Номер 8.5, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите корни уравнений (8.5—8.6):

8.5. a) $3\sin^2x + \sin x \cdot \cos x = 2 \cos^2x;$

8.5. б) $2\cos^2x - 3\sin x \cdot \cos x + \sin^2x = 0.$

а) $3\sin^2x + \sin x \cdot \cos x = 2\cos^2x$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Перенесем все члены в левую часть:

$3\sin^2x + \sin x \cdot \cos x - 2\cos^2x = 0$

Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2x = 1$. Подставим эти значения в уравнение:

$3 \cdot 1 + \sin x \cdot 0 - 2 \cdot 0 = 0$

$3 = 0$

Это неверное равенство, значит, $\cos x \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2x$:

$\frac{3\sin^2x}{\cos^2x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2x} - \frac{2\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$3\tan^2x + \tan x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$. Уравнение примет вид квадратного:

$3t^2 + t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$t_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

1) $\tan x = -1$

$x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = \frac{2}{3}$

$x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos^2x - 3\sin x \cdot \cos x + \sin^2x = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Перепишем его в более стандартном виде:

$\sin^2x - 3\sin x \cdot \cos x + 2\cos^2x = 0$

Как и в предыдущем случае, $\cos x \neq 0$ (если $\cos x = 0$, то $\sin^2x = 1$, и уравнение превращается в $1=0$, что неверно). Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$:

$\frac{\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{3\sin x \cos x}{\cos^2x} + \frac{2\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$\tan^2x - 3\tan x + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Легко подобрать корни:

$t_1 = 1$, $t_2 = 2$

Выполним обратную замену:

1) $\tan x = 1$

$x = \arctan(1) + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = 2$

$x = \arctan(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.