Номер 9.2, страница 63 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9.2. a) $\sin x \ge 0.5$;

б) $2\cos x \ge -\sqrt{3}$;

в) $\sin x \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $-3\operatorname{tg}x \le \sqrt{3}$;

д) $\sin 3x > -\frac{1}{2}$;

e) $\cos 2x < -\frac{1}{2}$;

ж) $\operatorname{tg} 5x \ge -1$;

з) $\operatorname{ctg} 4x \le -1$.

а) $\sin x \ge 0,5$

Сначала найдем корни уравнения $\sin x = 0,5$. Это табличные значения, $\sin x = \frac{1}{2}$ при $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. На тригонометрической окружности значения синуса соответствуют ординате (координате y). Нам нужны точки, у которых ордината больше или равна $\frac{1}{2}$. Эти точки лежат на дуге, заключенной между углами $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. Учитывая периодичность синуса (период $2\pi$), общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos x \ge -\sqrt{3}$

Разделим обе части неравенства на 2: $\cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Решим уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Корни этого уравнения: $x = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$ и $x = -\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{5\pi}{6}$. На тригонометрической окружности значения косинуса соответствуют абсциссе (координате x). Нам нужны точки, у которых абсцисса больше или равна $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эти точки лежат на дуге, заключенной между углами $-\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. Период косинуса равен $2\pi$, поэтому общее решение: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin x \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Сначала решим уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Корни: $x = \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \pi - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3}$. На одном круге это также соответствует углу $-\frac{2\pi}{3}$. Нам нужны точки на тригонометрической окружности, у которых ордината (y) меньше или равна $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эти точки находятся на дуге между углами $-\frac{2\pi}{3}$ и $-\frac{\pi}{3}$. С учетом периода функции синус ($2\pi$), получаем общее решение: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le x \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; -\frac{\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

г) $-3\tg x \le \sqrt{3}$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный: $\tg x \ge -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Функция $\tg x$ определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Период тангенса равен $\pi$. Решим уравнение $\tg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Корень $x = \arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$. Так как функция $\tg x$ возрастающая на каждом интервале определения, решение неравенства $\tg x \ge -\frac{\sqrt{3}}{3}$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ есть промежуток $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$. Добавляя период $\pi k$, получаем общее решение: $-\frac{\pi}{6} + \pi k \le x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

д) $\sin 3x > -\frac{1}{2}$

Пусть $t = 3x$. Решим неравенство $\sin t > -\frac{1}{2}$. Корни уравнения $\sin t = -\frac{1}{2}$ равны $t = -\frac{\pi}{6}$ и $t = \pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6}$. На тригонометрической окружности нам нужна дуга, где ордината больше $-\frac{1}{2}$. Это дуга от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$ против часовой стрелки. С учетом периодичности, решение для $t$: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Теперь сделаем обратную замену $t = 3x$: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < 3x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$. Разделим все части на 3: $-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}), k \in \mathbb{Z}$.

е) $\cos 2x < -\frac{1}{2}$

Пусть $t = 2x$. Решим неравенство $\cos t < -\frac{1}{2}$. Корни уравнения $\cos t = -\frac{1}{2}$ равны $t = \frac{2\pi}{3}$ и $t = \frac{4\pi}{3}$. Нам нужна дуга на тригонометрической окружности, где абсцисса меньше $-\frac{1}{2}$. Это дуга от $\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{4\pi}{3}$. Решение для $t$: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Делаем обратную замену $t = 2x$: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$. Делим на 2: $\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{2\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{2\pi}{3} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

ж) $\tg 5x \ge -1$

Пусть $t = 5x$. Решим неравенство $\tg t \ge -1$. Корень уравнения $\tg t = -1$ равен $t = -\frac{\pi}{4}$. Учитывая, что $\tg t$ возрастает на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, решение неравенства $\tg t \ge -1$ имеет вид: $-\frac{\pi}{4} + \pi k \le t < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Делаем обратную замену $t = 5x$: $-\frac{\pi}{4} + \pi k \le 5x < \frac{\pi}{2} + \pi k$. Делим на 5: $-\frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5} \le x < \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5}; \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}), k \in \mathbb{Z}$.

з) $\ctg 4x \le -1$

Пусть $t = 4x$. Решим неравенство $\ctg t \le -1$. Функция $\ctg t$ определена для всех $t$, кроме $t = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Период котангенса равен $\pi$. Решим уравнение $\ctg t = -1$. Корень $t = \text{arccot}(-1) = \frac{3\pi}{4}$. Так как функция $\ctg t$ убывающая на каждом интервале определения $( \pi k, \pi + \pi k)$, решение неравенства $\ctg t \le -1$ на интервале $(0, \pi)$ есть промежуток $[\frac{3\pi}{4}, \pi)$. Добавляя период $\pi k$, получаем общее решение: $\frac{3\pi}{4} + \pi k \le t < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Делаем обратную замену $t = 4x$: $\frac{3\pi}{4} + \pi k \le 4x < \pi + \pi k$. Делим на 4: $\frac{3\pi}{16} + \frac{\pi k}{4} \le x < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{3\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{4}), k \in \mathbb{Z}$.