Страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите уравнения (7.1–7.4):

7.1.а) $sinx = -\frac{\sqrt{2}}{2};$

б) $sinx = \frac{\sqrt{3}}{2};$

в) $cosx = \frac{1}{2};$

г) $cosx = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$

а) Решим уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Общая формула для решения уравнения вида $\sin x = a$ (где $|a| \le 1$) выглядит как $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Найдём значение арксинуса: $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. Поскольку $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и значение $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, то $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$. Подставим это значение в общую формулу: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k$. Данное выражение можно записать в виде $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем общую формулу для синуса: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Здесь $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это табличное значение, и $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$. Подставляя это значение в формулу, получаем общее решение уравнения: $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$. Общая формула для решения уравнения вида $\cos x = a$ (где $|a| \le 1$) выглядит как $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $a = \frac{1}{2}$. Табличное значение арккосинуса: $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$. Подставляем это значение в общую формулу и получаем решение: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Применяем ту же общую формулу для косинуса: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Для нахождения значения $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ воспользуемся свойством $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$. Мы знаем, что $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$. Следовательно, $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Теперь подставляем найденное значение в общую формулу: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

7.2. a) $tgx = 2$;

B) $tgx = -\sqrt{3}$;

б) $ctgx = -3$;

Г) $ctgx = \sqrt{3}$.

а) $\operatorname{tg}x = 2$

Решение простейшего тригонометрического уравнения вида $\operatorname{tg} x = a$ находится по общей формуле $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = 2$. Это значение не является табличным для тангенса, поэтому решение записывается через арктангенс.

Подставляем $a = 2$ в формулу:

$x = \operatorname{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \operatorname{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\operatorname{ctg}x = -3$

Решение простейшего тригонометрического уравнения вида $\operatorname{ctg} x = a$ находится по общей формуле $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -3$. Это значение не является табличным для котангенса, поэтому решение записывается через арккотангенс.

Подставляем $a = -3$ в формулу:

$x = \operatorname{arcctg}(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Можно также использовать свойство $\operatorname{arcctg}(-a) = \pi - \operatorname{arcctg}(a)$, чтобы выразить решение как $x = \pi - \operatorname{arcctg}(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Обе формы записи корректны, но первая является более стандартной.

Ответ: $x = \operatorname{arcctg}(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\operatorname{tg}x = -\sqrt{3}$

Используем общую формулу для решения уравнения $\operatorname{tg} x = a$: $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\sqrt{3}$.

Для нахождения значения $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})$ воспользуемся свойством нечетности арктангенса: $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$.

Таким образом, $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\operatorname{arctg}(\sqrt{3})$.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Следовательно, $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\operatorname{ctg}x = \sqrt{3}$

Используем общую формулу для решения уравнения $\operatorname{ctg} x = a$: $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \sqrt{3}$.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

7.3. a) $\sin \frac{x}{3} = 0;$

Б) $\cos 2x = 0;$

В) $5\cos 3x - 5 = 0;$

Г) $6\sin 5x - 6 = 0.$

а) Дано уравнение: $\sin\frac{x}{3} = 0$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение для уравнения $\sin(t) = 0$ имеет вид $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

В данном уравнении аргумент синуса $t = \frac{x}{3}$.

Приравняем аргумент к общему решению:

$\frac{x}{3} = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Для того чтобы найти $x$, умножим обе части равенства на 3:

$x = 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение: $\cos 2x = 0$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение для уравнения $\cos(t) = 0$ имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении аргумент косинуса $t = 2x$.

Приравняем аргумент к общему решению:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Для того чтобы найти $x$, разделим обе части равенства на 2:

$x = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right)$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение: $5\cos 3x - 5 = 0$.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить тригонометрическую функцию.

Перенесем -5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$5\cos 3x = 5$

Разделим обе части уравнения на 5:

$\cos 3x = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение для уравнения $\cos(t) = 1$ имеет вид $t = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении аргумент косинуса $t = 3x$.

Приравняем аргумент к общему решению:

$3x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Для того чтобы найти $x$, разделим обе части равенства на 3:

$x = \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение: $6\sin 5x - 6 = 0$.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить тригонометрическую функцию.

Перенесем -6 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$6\sin 5x = 6$

Разделим обе части уравнения на 6:

$\sin 5x = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение для уравнения $\sin(t) = 1$ имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении аргумент синуса $t = 5x$.

Приравняем аргумент к общему решению:

$5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Для того чтобы найти $x$, разделим обе части равенства на 5:

$x = \frac{1}{5} \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)$

$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

7.4. а) $ \text{tg}(x - 2) = 0; $

Б) $ \text{ctg}(x + 3) = 0; $

В) $ 2 \cdot \sin(3x) + 1 = 0; $

Г) $ \cos\frac{x}{2} - 0,5 = 0. $

а) Решим уравнение $tg(x - 2) = 0$.

Уравнение вида $tg(y) = 0$ является частным случаем тригонометрического уравнения. Его решение находится по формуле $y = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

В данном случае аргумент тангенса $y = x - 2$.

Приравниваем аргумент к общему решению:

$x - 2 = \pi n$

Теперь выразим $x$, перенеся -2 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $ctg(x + 3) = 0$.

Уравнение вида $ctg(y) = 0$ является частным случаем. Его решение находится по формуле $y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Аргумент котангенса в этом уравнении $y = x + 3$.

Составляем уравнение:

$x + 3 = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Выразим $x$, перенеся 3 в правую часть:

$x = \frac{\pi}{2} - 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} - 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $2 \cdot \sin3x + 1 = 0$.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить $\sin3x$:

$2 \sin3x = -1$

$\sin3x = -\frac{1}{2}$

Общее решение уравнения $\sin(y) = a$ записывается формулой $y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 3x$ и $a = -\frac{1}{2}$. Значение $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения в формулу:

$3x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n$

Используя свойство степеней $(-1)^n \cdot (-1) = (-1)^{n+1}$, упростим выражение:

$3x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{(-1)^{n+1} \pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $\cos\frac{x}{2} - 0,5 = 0$.

Выразим $\cos\frac{x}{2}$ из уравнения:

$\cos\frac{x}{2} = 0,5$

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения $\cos(y) = a$ имеет вид $y = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем уравнении $y = \frac{x}{2}$ и $a = \frac{1}{2}$. Значение $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Для нахождения $x$ умножим обе части уравнения на 2:

$x = 2 \cdot \left(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right)$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Найдите решения уравнений, принадлежащие данному промежутку (7.5—7.6):

7.5.a) $sin \phi = -1, \phi \in [0; 2\pi];$

б) $ctg \phi = 1, \phi \in [-\pi; \pi];$

в) $tg \phi = \sqrt{3}, \phi \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2});$

г) $cos \phi = -1, \phi \in [0; 2\pi].$

а) Дано уравнение $\sin\phi = -1$ на промежутке $\phi \in [0; 2\pi]$. Общее решение этого уравнения имеет вид $\phi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Чтобы найти решения, принадлежащие заданному промежутку, необходимо найти целые значения $k$, удовлетворяющие неравенству $0 \le -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2\pi$. Перенесем $-\frac{\pi}{2}$ в левую и правую части с противоположным знаком: $\frac{\pi}{2} \le 2\pi k \le 2\pi + \frac{\pi}{2}$, что эквивалентно $\frac{\pi}{2} \le 2\pi k \le \frac{5\pi}{2}$. Разделим все части неравенства на $2\pi$: $\frac{1}{4} \le k \le \frac{5}{4}$. Единственное целое число $k$ в этом диапазоне — это $k=1$. Подставим это значение $k$ в формулу общего решения: $\phi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$. Данное значение принадлежит промежутку $[0; 2\pi]$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

б) Дано уравнение $\ctg\phi = 1$ на промежутке $\phi \in [-\pi; \pi]$. Общее решение этого уравнения имеет вид $\phi = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Найдем решения, принадлежащие заданному промежутку, решив неравенство $-\pi \le \frac{\pi}{4} + \pi k \le \pi$. Разделим все части на $\pi$: $-1 \le \frac{1}{4} + k \le 1$. Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей: $-1 - \frac{1}{4} \le k \le 1 - \frac{1}{4}$, что эквивалентно $-\frac{5}{4} \le k \le \frac{3}{4}$. Целые числа $k$, удовлетворяющие этому неравенству, — это $k=-1$ и $k=0$.

При $k=0$, $\phi = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4}$.

При $k=-1$, $\phi = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot (-1) = -\frac{3\pi}{4}$.

Оба значения, $-\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4}$, принадлежат промежутку $[-\pi; \pi]$.

Ответ: $-\frac{3\pi}{4}; \frac{\pi}{4}$.

в) Дано уравнение $\tg\phi = \sqrt{3}$ на промежутке $\phi \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$. Общее решение этого уравнения имеет вид $\phi = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Найдем решения, принадлежащие заданному промежутку, решив неравенство $\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{3\pi}{2}$. Разделим все части на $\pi$: $\frac{1}{2} < \frac{1}{3} + k < \frac{3}{2}$. Вычтем $\frac{1}{3}$ из всех частей: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} < k < \frac{3}{2} - \frac{1}{3}$, что эквивалентно $\frac{1}{6} < k < \frac{7}{6}$. Единственное целое число $k$ в этом диапазоне — это $k=1$. Подставим это значение $k$ в формулу общего решения: $\phi = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 1 = \frac{4\pi}{3}$. Данное значение принадлежит промежутку $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.

Ответ: $\frac{4\pi}{3}$.

г) Дано уравнение $\cos\phi = -1$ на промежутке $\phi \in [0; 2\pi]$. Общее решение этого уравнения имеет вид $\phi = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Найдем решения, принадлежащие заданному промежутку, решив неравенство $0 \le \pi + 2\pi k \le 2\pi$. Вычтем $\pi$ из всех частей: $-\pi \le 2\pi k \le \pi$. Разделим все части на $2\pi$: $-\frac{1}{2} \le k \le \frac{1}{2}$. Единственное целое число $k$ в этом диапазоне — это $k=0$. Подставим это значение $k$ в формулу общего решения: $\phi = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi$. Данное значение принадлежит промежутку $[0; 2\pi]$.

Ответ: $\pi$.

7.6. a) $\sin\phi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\phi \in [-\pi; \pi];$

б) $2\cos\phi = \sqrt{3}$, $\phi \in [-\pi; \pi];$

в) $\operatorname{tg}\phi = -\sqrt{3}$, $\phi \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right);$

г) $\operatorname{ctg}\phi = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\phi \in (0; \pi).$

а) Требуется решить уравнение $\sin\phi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на интервале $\phi \in [-\pi; \pi]$.

Общая формула для решений уравнения $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, а арксинус этого значения равен $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Таким образом, общее решение уравнения: $\phi = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k$.

Теперь необходимо выбрать из этих решений те, которые попадают в заданный интервал $[-\pi; \pi]$. Переберем значения $k$:

• При $k = 0$: $\phi = (-1)^0 \cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{3}$. Это значение принадлежит интервалу $[-\pi; \pi]$.
• При $k = 1$: $\phi = (-1)^1 \cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi \cdot 1 = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$. Это значение не принадлежит интервалу.
• При $k = -1$: $\phi = (-1)^{-1} \cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi \cdot (-1) = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$. Это значение принадлежит интервалу $[-\pi; \pi]$.
• При $k = -2$: $\phi = (-1)^{-2} \cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi \cdot (-2) = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$. Это значение не принадлежит интервалу.

Следовательно, на заданном интервале есть два корня.

Ответ: $\phi_1 = -\frac{2\pi}{3}, \phi_2 = -\frac{\pi}{3}$.

б) Требуется решить уравнение $2\cos\phi = \sqrt{3}$ на интервале $\phi \in [-\pi; \pi]$.

Сначала преобразуем уравнение: $\cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общая формула для решений уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а арккосинус этого значения равен $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Таким образом, общее решение: $\phi = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Выберем решения, попадающие в интервал $[-\pi; \pi]$:

• Из серии $\phi = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = 0$ получаем $\phi = \frac{\pi}{6}$. Это значение входит в интервал.
• Из серии $\phi = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = 0$ получаем $\phi = -\frac{\pi}{6}$. Это значение также входит в интервал.

При других целых значениях $k$ корни будут выходить за пределы интервала $[-\pi; \pi]$.

Ответ: $\phi_1 = -\frac{\pi}{6}, \phi_2 = \frac{\pi}{6}$.

в) Требуется решить уравнение $\operatorname{tg}\phi = -\sqrt{3}$ на интервале $\phi \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Общая формула для решений уравнения $\operatorname{tg} x = a$ имеет вид $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\sqrt{3}$, а арктангенс этого значения равен $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Общее решение: $\phi = -\frac{\pi}{3} + \pi k$.

Выберем решение, попадающее в интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$:

• При $k = 0$: $\phi = -\frac{\pi}{3}$. Так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$, это решение подходит.

При других целых значениях $k$ (например, $k=1$ или $k=-1$) решения будут лежать вне заданного интервала. Интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ является областью главных значений арктангенса, поэтому в нем может быть только один корень.

Ответ: $\phi = -\frac{\pi}{3}$.

г) Требуется решить уравнение $\operatorname{ctg}\phi = \frac{\sqrt{3}}{3}$ на интервале $\phi \in (0; \pi)$.

Общая формула для решений уравнения $\operatorname{ctg} x = a$ имеет вид $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$, а арккотангенс этого значения равен $\operatorname{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Общее решение: $\phi = \frac{\pi}{3} + \pi k$.

Выберем решение, попадающее в интервал $(0; \pi)$:

• При $k = 0$: $\phi = \frac{\pi}{3}$. Так как $0 < \frac{\pi}{3} < \pi$, это решение подходит.

При других целых значениях $k$ решения будут лежать вне заданного интервала. Интервал $(0; \pi)$ является областью главных значений арккотангенса, поэтому в нем может быть только один корень.

Ответ: $\phi = \frac{\pi}{3}$.

Решите уравнения (7.7–7.12):

7.7.a) $3 \operatorname{tg} 2x - \sqrt{3} = 0;$

б) $ - \sqrt{3} \operatorname{ctg} 4x + 3 = 0;$

в) $2 \sin 2x - \sqrt{2} = 0;$

г) $-2 \cos 2x + \sqrt{3} = 0.$

а) $3\operatorname{tg} 2x - \sqrt{3} = 0$

Первым шагом выразим тригонометрическую функцию. Для этого перенесем $-\sqrt{3}$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$3\operatorname{tg} 2x = \sqrt{3}$

Теперь разделим обе части уравнения на 3:

$\operatorname{tg} 2x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Получили простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\operatorname{tg} t = a$ имеет вид $t = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = 2x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Значение арктангенса $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ равно $\frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$2x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы найти $x$, разделим обе части полученного выражения на 2:

$x = \frac{\pi}{6 \cdot 2} + \frac{\pi n}{2}$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $-\sqrt{3} \operatorname{ctg} 4x + 3 = 0$

Выразим функцию котангенса. Сначала перенесем 3 в правую часть:

$-\sqrt{3} \operatorname{ctg} 4x = -3$

Разделим обе части уравнения на $-\sqrt{3}$:

$\operatorname{ctg} 4x = \frac{-3}{-\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\operatorname{ctg} 4x = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Общее решение для уравнения $\operatorname{ctg} t = a$ имеет вид $t = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем уравнении $t = 4x$ и $a = \sqrt{3}$. Значение арккотангенса $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3})$ равно $\frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения:

$4x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Находим $x$, разделив обе части на 4:

$x = \frac{\pi}{6 \cdot 4} + \frac{\pi n}{4}$

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) $2\sin 2x - \sqrt{2} = 0$

Выразим синус. Перенесем $-\sqrt{2}$ в правую часть:

$2\sin 2x = \sqrt{2}$

Разделим обе части на 2:

$\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение для уравнения $\sin t = a$ записывается формулой $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = 2x$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение арксинуса $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ равно $\frac{\pi}{4}$.

Подставляем в формулу:

$2x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для нахождения $x$ делим все выражение на 2:

$x = \frac{(-1)^n \pi}{4 \cdot 2} + \frac{\pi n}{2}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) $-2\cos 2x + \sqrt{3} = 0$

Выразим косинус. Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть:

$-2\cos 2x = -\sqrt{3}$

Разделим обе части на -2:

$\cos 2x = \frac{-\sqrt{3}}{-2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение для уравнения $\cos t = a$ записывается формулой $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $t = 2x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Значение арккосинуса $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ равно $\frac{\pi}{6}$.

Подставляем в формулу:

$2x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Находим $x$, разделив все выражение на 2:

$x = \pm \frac{\pi}{6 \cdot 2} + \frac{2\pi n}{2}$

$x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

7.8.a) $ \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) - 1 = 0; $

б) $ \cos\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) - 1 = 0; $

В) $ \operatorname{tg}\left(\pi + \frac{x}{3}\right) - 1 = 0; $

Г) $ \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right) = \sqrt{3}. $

а) $ \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) - 1 = 0 $

Перенесем 1 в правую часть уравнения, чтобы получить стандартное тригонометрическое уравнение:

$ \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) = 1 $

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Равенство $ \sin(t) = 1 $ истинно, когда аргумент синуса $ t $ равен $ \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Приравняем аргумент нашего синуса к этому выражению:

$ \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $

Теперь выразим $ x $. Сначала перенесем $ \frac{\pi}{6} $ в правую часть:

$ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$ \frac{x}{2} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $

$ \frac{x}{2} = \frac{4\pi}{6} + 2\pi k $

Сократим дробь:

$ \frac{x}{2} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = 2 \cdot (\frac{2\pi}{3} + 2\pi k) = \frac{4\pi}{3} + 4\pi k $

Ответ: $ x = \frac{4\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}) - 1 = 0 $

Перенесем 1 в правую часть:

$ \cos(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}) = 1 $

Это частный случай. Равенство $ \cos(t) = 1 $ истинно, когда аргумент косинуса $ t $ равен $ 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Приравниваем аргумент нашего косинуса к этому выражению:

$ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = 2\pi k $

Выразим $ x $. Сначала изолируем слагаемое с $ x $:

$ \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $

Умножим обе части уравнения на 3:

$ x = 3 \cdot (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k) = -\frac{3\pi}{4} + 6\pi k $

Ответ: $ x = -\frac{3\pi}{4} + 6\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \text{tg}(\pi + \frac{x}{3}) - 1 = 0 $

Перенесем 1 в правую часть:

$ \text{tg}(\pi + \frac{x}{3}) = 1 $

Используем свойство периодичности тангенса: $ \text{tg}(\alpha + \pi n) = \text{tg}(\alpha) $ для любого целого $ n $. В нашем случае $ n=1 $.

Уравнение упрощается до:

$ \text{tg}(\frac{x}{3}) = 1 $

Общее решение уравнения $ \text{tg}(t) = 1 $ имеет вид $ t = \text{arctg}(1) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Так как $ \text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4} $, получаем:

$ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi k $

Умножим обе части на 3, чтобы найти $ x $:

$ x = 3 \cdot (\frac{\pi}{4} + \pi k) = \frac{3\pi}{4} + 3\pi k $

Ответ: $ x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \text{ctg}(\frac{\pi}{3} - 4x) = \sqrt{3} $

Это уравнение вида $ \text{ctg}(t) = a $. Его общее решение: $ t = \text{arcctg}(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ t = \frac{\pi}{3} - 4x $ и $ a = \sqrt{3} $.

Значение арккотангенса: $ \text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} $.

Подставляем это значение в формулу решения:

$ \frac{\pi}{3} - 4x = \frac{\pi}{6} + \pi k $

Теперь выразим $ x $. Сначала изолируем $ -4x $:

$ -4x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi k $

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 6:

$ -4x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi k $

$ -4x = -\frac{\pi}{6} + \pi k $

Умножим обе части на -1, чтобы изменить знак перед $ 4x $:

$ 4x = \frac{\pi}{6} - \pi k $

Разделим обе части на 4:

$ x = \frac{\pi}{24} - \frac{\pi k}{4} $

Поскольку $k$ может быть любым целым числом (положительным, отрицательным или нулем), то выражение $ -k $ также пробегает все целые числа. Поэтому ответ можно записать и в виде $ x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4} $, что является более стандартной формой. Оба варианта математически эквивалентны.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{24} - \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $ (или $ x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $).

7.9. a) $3\operatorname{tg}\left(\frac{2x}{3}+2\right)=-4;$

Б) $4\operatorname{ctg}\left(\frac{3x}{2}-1\right)-3=0;$

В) $2\sin\left(\frac{2x}{5}+3\right)=\sqrt{3};$

Г) $\sqrt{3}\cos\left(\frac{5x}{2}-1\right)+2=0.$

а)

Исходное уравнение: $3\tg(\frac{2x}{3} + 2) = -4$.

Разделим обе части на 3, чтобы выразить тангенс:

$\tg(\frac{2x}{3} + 2) = -\frac{4}{3}$.

Аргумент тангенса равен арктангенсу от правой части плюс период тангенса $\pi n$:

$\frac{2x}{3} + 2 = \arctan(-\frac{4}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используем свойство арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$:

$\frac{2x}{3} + 2 = -\arctan(\frac{4}{3}) + \pi n$.

Выразим $x$. Сначала вычтем 2:

$\frac{2x}{3} = -2 - \arctan(\frac{4}{3}) + \pi n$.

Теперь умножим обе части на $\frac{3}{2}$:

$x = \frac{3}{2}(-2 - \arctan(\frac{4}{3}) + \pi n)$.

$x = -3 - \frac{3}{2}\arctan(\frac{4}{3}) + \frac{3\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -3 - \frac{3}{2}\arctan(\frac{4}{3}) + \frac{3\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $4\ctg(\frac{3x}{2} - 1) - 3 = 0$.

Перенесем 3 в правую часть:

$4\ctg(\frac{3x}{2} - 1) = 3$.

Разделим обе части на 4, чтобы выразить котангенс:

$\ctg(\frac{3x}{2} - 1) = \frac{3}{4}$.

Аргумент котангенса равен арккотангенсу от правой части плюс период котангенса $\pi n$:

$\frac{3x}{2} - 1 = \text{arcctg}(\frac{3}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$. Сначала прибавим 1:

$\frac{3x}{2} = 1 + \text{arcctg}(\frac{3}{4}) + \pi n$.

Теперь умножим обе части на $\frac{2}{3}$:

$x = \frac{2}{3}(1 + \text{arcctg}(\frac{3}{4}) + \pi n)$.

$x = \frac{2}{3} + \frac{2}{3}\text{arcctg}(\frac{3}{4}) + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2}{3} + \frac{2}{3}\text{arcctg}(\frac{3}{4}) + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное уравнение: $2\sin(\frac{2x}{5} + 3) = \sqrt{3}$.

Разделим обе части на 2, чтобы выразить синус:

$\sin(\frac{2x}{5} + 3) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для уравнения $\sin(y) = a$ имеет вид $y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$.

$\frac{2x}{5} + 3 = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$\frac{2x}{5} + 3 = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$.

Выразим $x$. Сначала вычтем 3:

$\frac{2x}{5} = -3 + (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$.

Теперь умножим обе части на $\frac{5}{2}$:

$x = \frac{5}{2}(-3 + (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k)$.

$x = -\frac{15}{2} + (-1)^k \frac{5\pi}{6} + \frac{5\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{15}{2} + (-1)^k \frac{5\pi}{6} + \frac{5\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное уравнение: $\sqrt{3}\cos(\frac{5x}{2} - 1) + 2 = 0$.

Перенесем 2 в правую часть:

$\sqrt{3}\cos(\frac{5x}{2} - 1) = -2$.

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$\cos(\frac{5x}{2} - 1) = -\frac{2}{\sqrt{3}}$.

Область значений функции косинус $y = \cos(\alpha)$ есть отрезок $[-1; 1]$.

Оценим значение правой части: $\sqrt{3} \approx 1,732$, значит $-\frac{2}{\sqrt{3}} \approx -\frac{2}{1,732} \approx -1,154$.

Поскольку $-1,154 < -1$, значение $-\frac{2}{\sqrt{3}}$ не входит в область значений функции косинус.

Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

7.10. a) $ \sin 3x \cdot \cos 3x = -\frac{1}{2} $;

б) $ \sin^2 2x - \cos^2 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} $;

в) $ \frac{2 \operatorname{tg} 2x}{1 - \operatorname{tg}^2 2x} = \sqrt{3} $;

г) $ 2 \sin^2 4x - 1 = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

а)

Используем формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$, из которой следует, что $sin(\alpha)cos(\alpha) = \frac{1}{2}sin(2\alpha)$.

В нашем уравнении аргумент $\alpha = 3x$. Применим формулу к левой части уравнения:

$\frac{1}{2}sin(2 \cdot 3x) = -\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}sin(6x) = -\frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$sin(6x) = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$6x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь разделим обе части на 6, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{6} = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{6} = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Используем формулу косинуса двойного угла $cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)$.

Вынесем минус за скобки в левой части уравнения, чтобы привести его к виду формулы:

$-(cos^2(2x) - sin^2(2x)) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

В нашем случае аргумент $\alpha = 2x$. Применяем формулу:

$-cos(2 \cdot 2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$-cos(4x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Умножим обе части на -1:

$cos(4x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение по общей формуле:

$4x = \pm arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$, получаем:

$4x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k}{4} = \pm\frac{5\pi}{24} + \frac{2\pi k}{4} = \pm\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

в)

Левая часть уравнения представляет собой формулу тангенса двойного угла $tg(2\alpha) = \frac{2tg(\alpha)}{1-tg^2(\alpha)}$.

В нашем уравнении аргумент $\alpha = 2x$. Применим формулу:

$tg(2 \cdot 2x) = \sqrt{3}$

$tg(4x) = \sqrt{3}$

При решении этого уравнения необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) исходного выражения. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $1 - tg^2(2x) \neq 0$, то есть $tg(2x) \neq \pm1$. Также сам тангенс должен существовать, то есть $cos(2x) \neq 0$.

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$4x = arctg(\sqrt{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$4x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\frac{\pi}{3} + \pi k}{4} = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Найдем $tg(2x)$ для наших решений:

$tg(2x) = tg(2(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4})) = tg(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2})$.

При четных $k$ ($k=2n$): $tg(\frac{\pi}{6} + \pi n) = tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \neq \pm1$.

При нечетных $k$ ($k=2n+1$): $tg(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \pi n) = -ctg(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3} \neq \pm1$.

Все найденные решения входят в ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Используем одну из формул косинуса двойного угла $cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2(\alpha)$.

Преобразуем левую часть уравнения, вынеся минус за скобки:

$-(1 - 2sin^2(4x)) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

В нашем случае аргумент $\alpha = 4x$. Применяем формулу:

$-cos(2 \cdot 4x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$-cos(8x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Умножим обе части на -1:

$cos(8x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$8x = \pm arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$, получаем:

$8x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 8, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k}{8} = \pm\frac{3\pi}{32} + \frac{2\pi k}{8} = \pm\frac{3\pi}{32} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\frac{3\pi}{32} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.