Номер 7.11, страница 55 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7.11. a) $\sin 6x - \sin 4x = 0;$

б) $\cos 5x + \cos 3x = 0.$

а)

Дано тригонометрическое уравнение:

$sin(6x) - sin(4x) = 0$

Для его решения применим формулу преобразования разности синусов в произведение (формулу понижения степени):

$sin(\alpha) - sin(\beta) = 2sin(\frac{\alpha - \beta}{2})cos(\frac{\alpha + \beta}{2})$

В нашем случае $\alpha = 6x$ и $\beta = 4x$. Подставим эти значения в формулу:

$2sin(\frac{6x - 4x}{2})cos(\frac{6x + 4x}{2}) = 0$

$2sin(\frac{2x}{2})cos(\frac{10x}{2}) = 0$

$2sin(x)cos(5x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит нас к совокупности двух более простых уравнений:

1. $sin(x) = 0$

2. $cos(5x) = 0$

Решим каждое из этих уравнений.

1. Решение уравнения $sin(x) = 0$ является частным случаем решения тригонометрических уравнений. Его корни:

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

2. Решение уравнения $cos(5x) = 0$ также является частным случаем. Его корни определяются по формуле:

$5x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Общий ответ является объединением решений обоих уравнений.

Ответ: $x = \pi k$, $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано тригонометрическое уравнение:

$cos(5x) + cos(3x) = 0$

Для его решения применим формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

$cos(\alpha) + cos(\beta) = 2cos(\frac{\alpha + \beta}{2})cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$

В нашем случае $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$. Подставим эти значения в формулу:

$2cos(\frac{5x + 3x}{2})cos(\frac{5x - 3x}{2}) = 0$

$2cos(\frac{8x}{2})cos(\frac{2x}{2}) = 0$

$2cos(4x)cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1. $cos(4x) = 0$

2. $cos(x) = 0$

Решим каждое из этих уравнений.

1. Решение уравнения $cos(4x) = 0$ — это частный случай. Корни определяются по формуле:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Решение уравнения $cos(x) = 0$ также является частным случаем. Его корни:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

Эти две серии решений не пересекаются и не поглощают друг друга, поэтому в ответе указываем обе.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.