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$) и не повторяется периодически.

Во-вторых, тригонометрические функции, такие как синус и косинус, ограничены. Их значения лежат в отрезке $[-1, 1]$. Это свойство может сразу определить, имеет ли неравенство решение. Например, неравенство $\cos x > 3$ не имеет решений, а неравенство $\sin x < 2$ выполняется для любого значения $x$. Алгебраические функции (например, многочлены) обычно не ограничены.

В-третьих, методы решения отличаются. Для алгебраических неравенств часто используется метод интервалов на числовой прямой. Для тригонометрических — графический метод (с использованием графика функции) или метод с использованием тригонометрической окружности, на которой отмечаются дуги, соответствующие решению, с последующим обобщением с учетом периода.

Ответ: Главное отличие состоит в том, что из-за периодичности тригонометрических функций их решения, как правило, представляют собой бесконечную совокупность интервалов, в то время как решения алгебраических неравенств обычно являются конечным набором интервалов.

2. Да, между решением тригонометрического неравенства и тригонометрического уравнения существует значительное сходство. Оно заключается в том, что первым шагом при решении большинства тригонометрических неравенств является решение соответствующего тригонометрического уравнения.

Обоснование: Рассмотрим неравенство вида $f(x) > 0$ (или $f(x) < 0$, $f(x) \ge 0$, $f(x) \le 0$), где $f(x)$ — тригонометрическое выражение. Чтобы найти интервалы, на которых функция $f(x)$ сохраняет знак (положительна или отрицательна), нужно сначала найти точки, в которых она может менять знак. Такими точками являются корни уравнения $f(x) = 0$.

Например, чтобы решить неравенство $\cos x \le 1/2$, мы сначала решаем уравнение $\cos x = 1/2$. Его решения $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти точки разбивают тригонометрическую окружность (или числовую прямую) на интервалы. Далее, выбрав пробную точку в каждом из этих интервалов, мы определяем, где выполняется исходное неравенство. Таким образом, найденные корни уравнения служат границами для искомых интервалов-решений неравенства. Этот подход является аналогом метода интервалов, применяемого в алгебре.

Ответ: Да, сходство есть. Решение соответствующего тригонометрического уравнения является ключевым этапом в решении тригонометрического неравенства, так как его корни определяют границы интервалов, на которых нужно искать решения неравенства.

3. Да, при решении тригонометрических неравенств активно применяются свойства тригонометрических функций. Без их использования решение было бы невозможным или крайне затруднительным. Ключевые свойства, которые используются: периодичность (самое важное свойство, позволяющее обобщить решение, найденное на одном периоде, на всю числовую прямую); ограниченность (свойство $|\sin x| \le 1$ и $|\cos x| \le 1$ позволяет сразу делать выводы о наличии или отсутствии решений, как в случаях $\sin x > 1$ или $\cos x \ge -1$); монотонность (знание промежутков возрастания и убывания функции помогает при сравнении аргументов); четность и нечетность (например, $\cos(-x) = \cos x$ и $\sin(-x) = -\sin x$ используются для упрощения выражений); тригонометрические тождества (формулы приведения, двойного угла, основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и т.д. применяются для преобразования неравенства к более простому виду).

Ответ: Да, безусловно применяются. Свойства периодичности, ограниченности, монотонности, четности/нечетности и различные тригонометрические тождества являются фундаментальным инструментом при решении тригонометрических неравенств.

Решите неравенства (9.1–9.2):

9.1. а) $ \sin x > 0 $; б) $ \cos x \le 0 $; в) $ \operatorname{tg} x < 0 $; г) $ \operatorname{ctg} x > 0 $.

а) $ \sin x > 0 $

Синус угла $x$ — это ордината (координата y) точки на единичной окружности. Неравенство $ \sin x > 0 $ выполняется для всех точек, у которых ордината положительна. Эти точки расположены в I и II координатных четвертях.

На единичной окружности это соответствует дуге от 0 до $ \pi $ радиан. Так как неравенство строгое, концы интервала (точки 0 и $ \pi $, где $ \sin x = 0 $) не включаются в решение.

Таким образом, для одного оборота решение имеет вид $ 0 < x < \pi $.

Учитывая, что функция синуса периодична с периодом $ 2\pi $, общее решение неравенства можно записать, добавив к концам интервала $ 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

$ 0 + 2\pi k < x < \pi + 2\pi k $

Ответ: $ x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos x \le 0 $

Косинус угла $x$ — это абсцисса (координата x) точки на единичной окружности. Неравенство $ \cos x \le 0 $ выполняется для всех точек, у которых абсцисса отрицательна или равна нулю. Эти точки расположены во II и III координатных четвертях, а также на оси ординат.

На единичной окружности это соответствует дуге от $ \pi/2 $ до $ 3\pi/2 $ радиан. Так как неравенство нестрогое, концы интервала (точки $ \pi/2 $ и $ 3\pi/2 $, где $ \cos x = 0 $) включаются в решение.

Таким образом, для одного оборота решение имеет вид $ \pi/2 \le x \le 3\pi/2 $.

Функция косинуса периодична с периодом $ 2\pi $. Добавляя $ 2\pi k $ ($ k \in \mathbb{Z} $) к концам интервала, получаем общее решение.

$ \pi/2 + 2\pi k \le x \le 3\pi/2 + 2\pi k $

Ответ: $ x \in [\pi/2 + 2\pi k, 3\pi/2 + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \tan x \le 0 $

Тангенс определяется как $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $. Неравенство $ \tan x \le 0 $ выполняется, когда $ \sin x $ и $ \cos x $ имеют разные знаки, или когда $ \sin x = 0 $ (что влечет $ \tan x = 0 $). Это происходит во II и IV координатных четвертях.

Функция тангенса периодична с периодом $ \pi $. Рассмотрим один из ее промежутков определения, например, $ (-\pi/2, \pi/2) $. В этом промежутке $ \tan x \le 0 $ при $ x \in (-\pi/2, 0] $. При $ x = -\pi/2 $ тангенс не определен, поэтому эта точка исключается. При $ x = 0 $, $ \tan 0 = 0 $, что удовлетворяет неравенству, поэтому точка включается.

Чтобы получить общее решение, добавим к концам этого интервала период $ \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ -\pi/2 + \pi k < x \le 0 + \pi k $

Ответ: $ x \in (-\pi/2 + \pi k, \pi k], k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \cot x > 0 $

Котангенс определяется как $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $. Неравенство $ \cot x > 0 $ выполняется, когда $ \sin x $ и $ \cos x $ имеют одинаковые знаки. Это происходит в I и III координатных четвертях.

Функция котангенса периодична с периодом $ \pi $. Рассмотрим один из ее промежутков определения, например, $ (0, \pi) $. В этом промежутке $ \cot x > 0 $ в I четверти, то есть при $ x \in (0, \pi/2) $. Неравенство строгое, поэтому точки, где $ \cot x = 0 $ ($ x = \pi/2 $) или где он не определен ($ x = 0, x = \pi $), не включаются в решение.

Чтобы получить общее решение, добавим к концам интервала $ (0, \pi/2) $ период $ \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ 0 + \pi k < x < \pi/2 + \pi k $

Ответ: $ x \in (\pi k, \pi/2 + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

9.2. a) $\sin x \ge 0.5$;

б) $2\cos x \ge -\sqrt{3}$;

в) $\sin x \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $-3\operatorname{tg}x \le \sqrt{3}$;

д) $\sin 3x > -\frac{1}{2}$;

e) $\cos 2x < -\frac{1}{2}$;

ж) $\operatorname{tg} 5x \ge -1$;

з) $\operatorname{ctg} 4x \le -1$.

а) $\sin x \ge 0,5$

Сначала найдем корни уравнения $\sin x = 0,5$. Это табличные значения, $\sin x = \frac{1}{2}$ при $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. На тригонометрической окружности значения синуса соответствуют ординате (координате y). Нам нужны точки, у которых ордината больше или равна $\frac{1}{2}$. Эти точки лежат на дуге, заключенной между углами $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. Учитывая периодичность синуса (период $2\pi$), общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos x \ge -\sqrt{3}$

Разделим обе части неравенства на 2: $\cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Решим уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Корни этого уравнения: $x = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$ и $x = -\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{5\pi}{6}$. На тригонометрической окружности значения косинуса соответствуют абсциссе (координате x). Нам нужны точки, у которых абсцисса больше или равна $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эти точки лежат на дуге, заключенной между углами $-\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. Период косинуса равен $2\pi$, поэтому общее решение: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin x \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Сначала решим уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Корни: $x = \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \pi - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3}$. На одном круге это также соответствует углу $-\frac{2\pi}{3}$. Нам нужны точки на тригонометрической окружности, у которых ордината (y) меньше или равна $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эти точки находятся на дуге между углами $-\frac{2\pi}{3}$ и $-\frac{\pi}{3}$. С учетом периода функции синус ($2\pi$), получаем общее решение: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le x \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; -\frac{\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

г) $-3\tg x \le \sqrt{3}$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный: $\tg x \ge -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Функция $\tg x$ определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Период тангенса равен $\pi$. Решим уравнение $\tg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Корень $x = \arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$. Так как функция $\tg x$ возрастающая на каждом интервале определения, решение неравенства $\tg x \ge -\frac{\sqrt{3}}{3}$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ есть промежуток $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$. Добавляя период $\pi k$, получаем общее решение: $-\frac{\pi}{6} + \pi k \le x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

д) $\sin 3x > -\frac{1}{2}$

Пусть $t = 3x$. Решим неравенство $\sin t > -\frac{1}{2}$. Корни уравнения $\sin t = -\frac{1}{2}$ равны $t = -\frac{\pi}{6}$ и $t = \pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6}$. На тригонометрической окружности нам нужна дуга, где ордината больше $-\frac{1}{2}$. Это дуга от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$ против часовой стрелки. С учетом периодичности, решение для $t$: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Теперь сделаем обратную замену $t = 3x$: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < 3x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$. Разделим все части на 3: $-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}), k \in \mathbb{Z}$.

е) $\cos 2x < -\frac{1}{2}$

Пусть $t = 2x$. Решим неравенство $\cos t < -\frac{1}{2}$. Корни уравнения $\cos t = -\frac{1}{2}$ равны $t = \frac{2\pi}{3}$ и $t = \frac{4\pi}{3}$. Нам нужна дуга на тригонометрической окружности, где абсцисса меньше $-\frac{1}{2}$. Это дуга от $\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{4\pi}{3}$. Решение для $t$: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Делаем обратную замену $t = 2x$: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$. Делим на 2: $\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{2\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{2\pi}{3} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

ж) $\tg 5x \ge -1$

Пусть $t = 5x$. Решим неравенство $\tg t \ge -1$. Корень уравнения $\tg t = -1$ равен $t = -\frac{\pi}{4}$. Учитывая, что $\tg t$ возрастает на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, решение неравенства $\tg t \ge -1$ имеет вид: $-\frac{\pi}{4} + \pi k \le t < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Делаем обратную замену $t = 5x$: $-\frac{\pi}{4} + \pi k \le 5x < \frac{\pi}{2} + \pi k$. Делим на 5: $-\frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5} \le x < \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5}; \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}), k \in \mathbb{Z}$.

з) $\ctg 4x \le -1$

Пусть $t = 4x$. Решим неравенство $\ctg t \le -1$. Функция $\ctg t$ определена для всех $t$, кроме $t = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Период котангенса равен $\pi$. Решим уравнение $\ctg t = -1$. Корень $t = \text{arccot}(-1) = \frac{3\pi}{4}$. Так как функция $\ctg t$ убывающая на каждом интервале определения $( \pi k, \pi + \pi k)$, решение неравенства $\ctg t \le -1$ на интервале $(0, \pi)$ есть промежуток $[\frac{3\pi}{4}, \pi)$. Добавляя период $\pi k$, получаем общее решение: $\frac{3\pi}{4} + \pi k \le t < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Делаем обратную замену $t = 4x$: $\frac{3\pi}{4} + \pi k \le 4x < \pi + \pi k$. Делим на 4: $\frac{3\pi}{16} + \frac{\pi k}{4} \le x < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{3\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{4}), k \in \mathbb{Z}$.