Номер 8.11, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8.11. a) $6\sin^2x = 4 + \sin 2x;$

б) $3\sin 2x + 8\cos^2x = 7.$

a) $6\sin^2x = 4 + \sin 2x$

Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся формулой двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и основным тригонометрическим тождеством, представив число 4 как $4 \cdot 1 = 4(\sin^2x + \cos^2x)$.

Перепишем уравнение:

$6\sin^2x = 4(\sin^2x + \cos^2x) + 2\sin x \cos x$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$6\sin^2x - 4\sin^2x - 4\cos^2x - 2\sin x \cos x = 0$

$2\sin^2x - 2\sin x \cos x - 4\cos^2x = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin^2x - \sin x \cos x - 2\cos^2x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2x = 1$. Подставив в уравнение, получим $1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2x$.

$\frac{\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2x} - \frac{2\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$\tan^2x - \tan x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной $t = \tan x$. Уравнение примет вид квадратного уравнения:

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$

$t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1+3}{2} = 2$

$t_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1-3}{2} = -1$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. Если $\tan x = 2$, то $x = \arctan 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\tan x = -1$, то $x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $3\sin 2x + 8\cos^2x = 7$

Используем формулу двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и основное тригонометрическое тождество, представив 7 как $7 \cdot 1 = 7(\sin^2x + \cos^2x)$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3(2\sin x \cos x) + 8\cos^2x = 7(\sin^2x + \cos^2x)$

$6\sin x \cos x + 8\cos^2x = 7\sin^2x + 7\cos^2x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение:

$7\sin^2x - 6\sin x \cos x + 7\cos^2x - 8\cos^2x = 0$

$7\sin^2x - 6\sin x \cos x - \cos^2x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2x = 1$. Уравнение примет вид $7(1) - 0 - 0 = 0$, что является неверным равенством ($7=0$). Значит, можно разделить обе части на $\cos^2x$.

$7\frac{\sin^2x}{\cos^2x} - 6\frac{\sin x \cos x}{\cos^2x} - \frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$7\tan^2x - 6\tan x - 1 = 0$

Произведем замену $t = \tan x$:

$7t^2 - 6t - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-6)^2 - 4(7)(-1) = 36 + 28 = 64$

$t_1 = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6+8}{14} = \frac{14}{14} = 1$

$t_2 = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6-8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$

Выполним обратную замену.

1. Если $\tan x = 1$, то $x = \arctan 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\tan x = -\frac{1}{7}$, то $x = \arctan(-\frac{1}{7}) + \pi k = -\arctan\frac{1}{7} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan\frac{1}{7} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.