Номер 8.9, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8.9. a) $ \sin^2 x + \frac{1}{2} \sin 2x = 0; $

б) $ \cos^2 x - \frac{1}{2} \sin 2x = 0. $

а) $sin^2x + \frac{1}{2}sin2x = 0$

Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin2x = 2sinxcosx$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$sin^2x + \frac{1}{2}(2sinxcosx) = 0$

Упростим полученное выражение:

$sin^2x + sinxcosx = 0$

Теперь вынесем общий множитель $sinx$ за скобки:

$sinx(sinx + cosx) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит нас к совокупности двух уравнений:

1. $sinx = 0$

2. $sinx + cosx = 0$

Решим каждое уравнение по отдельности.

1. Уравнение $sinx = 0$ имеет решения:

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Решим уравнение $sinx + cosx = 0$.

Перенесем $cosx$ в правую часть:

$sinx = -cosx$

Разделим обе части уравнения на $cosx$. Это можно сделать, так как если бы $cosx = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $sinx = 0$. Однако $sin^2x + cos^2x = 1$, поэтому синус и косинус одного и того же угла не могут быть одновременно равны нулю. Следовательно, $cosx \neq 0$.

$\frac{sinx}{cosx} = -1$

$tanx = -1$

Решения этого уравнения:

$x = arctan(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $cos^2x - \frac{1}{2}sin2x = 0$

Аналогично пункту а), используем формулу синуса двойного угла: $sin2x = 2sinxcosx$.

Подставим ее в уравнение:

$cos^2x - \frac{1}{2}(2sinxcosx) = 0$

Упрощаем:

$cos^2x - sinxcosx = 0$

Вынесем общий множитель $cosx$ за скобки:

$cosx(cosx - sinx) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $cosx = 0$

2. $cosx - sinx = 0$

Решим каждое из них.

1. Уравнение $cosx = 0$ имеет решения:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Решим уравнение $cosx - sinx = 0$.

Перенесем $sinx$ в правую часть:

$cosx = sinx$

Разделим обе части на $cosx$. Как и в предыдущем пункте, $cosx$ не может быть равен нулю, так как это привело бы к тому, что и $sinx=0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству.

$\frac{cosx}{cosx} = \frac{sinx}{cosx}$

$1 = tanx$

Решения этого уравнения:

$x = arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Собираем вместе все найденные серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.