Номер 8.10, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8.10. a) $2\sin^2x = \sqrt{3}\sin2x;$

б) $\sqrt{3}\operatorname{tg}x - \sqrt{3}\operatorname{ctg}x = 2;$

В) $\sin 2x + 2\cos 2x = 1;$

Г) $3\sin2x + \cos2x = 2\cos^2x;$

Д) $\cos^2x + 4\sin^2x = 2\sin2x.$

а) Исходное уравнение: $2\sin^2x = \sqrt{3}\sin2x$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin^2x = \sqrt{3}(2\sin x \cos x)$

Перенесем все слагаемые в левую часть и упростим:

$2\sin^2x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2\sin x$ за скобки:

$2\sin x (\sin x - \sqrt{3}\cos x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $2\sin x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0$. Это однородное уравнение. Разделим его на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$, что легко проверяется):

$\tan x - \sqrt{3} = 0 \implies \tan x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{3}\tan x - \sqrt{3}\cot x = 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\cot x = \frac{1}{\tan x}$:

$\sqrt{3}\tan x - \frac{\sqrt{3}}{\tan x} = 2$

Введем замену $t = \tan x$, $t \neq 0$:

$\sqrt{3}t - \frac{\sqrt{3}}{t} = 2$

Умножим обе части на $t$:

$\sqrt{3}t^2 - \sqrt{3} = 2t$

$\sqrt{3}t^2 - 2t - \sqrt{3} = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3}) = 4 + 12 = 16$.

$t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

$t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2\sqrt{3}} = \frac{-2}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $\tan x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $\sin 2x + 2\cos 2x = 1$.

Используем формулы двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ и основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$:

$2\sin x \cos x + 2(\cos^2 x - \sin^2 x) = \sin^2 x + \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$2\sin x \cos x + 2\cos^2 x - 2\sin^2 x - \sin^2 x - \cos^2 x = 0$

$\cos^2 x + 2\sin x \cos x - 3\sin^2 x = 0$

Разделим уравнение на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$1 + 2\tan x - 3\tan^2 x = 0$

$3\tan^2 x - 2\tan x - 1 = 0$

Введем замену $t = \tan x$:

$3t^2 - 2t - 1 = 0$

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(3)(-1) = 16$.

$t_1 = \frac{2+4}{6} = 1$.

$t_2 = \frac{2-4}{6} = -\frac{1}{3}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = -\frac{1}{3} \implies x = -\arctan\frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = -\arctan\frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $3\sin 2x + \cos 2x = 2\cos^2 x$.

Используем формулу понижения степени $2\cos^2 x = 1 + \cos 2x$:

$3\sin 2x + \cos 2x = 1 + \cos 2x$

Вычтем $\cos 2x$ из обеих частей:

$3\sin 2x = 1$

$\sin 2x = \frac{1}{3}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение:

$2x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{(-1)^n}{2} \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{(-1)^n}{2}\arcsin\frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

д) Исходное уравнение: $\cos^2 x + 4\sin^2 x = 2\sin 2x$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$\cos^2 x + 4\sin^2 x = 2(2\sin x \cos x)$

$\cos^2 x + 4\sin^2 x = 4\sin x \cos x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$4\sin^2 x - 4\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$4\tan^2 x - 4\tan x + 1 = 0$

Левая часть является полным квадратом:

$(2\tan x - 1)^2 = 0$

Отсюда:

$2\tan x - 1 = 0 \implies \tan x = \frac{1}{2}$

Решение:

$x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan\frac{1}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.