Номер 9.3, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите решения неравенств на заданном промежутке (9.3–9.4):

9.3. a) $ \cos 2x \geq -\frac{\sqrt{3}}{2} $, $ x \in [-\pi; \pi] $; б) $ \sin \frac{x}{3} < \frac{1}{2} $, $ x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}] $.

а) Решим неравенство $\cos{2x} \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $x \in [-\pi; \pi]$.

Сделаем замену переменной $t = 2x$. Поскольку $x \in [-\pi; \pi]$, то переменная $t$ принадлежит промежутку $2 \cdot [-\pi; \pi]$, то есть $t \in [-2\pi; 2\pi]$. Неравенство принимает вид $\cos{t} \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение неравенства $\cos{t} \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на тригонометрической окружности соответствует дуге, заключенной между углами $-\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. С учетом периодичности, решение для $t$ имеет вид:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le t \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем те решения, которые попадают в промежуток $t \in [-2\pi; 2\pi]$. Для этого подставим различные целые значения $n$:

При $n=0$: получаем промежуток $[-\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$. Этот промежуток полностью принадлежит $[-2\pi; 2\pi]$.

При $n=1$: получаем $[-\frac{5\pi}{6} + 2\pi, \frac{5\pi}{6} + 2\pi]$, то есть $[\frac{7\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}]$. Пересечение этого промежутка с $[-2\pi, 2\pi]$ дает $[\frac{7\pi}{6}, 2\pi]$.

При $n=-1$: получаем $[-\frac{5\pi}{6} - 2\pi, \frac{5\pi}{6} - 2\pi]$, то есть $[-\frac{17\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}]$. Пересечение этого промежутка с $[-2\pi, 2\pi]$ дает $[-2\pi, -\frac{7\pi}{6}]$.

При других значениях $n$ решения для $t$ будут лежать вне промежутка $[-2\pi; 2\pi]$.

Таким образом, решение для $t$ на заданном промежутке есть объединение найденных интервалов: $t \in [-2\pi, -\frac{7\pi}{6}] \cup [-\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}] \cup [\frac{7\pi}{6}, 2\pi]$.

Выполним обратную замену $x = t/2$. Для этого разделим границы найденных промежутков для $t$ на 2:

1. Из $t \in [-2\pi, -\frac{7\pi}{6}]$ получаем $x \in [-\pi, -\frac{7\pi}{12}]$.

2. Из $t \in [-\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ получаем $x \in [-\frac{5\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}]$.

3. Из $t \in [\frac{7\pi}{6}, 2\pi]$ получаем $x \in [\frac{7\pi}{12}, \pi]$.

Объединение этих промежутков является решением исходного неравенства на заданном промежутке.

Ответ: $x \in [-\pi; -\frac{7\pi}{12}] \cup [-\frac{5\pi}{12}; \frac{5\pi}{12}] \cup [\frac{7\pi}{12}; \pi]$.

б) Решим неравенство $\sin\frac{x}{3} < \frac{1}{2}$ на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.

Сделаем замену переменной $t = \frac{x}{3}$. Найдем, какому промежутку принадлежит $t$. Если $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$, то, разделив все части двойного неравенства на 3, получим $-\frac{\pi}{6} \le \frac{x}{3} \le \frac{\pi}{2}$. Таким образом, мы ищем решение неравенства $\sin{t} < \frac{1}{2}$ на отрезке $t \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]$.

Рассмотрим функцию $y = \sin{t}$ на этом отрезке. На промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ (который включает наш отрезок) функция $\sin t$ является возрастающей.

Найдем значение $t$ из отрезка $[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]$, при котором $\sin{t} = \frac{1}{2}$. Это значение $t = \frac{\pi}{6}$.

Поскольку функция $\sin t$ возрастает на $[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]$, то неравенство $\sin{t} < \frac{1}{2}$ будет выполняться для всех $t$ из этого отрезка, которые меньше, чем $\frac{\pi}{6}$.

Левая граница отрезка $t = -\frac{\pi}{6}$ включается в решение, так как $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$, и $-\frac{1}{2} < \frac{1}{2}$. Правая граница $t = \frac{\pi}{6}$ не включается, так как неравенство строгое ($\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$).

Таким образом, решение для $t$ — это промежуток $[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6})$.

Теперь выполним обратную замену $x = 3t$. Умножим границы полученного промежутка для $t$ на 3:

$-\frac{\pi}{6} \le t < \frac{\pi}{6} \implies 3 \cdot (-\frac{\pi}{6}) \le 3t < 3 \cdot \frac{\pi}{6} \implies -\frac{\pi}{2} \le x < \frac{\pi}{2}$.

Полученный промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ полностью содержится в исходном заданном промежутке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$, следовательно, это и есть искомое решение.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.