Номер 9.7, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9.7. a) $2\cos2x > -1$;

б) $2\sin4x < -1$;

В) $-\sqrt{3} \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1$;

Г) $\sqrt{3}\operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \ge 1$.

а) $2\cos{2x} > -1$

Сначала разделим обе части неравенства на 2:

$\cos{2x} > -\frac{1}{2}$

Введем замену переменной $t = 2x$. Неравенство примет вид $\cos{t} > -\frac{1}{2}$.

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является совокупность интервалов, определяемая двойным неравенством:

$-\arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n < t < \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену $t = 2x$:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\sin{4x} < -1$

Разделим обе части неравенства на 2:

$\sin{4x} < -\frac{1}{2}$

Введем замену переменной $t = 4x$. Неравенство примет вид $\sin{t} < -\frac{1}{2}$.

Решением этого неравенства является совокупность интервалов:

$\pi - \arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi n < t < 2\pi + \arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:

$\pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n < t < 2\pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Этот же интервал можно записать в более удобном виде: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 4x$:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < 4x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Разделим все части неравенства на 4:

$-\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} < x < -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}; -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}), n \in \mathbb{Z}$.

в) $-\sqrt{3} \text{tg}(x - \frac{\pi}{4}) \le 1$

Разделим обе части на $-\sqrt{3}$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$\text{tg}(x - \frac{\pi}{4}) \ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Введем замену $t = x - \frac{\pi}{4}$, получим $\text{tg}(t) \ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Учитывая область определения тангенса ($t \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$) и его периодичность, решение для $t$ имеет вид:

$\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n \le t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$, то:

$-\frac{\pi}{6} + \pi n \le t < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = x - \frac{\pi}{4}$:

$-\frac{\pi}{6} + \pi n \le x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям неравенства:

$-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n$

$\frac{-2\pi+3\pi}{12} + \pi n \le x < \frac{2\pi+\pi}{4} + \pi n$

$\frac{\pi}{12} + \pi n \le x < \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{12} + \pi n; \frac{3\pi}{4} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt{3}\text{ctg}(x + \frac{\pi}{6}) \ge 1$

Разделим обе части неравенства на $\sqrt{3}$:

$\text{ctg}(x + \frac{\pi}{6}) \ge \frac{1}{\sqrt{3}}$

Введем замену $t = x + \frac{\pi}{6}$, получим $\text{ctg}(t) \ge \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Учитывая область определения котангенса ($t \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$) и его периодичность, решение для $t$ имеет вид:

$\pi n < t \le \text{arcctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\text{arcctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{3}$, то:

$\pi n < t \le \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = x + \frac{\pi}{6}$:

$\pi n < x + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:

$\pi n - \frac{\pi}{6} < x \le \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi n$

$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x \le \frac{2\pi-\pi}{6} + \pi n$

$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x \le \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.