Номер 7.6, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7.6. a) $\sin\phi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\phi \in [-\pi; \pi];$

б) $2\cos\phi = \sqrt{3}$, $\phi \in [-\pi; \pi];$

в) $\operatorname{tg}\phi = -\sqrt{3}$, $\phi \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right);$

г) $\operatorname{ctg}\phi = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\phi \in (0; \pi).$

а) Требуется решить уравнение $\sin\phi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на интервале $\phi \in [-\pi; \pi]$.

Общая формула для решений уравнения $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, а арксинус этого значения равен $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Таким образом, общее решение уравнения: $\phi = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k$.

Теперь необходимо выбрать из этих решений те, которые попадают в заданный интервал $[-\pi; \pi]$. Переберем значения $k$:

• При $k = 0$: $\phi = (-1)^0 \cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{3}$. Это значение принадлежит интервалу $[-\pi; \pi]$.
• При $k = 1$: $\phi = (-1)^1 \cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi \cdot 1 = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$. Это значение не принадлежит интервалу.
• При $k = -1$: $\phi = (-1)^{-1} \cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi \cdot (-1) = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$. Это значение принадлежит интервалу $[-\pi; \pi]$.
• При $k = -2$: $\phi = (-1)^{-2} \cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi \cdot (-2) = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$. Это значение не принадлежит интервалу.

Следовательно, на заданном интервале есть два корня.

Ответ: $\phi_1 = -\frac{2\pi}{3}, \phi_2 = -\frac{\pi}{3}$.

б) Требуется решить уравнение $2\cos\phi = \sqrt{3}$ на интервале $\phi \in [-\pi; \pi]$.

Сначала преобразуем уравнение: $\cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общая формула для решений уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а арккосинус этого значения равен $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Таким образом, общее решение: $\phi = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Выберем решения, попадающие в интервал $[-\pi; \pi]$:

• Из серии $\phi = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = 0$ получаем $\phi = \frac{\pi}{6}$. Это значение входит в интервал.
• Из серии $\phi = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = 0$ получаем $\phi = -\frac{\pi}{6}$. Это значение также входит в интервал.

При других целых значениях $k$ корни будут выходить за пределы интервала $[-\pi; \pi]$.

Ответ: $\phi_1 = -\frac{\pi}{6}, \phi_2 = \frac{\pi}{6}$.

в) Требуется решить уравнение $\operatorname{tg}\phi = -\sqrt{3}$ на интервале $\phi \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Общая формула для решений уравнения $\operatorname{tg} x = a$ имеет вид $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\sqrt{3}$, а арктангенс этого значения равен $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Общее решение: $\phi = -\frac{\pi}{3} + \pi k$.

Выберем решение, попадающее в интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$:

• При $k = 0$: $\phi = -\frac{\pi}{3}$. Так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$, это решение подходит.

При других целых значениях $k$ (например, $k=1$ или $k=-1$) решения будут лежать вне заданного интервала. Интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ является областью главных значений арктангенса, поэтому в нем может быть только один корень.

Ответ: $\phi = -\frac{\pi}{3}$.

г) Требуется решить уравнение $\operatorname{ctg}\phi = \frac{\sqrt{3}}{3}$ на интервале $\phi \in (0; \pi)$.

Общая формула для решений уравнения $\operatorname{ctg} x = a$ имеет вид $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$, а арккотангенс этого значения равен $\operatorname{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Общее решение: $\phi = \frac{\pi}{3} + \pi k$.

Выберем решение, попадающее в интервал $(0; \pi)$:

• При $k = 0$: $\phi = \frac{\pi}{3}$. Так как $0 < \frac{\pi}{3} < \pi$, это решение подходит.

При других целых значениях $k$ решения будут лежать вне заданного интервала. Интервал $(0; \pi)$ является областью главных значений арккотангенса, поэтому в нем может быть только один корень.

Ответ: $\phi = \frac{\pi}{3}$.