Номер 7.5, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите решения уравнений, принадлежащие данному промежутку (7.5—7.6):

7.5.a) $sin \phi = -1, \phi \in [0; 2\pi];$

б) $ctg \phi = 1, \phi \in [-\pi; \pi];$

в) $tg \phi = \sqrt{3}, \phi \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2});$

г) $cos \phi = -1, \phi \in [0; 2\pi].$

а) Дано уравнение $\sin\phi = -1$ на промежутке $\phi \in [0; 2\pi]$. Общее решение этого уравнения имеет вид $\phi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Чтобы найти решения, принадлежащие заданному промежутку, необходимо найти целые значения $k$, удовлетворяющие неравенству $0 \le -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2\pi$. Перенесем $-\frac{\pi}{2}$ в левую и правую части с противоположным знаком: $\frac{\pi}{2} \le 2\pi k \le 2\pi + \frac{\pi}{2}$, что эквивалентно $\frac{\pi}{2} \le 2\pi k \le \frac{5\pi}{2}$. Разделим все части неравенства на $2\pi$: $\frac{1}{4} \le k \le \frac{5}{4}$. Единственное целое число $k$ в этом диапазоне — это $k=1$. Подставим это значение $k$ в формулу общего решения: $\phi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$. Данное значение принадлежит промежутку $[0; 2\pi]$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

б) Дано уравнение $\ctg\phi = 1$ на промежутке $\phi \in [-\pi; \pi]$. Общее решение этого уравнения имеет вид $\phi = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Найдем решения, принадлежащие заданному промежутку, решив неравенство $-\pi \le \frac{\pi}{4} + \pi k \le \pi$. Разделим все части на $\pi$: $-1 \le \frac{1}{4} + k \le 1$. Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей: $-1 - \frac{1}{4} \le k \le 1 - \frac{1}{4}$, что эквивалентно $-\frac{5}{4} \le k \le \frac{3}{4}$. Целые числа $k$, удовлетворяющие этому неравенству, — это $k=-1$ и $k=0$.

При $k=0$, $\phi = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4}$.

При $k=-1$, $\phi = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot (-1) = -\frac{3\pi}{4}$.

Оба значения, $-\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4}$, принадлежат промежутку $[-\pi; \pi]$.

Ответ: $-\frac{3\pi}{4}; \frac{\pi}{4}$.

в) Дано уравнение $\tg\phi = \sqrt{3}$ на промежутке $\phi \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$. Общее решение этого уравнения имеет вид $\phi = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Найдем решения, принадлежащие заданному промежутку, решив неравенство $\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{3\pi}{2}$. Разделим все части на $\pi$: $\frac{1}{2} < \frac{1}{3} + k < \frac{3}{2}$. Вычтем $\frac{1}{3}$ из всех частей: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} < k < \frac{3}{2} - \frac{1}{3}$, что эквивалентно $\frac{1}{6} < k < \frac{7}{6}$. Единственное целое число $k$ в этом диапазоне — это $k=1$. Подставим это значение $k$ в формулу общего решения: $\phi = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 1 = \frac{4\pi}{3}$. Данное значение принадлежит промежутку $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.

Ответ: $\frac{4\pi}{3}$.

г) Дано уравнение $\cos\phi = -1$ на промежутке $\phi \in [0; 2\pi]$. Общее решение этого уравнения имеет вид $\phi = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Найдем решения, принадлежащие заданному промежутку, решив неравенство $0 \le \pi + 2\pi k \le 2\pi$. Вычтем $\pi$ из всех частей: $-\pi \le 2\pi k \le \pi$. Разделим все части на $2\pi$: $-\frac{1}{2} \le k \le \frac{1}{2}$. Единственное целое число $k$ в этом диапазоне — это $k=0$. Подставим это значение $k$ в формулу общего решения: $\phi = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi$. Данное значение принадлежит промежутку $[0; 2\pi]$.

Ответ: $\pi$.